軸對稱強化及練習題

1、第十三章 軸對稱1本章知識結構本章知識結構如下圖所示：2教科書內(nèi)容本章的主要內(nèi)容是從生活中的圖形入手，學習軸對稱及其基本性質，了解軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，并利用軸對稱變換，探索等腰三角形的性質，學習等腰三角形的判定方法，并進一步學習等邊三角形的性質軸對稱是現(xiàn)實生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，是密切數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系的重要內(nèi)容在本章第小節(jié)“軸對稱”中，教科書立足于學生的生活經(jīng)驗和數(shù)學活動經(jīng)歷，從觀察現(xiàn)實生活中的對稱現(xiàn)象開始，引出軸對稱圖形和圖形的軸對稱的概念，概括出軸對稱的特征結合探索對稱點的關系，歸納得出對應點連線被對稱軸垂直平分的性質，并結合這一性質的得出，討論了垂直平分線的性質定理及其逆定理接

2、下來，在第節(jié)“畫軸對稱圖形”中，首先通過操作對軸對稱的性質進行了歸納，然后通過例題給出了畫簡單平面圖形關于給定對稱軸的對稱圖形的一般方法，最后用坐標從數(shù)量關系的角度刻畫了軸對稱教科書從觀察和實驗入手，歸納得出坐標平面上一個點關于x軸或y軸對稱的點的坐標的規(guī)律，并進一步探討了如何利用這種規(guī)律在平面直角坐標系中畫出一個圖形關于x軸或y軸對稱的圖形等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性質外，還有許多特殊的性質等腰三角形的許多特殊性質，又都和它是軸對稱圖形有關，這也是教科書把這部分內(nèi)容安排在本章的一個重要原因在本章第3小節(jié)“等腰三角形”中，利用等腰三角形的軸對稱性，得出了“等邊對等

3、角”“三線合一”等性質，并進一步討論了等腰三角形的判定方法以及等邊三角形的性質與判定方法等內(nèi)容本章第節(jié)是“課題學習最短路徑問題”教科書在這一節(jié)中安排了兩個問題，分別是“牧馬人飲馬問題”和“造橋選址問題”，解決這兩個問題的關鍵是通過軸對稱和平移等變化把問題轉化為關于“兩點之間，線段最短”的問題，在解決這兩個問題的過程中滲透了化歸的思想軸對稱的性質是本章的重點，軸對稱的應用、用坐標表示軸對稱等都是圍繞這一性質進行的，要注意讓學生掌握另外，等腰三角形的性質和判定也是本章的重點，它們是證明線段和角相等的重要根據(jù)，應用也比較廣泛，也要注意讓學生掌握按照整套教科書對于推理證明的安排，上一章“全等三角形”已

4、經(jīng)要求讓學生會用符號表示推理（證明）在這一章，對于一些圖形的性質（如線段垂直平分線的性質、等腰（邊）三角形的性質與判定等），仍要求學生加以證明學生剛開始接觸用符號表示推理，雖然教科書控制了證明難度，但是相對于上一章，推理的依據(jù)多了，圖形、題目的復雜程度也增加了，因此會使部分學生感到無處下手，這是本章教學的一個難點要克服這個難點，關鍵是要加強對問題分析的教學，幫助學生分析證明問題的思路，這時可以結合所要求證的結論一起考慮，即“兩頭湊”，幫助學生克服這一難點3本章學習目標（1）通過具體實例認識軸對稱、軸對稱圖形，探索軸對稱的基本性質，理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質（2）探索簡單圖形之間的軸對

5、稱關系，能夠按照要求畫出簡單平面圖形（點、線段、直線、三角形等）關于給定對稱軸的對稱圖形；認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形（3）理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上（4）了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索等邊三角形的性質定理及等邊三角形的判定定理（5）能初步應用本章所學的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實際問題，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，發(fā)展空間觀念，激發(fā)學習興趣二、編寫時考慮的幾個問題1注意聯(lián)系實際

