初高中銜接37

1、（十六） 一元二次不等式解法（1）二次函數(shù)yx2x6的對(duì)應(yīng)值表與圖象如下：x32101234y60466406由對(duì)應(yīng)值表及函數(shù)圖象(如圖2.31)可知當(dāng)x2，或x3時(shí)，y0，即x2x60；當(dāng)x2，或x3時(shí)，y0，即x2x60；當(dāng)2x3時(shí)，y0，即x2x60這就是說(shuō)，如果拋物線y= x2x6與x軸的交點(diǎn)是(2，0)與(3，0)，那么xO23yx2x6yy0y0y0圖2.31一元二次方程x2x60的解就是x12，x23；同樣，結(jié)合拋物線與x軸的相關(guān)位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對(duì)應(yīng)的一元二次

2、方程的解和對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集 那么，怎樣解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我們可以用類似于上面例子的方法，借助于二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象來(lái)解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 為了方便起見(jiàn)，我們先來(lái)研究二次項(xiàng)系數(shù)a0時(shí)的一元二次不等式的解xyOx1x2xyOx1= x2yxO圖2.32我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2bxc0(a0)，設(shè)b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分別為下列三種情況有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解和沒(méi)有實(shí)數(shù)解，相應(yīng)地，拋物線yax2bxc（a0）與x軸分別有兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和沒(méi)有公共點(diǎn)(如圖2.32所示)，因此，我們可以

3、分下列三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式ax2bxc0（a0）與ax2bxc0（a0）的解（1）（1）當(dāng)0時(shí)，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2(x1x2)，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解為 x1xx2 （2）當(dāng)0時(shí)，拋物線yax2bxc（a0）與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，方程ax2bxc0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x2，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為 x； 不等式ax2bxc0無(wú)解（3）如果0，拋物線yax2bxc（a0）與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，方程

4、ax2bxc0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，由圖2.32可知不等式ax2bxc0的解為一切實(shí)數(shù)；不等式ax2bxc0無(wú)解今后，我們?cè)诮庖辉尾坏仁綍r(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項(xiàng)系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以1，將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式例 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20 解：（1）0，方程x22x30的解是 x13，x21 不等式的解為 3x1 （2）整理，得 x2x60 0，方程x2x6=0的解為 x12，x23所以，原不等式的解為x2，或x&g

5、t;3（3）整理，得 (2x1)20.由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，原不等式的解為一切實(shí)數(shù)（4）整理，得 (x3)20.由于當(dāng)x3時(shí)，(x3)20成立；而對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，(x3)20都不成立，原不等式的解為 x3（5）整理，得 x2x400，所以，原不等式的解為一切實(shí)數(shù)練習(xí)：解下列不等式：1.；2.3.4. 5. （十七） 一元二次不等式解法（2）例1 已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解為，可知，且方程的兩根分別為2和3，即 由于，所以不等式可變?yōu)?，即 整理，得 所以，不等式的解是 x1，或x說(shuō)明：本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題例2 解關(guān)于的一元二次不等式為實(shí)數(shù)).分

6、析 對(duì)于一元二次不等式,按其一般解題步驟,首先應(yīng)該將二次項(xiàng)系數(shù)變成正數(shù),本題已滿足這一要求,欲求一元二次不等式的解,要討論根的判別式的符號(hào),而這里的是關(guān)于未知系數(shù)的代數(shù)式, 的符號(hào)取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此,再根據(jù)解題的需要,對(duì)的符號(hào)進(jìn)行分類討論. 解: , 當(dāng) 所以,原不等式的解集為 或； 當(dāng)0，即a±2時(shí)，原不等式的解為 x； 當(dāng)為一切實(shí)數(shù) . 綜上,當(dāng)a2，或a2時(shí)，原不等式的解是 或；當(dāng)為一切實(shí)數(shù) 例3 已知函數(shù)yx22ax1(a為常數(shù))在2x1上的最小值為n，試將n用a表示出來(lái)分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對(duì)稱軸的位置有關(guān)，于是需要對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論 解：y(xa)21a2， 拋物線yx22ax1的對(duì)稱軸方程是xa （1）若2a1，由圖2.3-3可知,當(dāng)xa時(shí)，該函數(shù)取最小值 n1a2； (2)若a-2時(shí), 由圖2.3-3可知,