高斯平面直角坐標(biāo)

1、第八章 高斯平面直角坐標(biāo)1 正形投影的基本公式一、地圖投影的概念1.投影的必要性及其方法 投影的必要性：測(cè)量工作的根本任務(wù)，是測(cè)定地面點(diǎn)的坐標(biāo)和測(cè)繪各種地形圖。因：1）橢球面上計(jì)算復(fù)雜；2）地圖是畫在平面圖紙上，故，有必要將橢球面上的坐標(biāo)、方向、長(zhǎng)度投影到平面上。投影的方法：按一定的數(shù)學(xué)法則，得到如下的解析關(guān)系（函數(shù)關(guān)系）xF1(B，L)yF2(B，L)式中 B，L橢球面上的大地坐標(biāo) x，y投影平面上的直角坐標(biāo)按高斯投影方法得到的平面直角坐標(biāo)x，y叫高斯平面直角坐標(biāo)。2.投影的分類橢球面是不可展開的曲面（圓柱，圓錐面是可展開曲面）。若展開成平面，必產(chǎn)生變形。投影按變形的性質(zhì)可分為： 等距離投影

2、投影后地面點(diǎn)見的距離不變 等面積投影保證投影后面積不變 等角投影投影后微分范圍的形狀相似3.測(cè)量采用的投影測(cè)量工作從計(jì)算和測(cè)圖考慮，采用等角投影（又稱正形投影、保角投影）。其便利在于：1）可把橢球面上的角度，不加改正地轉(zhuǎn)換到平面上。（注：橢球面上大地線投影到平面上亦為曲線。為實(shí)用，需將投影的曲線方向改正為兩點(diǎn)間弧線方向，稱方向改化。方向改化是在平面上為實(shí)用而做的工作，非投影工作。且：改化小，公式簡(jiǎn)單；只在等級(jí)控制改化，圖根控制、測(cè)圖不顧及） 橢球面上 投影面上 B Bdc da dc da A C A C db db 2）因微分范圍內(nèi)投影前后圖形相似，則大比例尺圖的圖形與實(shí)地完全相似，應(yīng)用方便

3、。二、正形投影1.正形投影的特性有微分三角形如圖：對(duì)于保角投影：AA ；BB ；CC所以長(zhǎng)度比 故，正形投影在一個(gè)點(diǎn)（微分范圍）上，各方向長(zhǎng)度比相同。即投影后保持圖形相似。例如下圖，對(duì)一個(gè)任意形狀的微小圖形，總可以取一個(gè)邊數(shù)極多的中點(diǎn)多邊形逼近它，對(duì)于正形投影： a a b b o o e e c c d d 但上述特點(diǎn)只在微分范圍內(nèi)成立。在廣大范圍內(nèi)，投影前后圖形保持相似是不可能的（否則意味著橢球面可以展開）。因此，在大范圍內(nèi)，各處的長(zhǎng)度比m必定不同。結(jié)論：正形投影的特性：長(zhǎng)度比m與方向無(wú)關(guān)，但隨點(diǎn)位而異。2.正形投影基本公式（充要條件） l+dl L G l B+dB P2 B dS P1

4、 特定子午線 設(shè)橢球面上有無(wú)限趨近的兩點(diǎn)P1，P2橢球面上：P1(B，L)P2(BdB，LdL)大地線長(zhǎng)度dS投影面上：p1(x，y)p2(xdx，ydy)大地線長(zhǎng)度的投影ds x P2 ds P1 y o投影長(zhǎng)度比為：下面分別推導(dǎo)上式中dS和ds：（dS和ds為曲線，但對(duì)微分線段，將其看成各自三角形的斜邊）dS2(MdB)2(NcosBdl)2(MdB)2(rdl)2r2(dB)2(dl)2引入等量緯度， 則dq()dB（引入等量緯度純粹為了推導(dǎo)公式方便）dS2r2(dq)2(dl)2 另： xF1(B，L)yF2(B，L) 因q與B有確定的關(guān)系，l與L有確定的關(guān)系，所以有：xf1(q，l)