6、本章的內(nèi)容具有豐富的實際背景，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應用，因此在編寫本章時我們注意聯(lián)系實際，從實際出發(fā)引入概念，并將所學知識應用到實際生活中軸對稱現(xiàn)象在生活中很常見，教科書選用了故宮的鳥瞰圖作為章頭圖，在第1節(jié)的開頭，也舉出了如自然景觀、分子結構、建筑物、藝術作品、日常生活用品、窗花等實際例子，讓學生感受對稱現(xiàn)象的無處不在，通過觀察這些圖形，引出軸對稱的概念除了注意從實際例子引出軸對稱內(nèi)容的學習以外，教科書也給出了一些應用軸對稱的例子，如利用軸對稱的觀點來解釋現(xiàn)實生活中的有關現(xiàn)象、解決最短路徑問題、利用軸對稱設計圖案，等等，要注意這方面內(nèi)容的教學，體現(xiàn)知識的應用，體現(xiàn)具體抽象具體的過程2注意

7、知識間的聯(lián)系，有機地整合相關內(nèi)容本章的內(nèi)容較多，課程標準中圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標各個部分的內(nèi)容在本章都有涉及，在本章編寫時我們注意把握各個部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，有機地進行整合教科書在“畫軸對稱圖形”一節(jié)中，從數(shù)的角度刻畫了軸對稱的內(nèi)容，包括關于坐標軸對稱的點的坐標的關系這里的關鍵是要讓學生感受圖形軸對稱之后點的坐標的變化，把“形”和“數(shù)”緊密地結合在一起，把坐標思想和圖形變化的思想聯(lián)系起來等腰三角形的是一種軸對稱圖形，教科書將等腰三角形的相關內(nèi)容安排在軸對稱之后，就是要利用軸對稱研究等腰三角形的有關性質，并進一步利用三角形的全等證明這些性質教科書中有關等腰三角形性質的探究，都是結合軸

8、對稱來進行的，教學中要充分注意到這一點，將圖形的變化與圖形的性質有機整合，利用圖形的變化得到圖形的性質，再通過推理證明這些結論3注意讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、歸納、論證的過程在內(nèi)容處理上，教科書加強了實驗幾何的成分，將實驗幾何與論證幾何有機結合推理論證在培養(yǎng)邏輯思維能力方面起著重要作用，而幾何實驗則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效途徑，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著很大的作用對于本章中的一些概念、性質、公理和定理，教科書大多是通過留空、設問、設置 “思考” “探究”“歸納”以及“數(shù)學活動”等欄目，讓學生通過畫圖、折紙、剪紙、度量等活動，探索發(fā)現(xiàn)幾何結論，經(jīng)歷知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程，在探究活動的過程

9、中發(fā)展創(chuàng)新思維能力，改變學生的學習方式在發(fā)現(xiàn)結論的基礎上，再經(jīng)過推理證明這些結論，使得推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續(xù)，使圖形的認識與圖形的證明有機整合例如，對于等腰三角形“等邊對等角”“三線合一”的性質的得出，教科書通過設置 “探究”欄目，讓學生剪出等腰三角形，并進一步利用軸對稱的性質思考其中相等的線段和相等的角，進而發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質接下來，從上面的操作過程啟發(fā)，通過作出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等證明等腰三角形的這兩個性質這種處理，將實驗幾何與論證幾何有機地整合在一起，使學生經(jīng)歷了一個觀察、實驗、探究、歸納、推理、證明的認識圖形的全過

10、程，完成好由實驗幾何到論證幾何的過渡三、對教學的幾個建議1教學中要注意聯(lián)系實際 人們生活在三維空間，豐富多彩的圖形世界給“圖形與幾何”內(nèi)容的學習提供了大量真實的素材在本章的教學中，可以結合當?shù)貙嶋H選擇一些軸對稱圖形的例子，這些素材不僅應包括人們所習慣的標準幾何圖形，更應包括豐富多彩的現(xiàn)實世界中的二、三維圖形，使學生欣賞現(xiàn)實世界中與軸對稱有關的圖案，并能夠從中發(fā)現(xiàn)軸對稱的特征2教學中要注意通過對比加深概念的理解本章從認識軸對稱圖形開始，又進一步介紹了兩個圖形關于某條直線對稱（兩個圖形成軸對稱），教學中要注意通過對比加深這兩個概念的理解這兩個概念間的區(qū)別：軸對稱圖形指的是一個圖形沿對稱軸折疊后這個

