高校食堂窗口設(shè)置

1、吉林財經(jīng)大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期數(shù)學(xué)模型期末試卷考試形式： 論 文 課程模塊： 成績： 論文題目： 高校食堂窗口設(shè)置問題專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級： 0803 姓名： 王艷菊 學(xué)號： 1101080321 高校食堂窗口設(shè)置問題一、摘要 隨著我國高校的擴招及教育事業(yè)的發(fā)展，高校食堂在不斷擴大其自身容量的同時，其在高校發(fā)展中扮演的作用也越來越重要，同時高校食堂也面臨著經(jīng)營管理方面問題的嚴峻挑戰(zhàn)。高校學(xué)生對食堂服務(wù)怨聲載道,其中等待時間過長的問題尤為突出。如何有效利用有限的人力、物力資源提高服務(wù)質(zhì)量和效率成為高校食堂贏利的關(guān)鍵。在此討論高校食堂服務(wù)系統(tǒng)窗口設(shè)置的優(yōu)化問題。根據(jù)各工作日不同

2、時間段內(nèi)顧客的多少適當(dāng)?shù)卦鰷p窗口，從而在顧客平均等待時間和銀行服務(wù)窗口數(shù)量之間找到一個最優(yōu)的狀態(tài)。在顧客等待時間容許的情況下,使銀行所設(shè)的窗口最少從而使食堂的收益達到最大。本文運用排隊論原理針對高校食堂窗口設(shè)置問題建立了多服務(wù)窗口等待制M/ M/ N（即泊松輸入、負指數(shù)分布服務(wù)、N個服務(wù)臺）模型，最終求得了我校應(yīng)在非周末、節(jié)假日設(shè)置7個食堂窗口；對于周末、節(jié)假日設(shè)置5個食堂窗口是使學(xué)生和食堂達到滿意程度的最優(yōu)窗口設(shè)置數(shù)量。關(guān)鍵詞 排隊論 食堂窗口 M/ M/ N模型二、問題重述 隨著我校辦學(xué)的不斷發(fā)展，后勤工作，特別是直接面對學(xué)生的食堂工作，顯得日趨重要。我們在食堂常常看到這樣一種現(xiàn)象：由于在

3、開餐的高峰期，學(xué)生就餐的人數(shù)多，而服務(wù)窗口較少，使得學(xué)生抱怨排隊等待的時間太長。再有，如果服務(wù)窗口太多，對于食堂來講浪費了一定的人力、物力，不利于食堂向高效益方面發(fā)展。如何使雙方都達到滿意，這是我們迫切需要解決的實際問題。請運用數(shù)學(xué)模型原理解決食堂服務(wù)窗口設(shè)置數(shù)量問題。3、 基本假設(shè)與符號說明（1） 基本假設(shè)：（1） 學(xué)生到達食堂的時間是獨立的，服從一種特定的概率分布；（2） 服務(wù)時間是獨立的，服從一種特定的概率分布；（3） 所有到達的學(xué)生都進入排隊系統(tǒng)，并在那里直到服務(wù)結(jié)束；（4） 排隊系統(tǒng)有一個無限隊列，因此可以容納無限量的學(xué)生；（5） 學(xué)生服務(wù)優(yōu)先規(guī)則是先到先服務(wù)；（6） 工作時間足夠長

4、，能使服務(wù)系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)；（7） 每一個學(xué)生由一個服務(wù)窗口單獨提供服務(wù)。（2） 符號說明：學(xué)生到達強度；：食堂窗口數(shù)量；：食堂中的學(xué)生數(shù)量；：食堂單個窗口的服務(wù)率；：系統(tǒng)的服務(wù)強度；：隊長（平均學(xué)生數(shù)）；：隊列長（等待的平均學(xué)生數(shù)）； ：平均忙著的服務(wù)窗口個數(shù)；：學(xué)生等待時間 ；：學(xué)生逗留時間；：學(xué)生等待的概率；：在時刻系統(tǒng)中有個顧客（即狀態(tài)為）的概率。3、 模型的建立與求解3.1模型原理： 排隊論是研究排隊系統(tǒng)的理論，又稱為隨機系統(tǒng)的理論，它提供了很多不同的排隊模型，通過這些排隊模型能夠找到服務(wù)成本和服務(wù)水平之間較好的平衡。排隊系統(tǒng)是由輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)方式等3個組成部分。輸入過程指

5、各種類型的顧客按怎樣的規(guī)律到來.主要類型有定長輸入、泊松輸入和愛爾朗輸入。其中泊松輸入適用最廣泛。排隊規(guī)則指到達的顧客按怎樣的次序接受服務(wù)。主要有損失制、等待制和混合制。服務(wù)方式指同一時刻有多少服務(wù)臺可接納顧客,每一顧客服務(wù)了多長時間。主要有定長分布、負指數(shù)分布、愛爾朗分布幾種方式。 排隊現(xiàn)象是指顧客以特定的或變化不定的速度到來,按照一定的服務(wù)規(guī)則接受服務(wù)員服務(wù)的過程。排隊系統(tǒng)是指存在著排隊現(xiàn)象的系統(tǒng)。主要研究和計算的數(shù)量指標有: (1)隊長,系統(tǒng)中的全部顧客數(shù)； (2)隊列長,系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)； (3)顧客在系統(tǒng)中的逗留時間,包括顧客排隊等候及被服務(wù)的時間； (4)顧客在系統(tǒng)內(nèi)排隊等候時間

