淺談類比思想在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用

1、淺談類比思想在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用城基實(shí)驗(yàn)中學(xué)黃創(chuàng)森類比是一種常見而重要的一種數(shù)學(xué)思想方法, 它是指在新事物與已知事物之間的某些方面作類似的比較, 把已經(jīng)獲得的知識、方法、理論遷移到新事物中，從而解決新問題，類比不僅是一種富有創(chuàng)造性的方法， 而且更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美感。關(guān)鍵是能夠把比較分散的知識點(diǎn)聯(lián)系起來，學(xué)生在處理常規(guī)問題時較易上手，而對有生活背景的問題則較難， 數(shù)學(xué)知識與生活問題本身存在著這樣那樣的關(guān)系，例如在解決生活中變化的問題，學(xué)生很難入手，那么如果我們能建立一種可行的數(shù)學(xué)模型，那么對培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識是十分有利的。在初中八年級的分式這一章中，有利用方式方程解決實(shí)際問題，里面有這們的一道題：三頭

2、牛在兩星期內(nèi)吃完兩畝地上的所有草；兩頭牛在四期內(nèi)吃完六畝地上的所有的草，那么多少頭牛能在六星期內(nèi)吃完六畝地上的所有的草？（假設(shè)每棵草的高度都一樣，而且每棵草的生長速度都一樣）分析： 如果把兩畝地上的所有草換成為割來了一堆草，那么問題就變得非常簡單了，因?yàn)檫@堆草數(shù)量不會變的。這個問題難就在于，給出了很多組數(shù)據(jù)，并且這草還是會在生長的，也就是說牛吃完了這一片，另一片正在生長，故這片草的數(shù)量是在不斷的變化的。給我們解題帶來了難度。但解題的關(guān)鍵我們只要找到不變量，牛每周吃的草量也是不變的。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長出的草。新長出的草雖然在變，但應(yīng)注意到是勻速生長，因而這片草每天新長 出的

3、草的數(shù)量也是不變的。我們可以利用分式方程建立數(shù)學(xué)模型:解：設(shè)每棵草每個星期生長xcm,草原來白勺高度為ycmi三頭牛在兩星期內(nèi)吃完兩畝地上的所有草，得：原來草的數(shù)量：2X2x,新生長草的數(shù)量：2y每頭牛每個星期的吃草量：2x k（k為常數(shù)）同理可得：兩頭牛在四期內(nèi)吃完六畝地上的所有的草每頭牛每個星期的吃草量： 普普k（k為常數(shù)）而每頭牛每周的吃草量一樣：2y 2Xk = 2y 4Xk 解得 y 4X 2 32 4設(shè)a頭牛能在六星期內(nèi)吃完六畝地上的所有的草則每牛每個星期的吃草量：61_6 k（k為常數(shù)）故：2y jx k=6yx k2 36a由式解得a 5由上題我們可知，在解決這一類總量不斷在變

4、化的問題， 我們應(yīng) 該抓住其中的不變量，就是牛每周的吃草量是不變的。我們應(yīng)該建立 數(shù)學(xué)模型：總量=原來的量+不斷增長的量；不變的量就是速度不變。 抓住不變量列分式分程。這樣的一個數(shù)學(xué)模型有兩個特征：是一個 變化過程。一部分在變，一部分不變。變化的速度是均勻的。我們 把這樣的一種“牛吃草”數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到類似的生活問題中，從而生 活中的實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)，引起學(xué)生的解決實(shí)際問題的興趣。 我們 來看下面例子：把“牛吃草”應(yīng)用在上電梯:例1:自動扶梯以均勻的速度由下往上駛著，小明，小紅，小李 三位同學(xué)要從扶梯上樓，已知小明每分鐘走 20級臺階，小紅每分鐘 走了 15級臺階，他們分別用了 5分鐘和6分鐘

5、的時間上樓，問：小 李用15分鐘上了樓，那么他的速度為多少？分析：這個問題滿足了 “牛吃草”模型的兩個特征：扶梯在變 化。扶梯的速度不變?？偟牧恳彩遣粩嗟脑谧兓蛔兊臉翘莸脑?來的級數(shù)。類比于“牛吃草”的模型。具體分析如下：“總的草量”變成了 “扶梯的臺階總數(shù)”分為兩部分：一部分是臺階原來的長，一 部分是臺階自動前進(jìn)的數(shù)量。“草”變成了 “臺階”，“牛吃草的速變” 變成了 “扶梯自動前進(jìn)的速度”，由“牛吃草”的數(shù)學(xué)模型來解決這 一問題。解：設(shè)扶梯自動前進(jìn)的級數(shù)為 x級，扶梯原來的級數(shù)為y級。小明每分鐘走20級臺階用了 5分鐘上樓，得：原來扶梯的數(shù)量：y新增加扶梯的數(shù)量：5x每分鐘扶梯上樓的速