11、圖形的兩部分能完全重合，說的是一個具有特殊形狀特點的圖形，而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合它們的聯(lián)系：定義中都有一條直線，圖形沿這條直線折疊能互相重合；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，這兩個圖形就是關于這條直線成軸對稱，反過來，如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形從運動的角度來看，成軸對稱的兩個圖形的任何一個可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換得到，一個軸對稱圖形由它的一部分為基礎，經(jīng)過軸對稱變換拓展而成3滿足學生多樣化的學習需求，為學生提供個性化學習的時間和空間 本章內(nèi)容中有許多需要發(fā)揮學生想象和個性的活動，如欣賞軸

12、對稱圖案，利用軸對稱進行圖案設計，探究對稱軸是與坐標軸平行（垂直）時軸對稱的坐標特點，發(fā)現(xiàn)等腰三角形中相等的線段，等等，這些內(nèi)容都為學生個性化的學習提供了空間教學中應有意識地滿足學生多樣化的學習需求，真正為學生提供個性化學習的時間和空間例如，對于利用軸對稱設計圖案，不同學生會有不同的創(chuàng)意，也會有不同的操作方法（如折疊、剪紙、扎眼、計算機等）完成自己的創(chuàng)意，教師應該鼓勵學生大膽想象、大膽嘗試，不能用唯一的標準判斷學生的成果，要把關注點放在活動中的數(shù)學層面上，看學生是否真正理解了軸對稱的特點4重視現(xiàn)代信息技術工具的應用信息技術的使用為學生的數(shù)學學習提供了有力的工具利用信息技術工具，可以很容易地制作

13、圖形，并讓圖形動起來，許多軟件還具有測量功能，這也有利于我們發(fā)現(xiàn)圖形的的位置關系和數(shù)量關系，有利于發(fā)現(xiàn)圖形的性質，使傳統(tǒng)的數(shù)學教學做不到或做不好的事情成為可能，或做得更好在這一章，信息技術工具大有用武之地。許多圖形軟件可以方便地用于畫軸對稱圖形，并研究圖形的性質。教科書專門安排了一個“信息技術應用”的選學欄目，利用軟件探索軸對稱的性質，探索軸對稱點的坐標的關系，探索線段垂直平分線的性質，利用計算機軟件進行圖案設計等有條件的學校，應盡可能多地使用計算機或圖形計算器等信息技術工具，幫助學生的數(shù)學學習第十四章軸對稱 練習【課標要求】考點課 標 要 求知識與技能目標了解理解掌握靈活應用圖形的對稱認識軸

14、對稱，探索它的基本性質對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形探索簡單圖形之間的軸對稱關系，并能指出對稱軸探索基本圖形(等腰三角形，矩形。菱形等腰梯形，正多邊形，圓)的軸對稱性及其相關性質欣賞現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形欣賞物體的鏡面對稱利用軸對稱進行圖案設計對應點連線平行且相等的性質按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形利用平移進行圖案設計【知識梳理】掌握這部分內(nèi)容，首先弄明白軸對稱及軸對稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系；以及中心對稱與中心對稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系。知道哪些圖形是軸對稱圖形，哪些圖形是中心對稱圖形，中考中常以填空、選擇形式出現(xiàn)?！灸芰τ柧殹恳惶羁疹}1軸對