6、； (5)忙期,指服務(wù)機構(gòu)連續(xù)接待顧客的時間長度,即指服務(wù)強度。為了敘述方便,引入下列記號:令M代表泊松輸入或負指數(shù)分布服務(wù),于是泊松輸入、負指數(shù)分布服務(wù)、N個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)寫成M/ M/ N。單服務(wù)窗等待質(zhì)排隊模型（M/ M/ 1)排隊模型M/ M/ 1表示顧客源為有限的，顧客的到達相互獨立，到達規(guī)律服從參數(shù)的泊松分布；單服務(wù)臺，隊長無限，先到先服務(wù)；各顧客的服務(wù)時間相互獨立，且服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。1. 確定系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)為的概率已知顧客的到達規(guī)律服從參數(shù)為的泊松分布，服務(wù)時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布；若有個顧客，只有一個接受服務(wù)，其余的顧客排隊等待，有無限個位置可排隊，于是在時間

7、間隔內(nèi)有：1） 有一個顧客到達的概率為.2） 沒有一個顧客到達的概率為.3） 有一個顧客被服務(wù)完的概率為.4） 沒有一個顧客被服務(wù)完的概率為.5） 多余一個顧客到達或服務(wù)完離去的概率為。則在時刻系統(tǒng)中有個顧客（即狀態(tài)為）的概率，可能的情況見表一。表一 狀態(tài)的概率情況時刻的顧客數(shù)在區(qū)間在時刻的顧客數(shù)到達離去（A）（B）（C） (D) × × × ×這是一個生滅過程，四種情況是相互獨立的事件，則有，整理得，并令，則得，當(dāng)時，類似地，可有，為求穩(wěn)態(tài)解，假設(shè)當(dāng)時，的極限存在，即有，則，這是關(guān)于的差分方程，也反映了系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移關(guān)系，即每一狀態(tài)都是平衡的，見圖一。

8、求得，遞推可得. 圖一 M/ M/ 1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系圖令，稱為服務(wù)強度。即為平均到達率與平均服務(wù)率之比。由概率的性質(zhì)：，即，于是就是所求的系統(tǒng)狀態(tài)為的概率。2. 系統(tǒng)的運行指標（1）隊長（平均顧客數(shù)）：因為系統(tǒng)的狀態(tài)為，由期望的定義得.（2） 隊列長（等待的平均顧客數(shù)）：，（3） 系統(tǒng)中顧客的逗留時間：系統(tǒng)中的一個顧客的逗留時間，服從于參數(shù)為的負指數(shù)分布，分布函數(shù)和分布密度分布為，所以有.（4） 系統(tǒng)中顧客的等待時間：，其中一個顧客平均服務(wù)時間為.(5) 系統(tǒng)內(nèi)多余個顧客的概率為.下列關(guān)系式又稱為運行指標的Little公式：.多服務(wù)窗等待質(zhì)排隊模型（M/ M/ N)上面分析的是只有一個窗口服務(wù)

9、的情形，對于我們來講高校食堂的服務(wù)窗口大體是這樣的，見圖二：圖二 高校食堂窗口設(shè)置圖這個系統(tǒng)可看成n個M/ M/ 1型的子系統(tǒng)。每個窗口的平均服務(wù)率不變，則每個窗口的平均到達率為，這時每個窗口的服務(wù)強度變?yōu)?類似的我們可求出每個窗口的平均隊長和平均等待時間為，.3.2 問題分析：對于學(xué)生到達食堂時,當(dāng)其未能得到及時服務(wù)時,往往要排隊等待,這就可以用排隊論的有關(guān)原理來解決食堂窗口配置的問題。根據(jù)學(xué)生到達食堂的實際情況,周末或者節(jié)假日超市的學(xué)生數(shù)要比平時相應(yīng)的時間人數(shù)有明顯的減少。為便于研究,可以把學(xué)生到達看做符合泊松過程,而服務(wù)時間服從負指數(shù)分布。因此,進一步說食堂服務(wù)系統(tǒng)可近似看做M/ M/

10、N排隊系統(tǒng),即顧客到達為泊松流、服務(wù)時間服從負指數(shù)分布、多個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)有n個服務(wù)窗口，且各窗口工作是相互獨立的，學(xué)生按泊松流到達的強度為；又各窗口服務(wù)時間為負指數(shù)分布，單個窗口的平均服務(wù)率為，則整個食堂窗口的平均服務(wù)率為。令，稱為系統(tǒng)的服務(wù)強度。當(dāng)時，系統(tǒng)就會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象，即有學(xué)生在排隊等待。在此約定只排一個隊等候，拿個窗口出現(xiàn)空閑時，等候的學(xué)生按先后順序前往空閑的食堂窗口接受服務(wù)。系統(tǒng)的排隊模型如圖三。圖三 多服務(wù)窗口等待制模型M/ M/ n框圖由于系統(tǒng)沒有限制學(xué)生來源和系統(tǒng)容量，故系統(tǒng)的可能狀態(tài)集應(yīng)為，由此可以畫出系統(tǒng)的狀態(tài)流圖如圖四。圖四 M/ M/ n模型狀態(tài)流圖如圖四所