5、yf2(q，l) 微分得： 故： P2 MdB A 90-A P1 rdl令： 則： ds2Edq22Fdq.dlGdl2故： 由微分三角形知： 所以： dldqtanA 將代入得：欲使投影為正形投影，長(zhǎng)度比m應(yīng)與方向(A)無(wú)關(guān)。為此：令：F0 ；EG 即： 則上式為： （可看出m與方向無(wú)關(guān)）由式可解得： 式代入得： 式開平方得： 取正號(hào)代入得： （注：式取正號(hào)意義是：選取橢球面和平面坐標(biāo)軸方向時(shí)，要求在經(jīng)線方向上q增加時(shí)，平面上x也增加；沿緯線方向l增加時(shí)，y也增加）故，橢球面到高斯平面上的正形投影公式（柯西黎曼方程）：（此即正形投影的充分必要條件）3.證明復(fù)變函數(shù)xiyf(qil)當(dāng)f存在

6、、且0時(shí)亦為正形投影證明如下：基本投影公式 xF1(B，L)yF2(B，L)亦可寫成 xf1(q，l)yf2(q，l)用復(fù)變函數(shù)形式寫出為 xiyf(qil) （qil 復(fù)變數(shù)；）令 xiyzqilu則 zf(u) 求導(dǎo) 由、式可得 因 zxiy故 將、式代入式得 式虛實(shí)分開 此即柯西黎曼方程。證畢。練習(xí)及作業(yè)：1、閱讀 8.1，8.22、理解： 、投影的必要性及方法。、投影的分類及測(cè)量采用的投影類型。、正形投影的特性。2 高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)一、高斯投影的一般解釋及其特性1.高斯投影的幾何意義 x 中 央 子 午 線 y 邊 緣 子 午 線 N p1 s P1 S p2 P2 o 赤道

7、 S 高斯投影的幾何意義是橫軸橢圓柱正形投影。設(shè)想一橫橢圓柱面套在橢球上，與某一子午線（稱軸子午線或中央子午線）相切。橢圓柱的中心軸通過(guò)橢球中心，且與橢球短軸垂直。2.高斯投影的特性高斯投影是正形投影；中央子午線投影后應(yīng)為x軸，且長(zhǎng)度不變。3.高斯投影的一般解釋軸子午線投影到橢圓柱面上展開為x軸。以O(shè)為投影中心，將赤道上各點(diǎn)投影到橢圓柱面上，為一長(zhǎng)度變形直線。它垂直于x軸，稱為y軸。橢球上任一段大地線S，以O(shè)為投影中心在橫橢圓柱上投影為s，sS。長(zhǎng)度變形m-1恒為正（軸子午線投影除外）。橢球上大地點(diǎn)P的坐標(biāo)(B，L)，與投影后的坐標(biāo)(x，y)，在B，L和x，y之間建立函數(shù)關(guān)系，即高斯投影。將中

8、央子午線東西各一定的經(jīng)差（6、3、1.5）范圍投影到橢圓柱面上，展開后構(gòu)成高斯平面直角坐標(biāo)系；每個(gè)投影帶構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)系統(tǒng)，各帶的計(jì)算具有一樣性。4.控制網(wǎng)從橢球面上投影到高斯平面上的投影計(jì)算工作起算數(shù)據(jù)投影橢球面上已知元素：P1（B1，L1）；S；A12；投影到高斯平面上：p1(x1，y1)；s；A12；（平面上方位角為：T12A12r；r：平面子午收斂角；：方向改化） P2 S 軸 A12 P4子 午 P1線 (B1,L1) P3 道 赤 x 軸 p2 子 午 T12 線 A12 投 s p4 影 p1 (x1,y1) 赤道投影 p3 y觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算：二、高斯投影正算由大地坐標(biāo)B、L計(jì)

9、算平面坐標(biāo)x、y1.高斯正算基本公式高斯正算公式應(yīng)滿足高斯投影的特性。首先，應(yīng)滿足正形投影。取投影基本公式為：xiyf(qil) 因l在6帶里最大為3，是微小量，所以，f(qil)可用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開：（臺(tái)勞級(jí)數(shù)一般形式：f(x)f(x)f(x)(1/2)2f(x)(1/3!)3f3(x)）故有： 軸 x 子 午 線 D d X x o y 設(shè)圖中，軸子午線上D投影為d；D的子午線弧長(zhǎng)為X；d的縱坐標(biāo)為x。若滿足高斯投影中央子午線投影為x軸，且長(zhǎng)度不變的特性，即：l0時(shí)，y0；且xiyf(qil)為：xf(q)X臺(tái)勞展開xiyf（qil），并顧及上式：將上式虛實(shí)兩部分分開，得高斯正算基本公式：2.