15、稱圖形的對稱軸是一條_。2等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則其它兩個內(nèi)角為_度。3寫出6個是軸對稱圖形的英文字母：_ 。4寫出五個具有軸對稱性質的漢字：_ 。5等腰三角形有_條對稱軸；五角星有_條對稱軸；角的對稱軸是這個角的_；。6平面上不重合的兩點的對稱軸是_ _，線段是軸對稱圖形，它有_條對稱軸。7一個等腰三角形有兩邊分別為4和8厘米，則周長是_ _厘米。8舉出生活中具有軸對稱性質的事物（至少三個）：_。9若AC是等腰ABC的高，則AC也是_ _，還是_ _。10等邊三角形的周長是30厘米，一邊上的高是8厘米，則三角形的面積為_ _。 二選擇題1下列圖形中，不是軸對稱圖形的是( )

16、A等邊三角形 B等腰直角三角形C不等邊三角形 D線段2下列說法中，正確的是（ ）A關于某直線對稱的兩個三角形是全等三角形B全等三角形是關于某直線對稱的C兩個圖形關于某直線對稱，則這兩個圖形一定分別位于這條直線的兩側D有一條公共邊的兩個全等三角形關于公共邊所在的直線對稱3在線段、兩條相交直線、等腰三角形和圓四個圖形中，是軸對稱圖形的個數(shù)是（ ）A1個 B2個 C4個 D3個4下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ）A有兩條邊相等的三角形B有一個角為的Rt C有一個角為的等腰三角形D一個內(nèi)角為，一個內(nèi)角為的三角形 5當你看到鏡子中的你在用右手往左梳理你的頭發(fā)時，實際上你是（ ）A右手往左梳 B右手往右

17、梳 C左手往左梳 D左手往右梳6下列說法正確的是( )A等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合B頂角相等的兩個等腰三角形全等C等腰三角形一邊不可以是另一邊的二倍D等腰三角形的兩個底角相等7如圖，在RtABC中，ACB90°，BAC的平分線AD交BC于點D，DEAC，DE交AB于點E ，M為BE的中點，連結DM 在不添加任何輔助線和字母的情況下，圖中的等腰三角形是 （寫出一個即可）8如下圖所示，直線，表示三條相互交叉公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址共有（ ）處A1 B4 C6 D7B D CEMA9王明是班上公認的“小馬虎”在做作業(yè)時，將點A的縱橫

18、坐標次序顛倒，寫成A（a，b）,小華也不細心，將點B的坐標寫成關于y軸的對稱點的坐標，寫成B（b，a），則A、B兩點原來的位置關系是（）A關于y軸對稱B關于x軸對稱CA和B重合D以上都不對10.在直角坐標系中，已知A（-3，3），在y軸上確定一點P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有（ ）.A2個 B3個 C4個 D5個BCA三、作圖題1、已知：如圖，已知ABC，（1）分別畫出與ABC關于軸、軸對稱的圖形A1B1C1 和A2B2C2 ；（2）寫出 A1B1C1 和A2B2C2 各頂點坐標；（3）求ABC的面積2.如圖，在方格紙上建立平面直角坐標系，線段AB的兩個端點都在格點上，直線MN

19、經(jīng)過坐標原點。（1）寫出點A的坐標 , B的坐標 .（2）利用尺規(guī)作出線段AB關于直線MN的對稱圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）。3如圖，A、B兩村在一條小河的的同一側，要在河邊建一水廠向兩村供水（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址應選在哪個位置？（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址應選在哪個位置？請將上述兩種情況下的自來水廠廠址標出，并保留作圖痕跡 .B A . 4開放與探究：（1）觀察圖中中陰影部分所構成的圖案，請寫出這四個圖案都具有的兩個特征；（2）借助圖中的網(wǎng)格，請你設計一個新圖案，使該圖案同時具有你解答（1）中所寫的兩個共同的特征四、解答題1如圖，在等邊中，點分別在邊上，且，與交于點（1）求證：；（2）求的度數(shù)2如圖所示，BACABD,ACBD，點O是AD、BC的交點，點E是AB的中點試判斷OE和AB的位置關系,并給出證明3如圖, ABC中, D、E分別是AC、AB上的點, BD與CE交于點O. 給出下列三個條件：EBODCO；BEOCDO；BECD. 上述三個條件中, 哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形)； 選擇第小題中的一種情形, 證明ABC是