11、示，狀態(tài)表示系統(tǒng)內(nèi)有個服務(wù)窗口忙著接待學(xué)生，其余個服務(wù)窗口空閑著；當(dāng)(到達系統(tǒng)的學(xué)生超過）時，個服務(wù)窗口均忙著接待學(xué)生，而余下的個學(xué)生排隊等候。3.2 模型的建立在平衡條件下，系統(tǒng)狀態(tài)概率的平衡方程為 ， ， ， 。由遞推關(guān)系求得系統(tǒng)的狀態(tài)概率為 當(dāng)時，由有 ，于是 則可求得系統(tǒng)的運行指標（1） 隊列長 （2） 平均忙著的服務(wù)窗口個數(shù) （3） 隊長 （4） 學(xué)生等待時間 （5） 學(xué)生逗留時間 （6） 學(xué)生等待的概率 服務(wù)強度,它反映了工作人員的工作強度，其值越大,說明服務(wù)隊列越長,工作人員空閑時間越少；反之則隊列越短,工作人員空閑時間越多，若,則認為系統(tǒng)不穩(wěn)定,排隊長度會越來越長。3.3 模型

12、的求解 我們采集了兩組數(shù)據(jù):（1）平時（周末、節(jié)假日除外):學(xué)生平均到達率為:720人/小時,每個服務(wù)窗口平均服務(wù)率為180人/小時；（2) 周末、節(jié)假日：學(xué)生平均到達率為:504人/小時,每個服務(wù)窗口的服務(wù)率仍為180人/小時。使用Matlab軟件進行編程，如下：functionP0,PN,lendaeff,Ls,Lq,Ws,Wq=model1lenda=input('請輸入到達速率：');mhu=inpurt('請輸入服務(wù)速率：');n=input('請輸入窗口個數(shù)：');rho=lenda/mhu;P0=(1-rho)/(1-rho(n+1

13、);lendaeff=mhu(1-P0);u=n;for i=1:u s1=u*(u-1); u=u-1;endfor i=0:no=m-ai;endfor i=1:os2=o*o-1;o=o-1;Ends3=symsun(s1/s2,0,n)P0=(1/s3)*rhoai;PN=(s1/s2)*rhon*P0;Ls=n-rho(1-P0);Lq=Ls-(1-P0);Ws=Ls/lendaeff;Wq=Lq/lendaeff;P0PNLsLqWsWq求得結(jié)果如下：圖五 計算結(jié)果圖 3.4 結(jié)果分析 如果服務(wù)強度,系統(tǒng)不穩(wěn)定,肯定會有越來越多的人排隊等待。因此我們只計算了服務(wù)強度的情形。 從M/

14、 M/ N系統(tǒng)服務(wù)指標表中可以看出:平時如果配備6個服務(wù)窗口,學(xué)生需要滯留等候約107.8秒,而工作人員的服務(wù)強度為0.933,就是說,工作人員工作效率很高,有較少的空閑時間,但顧客得到服務(wù)較慢,等待的時間較長；若配備7個服務(wù)窗口,則學(xué)生等待時間約為27.1秒,工作人員強度減小,有較多的休整時間。若配備8個服務(wù)窗口,則學(xué)生幾乎無需排隊即可得到服務(wù),但工作人員的工作時間顯得松散.因此,平時配備7個服務(wù)窗口較適合；對于周末、節(jié)假日,我們同樣可以分析出配備5六個服務(wù)窗口為佳,此時顧客只需排隊等待約23秒,就可得到服務(wù),而工作人員的工作強度也適中。因此,在沒有其他條件限制的情況下,食堂管理層應(yīng)適時的調(diào)

15、整窗口的設(shè)置,非周末、節(jié)假日采用M/ M/ 7系統(tǒng)；對于周末、節(jié)假日采用M/ M/ 5系統(tǒng)。 四、模型的評價及推廣 本文分別統(tǒng)計了我校食堂在平時和周末、節(jié)假日時的學(xué)生平均到達率和每個服務(wù)窗口平均服務(wù)率，利用排隊論的有關(guān)知識分析了高校食堂系統(tǒng)的特點,結(jié)合d單服務(wù)窗口等待制排隊模型M/ M/ 1構(gòu)建了多服務(wù)窗口等待制排隊模型M/ M/ N 針對高校食堂窗口設(shè)置問題建立數(shù)學(xué)模型,通過求解數(shù)學(xué)模型,得到模型的最優(yōu)解決方案。該模型在滿足學(xué)生要求和食堂規(guī)定的情況下對窗口設(shè)置進行了優(yōu)化,減少了人力資源和財力資源的浪費。該模型具有一定的普遍性,日常生活中經(jīng)常可以遇到這種現(xiàn)象：在火車站售票處乘客依次購買車票，醫(yī)