6、度為：ygk（k為常數(shù)）20 5同理可得：小紅每分鐘走了 15級臺階用了 6分鐘上樓每分鐘扶梯上樓的速度為：y6x k（k為常數(shù)）15 6而每分鐘扶梯上樓的速度一樣：2y 2xk = 2y 4xk 解得 y 15X 2 32 4設(shè)小李每分鐘走a級臺階則每分鐘扶梯上樓的速度： Tx k（k為常數(shù)）15a故：匕&k二匕xk15 615a由式解得a 6生活中有不少問題往往可以找到其數(shù)學(xué)的根源，通過思考將這種聯(lián)系數(shù)學(xué)模型挖掘出來，就把生活的問題與數(shù)學(xué)知識、方法進(jìn)行了類 比，有意識地引導(dǎo)或發(fā)現(xiàn)這種思考方法式有利于增加學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用 意識和解決實(shí)際問題的能力?！芭３圆荨边€可以在我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng) 常

7、見到。把“牛吃草”應(yīng)用在車站的檢票處，可以幫助車站工作人員更準(zhǔn) 確的把握發(fā)車的時間及次數(shù)。例2:某車站在檢票前若干分鐘就開始 排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多，從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消 失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘，如 果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？分析：這個問題滿足了 “牛吃草”模型的兩個特征：排隊(duì)的人 在變化。檢票的速度不變。此問題中旅客的總量相當(dāng)于“草的總量”， 包括了幾分鐘前排隊(duì)的旅客的數(shù)量和新增的旅客的數(shù)量。而幾分鐘前 排隊(duì)的數(shù)量就是“原來草地草的數(shù)量”，新增的旅客數(shù)量就是“草地 新長出來草的數(shù)量”。而檢票口的檢票速度就是“牛吃草的速度”。我

8、們根據(jù)檢票口每分鐘檢票的數(shù)量是相等的。設(shè)原來排隊(duì)的有y人。每分鐘新增排隊(duì)的人數(shù)為x人，如果同時打開7個檢票口，需要a分鐘 能把上車的人的票檢完。根據(jù)上面的“牛吃草”問題可以建立數(shù)學(xué)模 型過行計算。求得a 12分鐘。在我們的生活中還有很多這樣的實(shí)際例子，例如： 近期在山西的礦難中，由于礦井漏水，有一百多名礦工被困于井中，救援人員要下井救人必須得把水抽到人可進(jìn)出的范圍內(nèi)，由于有泉水不斷涌出，能過初步計算用80 部抽水機(jī)72 小時可以把水抽干，用 100 部相同的抽水機(jī) 60 小時可以把水抽干，為了盡快下井救人，救援隊(duì)將現(xiàn)有的150部抽水機(jī)同時啟動，多少后可以把水抽干？井中水的總量相當(dāng)于 “草的總量

9、” ，包括了井內(nèi)原有水的數(shù)量和新增的水的數(shù)量。而原有水的數(shù)量就是“原來草地草的數(shù)量”，新增的水的數(shù)量就是“草地新長出來草的數(shù)量”。而每部抽水機(jī)抽水的速度就是“牛吃草的速度”。我們根據(jù)檢每部抽水機(jī)抽水速度是相等的。設(shè)原來井水為y,每小時新增水?dāng)?shù)量為x,如果同時啟動150部抽水機(jī)，需要a分鐘能井里的水抽完。根據(jù)上面的“牛吃草”問題可以建立數(shù)學(xué)模型過行計算。我們都可以通過“牛吃草”的問題建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計算，這樣給我們的解題帶來方便，也給我們的生產(chǎn)及生活帶來了更為有效的依據(jù)。這樣的解題，不僅引人入勝，而且擴(kuò)大了學(xué)生的知識面，并且讓學(xué)生對這一類變化中的問題有了一個模型可用，在講解“牛吃草”的問題時我們也要類比到“追及問題”?？燔囋谇斑M(jìn)，慢車也在前進(jìn)，是一個變化的過程，而車的速度都沒有變。這個規(guī)律跟“牛吃草“是一樣的。 類比思想一種重要的方法，我們在講到反比例函數(shù)進(jìn)要類比到一次函數(shù)中的正比例函數(shù)，這是新舊知識之間的類比，不僅在數(shù)學(xué)知識如此，實(shí)際上我們生活中的很多實(shí)際問題都是來