10、高斯正算實(shí)用公式由基本公式推導(dǎo)實(shí)用公式如下：一階導(dǎo)數(shù) （因dXMdB；dq()dB）二階導(dǎo)數(shù) 繼續(xù)求各階導(dǎo)數(shù)，將X對(duì)q的各階導(dǎo)數(shù)代入基本公式，得高斯正算實(shí)用公式 (8-41，8-42)式中：ttanB ；e 2cos2B由上式可知：1）當(dāng)B0（X0）時(shí)，x0（赤道投影為一直線）2）當(dāng)l0時(shí)，y0（軸子午線投影為一直線x軸）xX（軸子午線投影，長(zhǎng)度不變）3）當(dāng)l常數(shù)， B，y B常數(shù)， l，x（8-42式計(jì)算精度可達(dá)1mm）三、高斯投影反算（由平面直角坐標(biāo)x、y反算大地坐標(biāo)B、L） x Bff B(0) B d(x,y) Xo y 有時(shí)要跨帶計(jì)算兩點(diǎn)間的距離S，這時(shí)根據(jù)兩點(diǎn)的大地坐標(biāo)，在橢球上解

11、算更為方便；有時(shí)要用反算檢核正算的正確性。故推導(dǎo)反算公式如下。見圖。過(guò)d(x，y)點(diǎn)的緯度為B，對(duì)應(yīng)緯度B，軸子午線弧長(zhǎng)為X，有Xf(B)；對(duì)應(yīng)d點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即d點(diǎn)在x軸的垂足f，緯度為Bf（稱底點(diǎn)緯度或垂足緯度）。高斯投影反算，必滿足xiyf(qil)之反函數(shù)式，即 qilj(xiy)y為小量，上式可在d的底點(diǎn)f處臺(tái)勞展開根據(jù)高斯投影條件：中央子午線投影為x軸，且長(zhǎng)度保持不變，有y=0，則l=0，即ql=0= j(x )，且x=Xf ，故ql=0= j( Xf )=qf ，于是上式改寫成根據(jù)，推導(dǎo)出各階導(dǎo)數(shù)代入上式，并將虛實(shí)分開得實(shí)際應(yīng)用上式時(shí)，還應(yīng)把q-qf換成B-Bf（過(guò)程可參見武測(cè)、同

12、濟(jì)合編控測(cè)下），經(jīng)整理得式中，Bf是底點(diǎn)f的大地緯度，可根據(jù)x值（f點(diǎn)的子午弧長(zhǎng)）由子午弧長(zhǎng)公式反解求得。子午線弧長(zhǎng)反解公式詳見朱華統(tǒng)教授著常用大地坐標(biāo)系及其變換第二章，第五節(jié)，P47、P48;或教材P18，7.4.2式7-109，7-110。四、平面子午收斂角的計(jì)算 x 切線 坐 子 標(biāo) 午 北 線 投 影 B0 平行圈投影 切線 dx P dy y o平面子午收斂角定義：通過(guò)P點(diǎn)的子午線投影在平面上有一切線，該切線與坐標(biāo)北的夾角為平面子午線收斂角。由右圖知 又 xf1(B，L)yf2(B，L)有 圖中：BCt（常數(shù)）0，故dB0故 由正算公式 分別對(duì)l求導(dǎo)，代入上式得 為使用方便，變換形式

13、。令：tang u ，則g arctan u ，展開得g u(1/3)u3(1/5)u5即 將式代入上式，整理得平面子午線收斂角計(jì)算公式 8-81rdl=NcosBdl dy 平行圈 子 MdB 午 dx 線 dS ds （注：g 為奇函數(shù)，與l符號(hào)一致）五、長(zhǎng)度比、長(zhǎng)度變形及投影帶的劃分1.長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形定義：投影的長(zhǎng)度比為投影的長(zhǎng)度變形為m1由右圖微分三角形知：由正算公式 得 由子午線收斂角推導(dǎo)知 將、式代入m2式，則用B，L（lLl0）計(jì)算長(zhǎng)度比的公式為 將反算公式 代入上式，得 顧及，(ecosB是微小值)；N 4R4；則用x、y計(jì)算長(zhǎng)度比的公式為 由、式可以表明：1）長(zhǎng)度比m隨點(diǎn)的

14、位置而異，但在一點(diǎn)上與方向無(wú)關(guān)； G 0 3 6 9 12 15 18 2）當(dāng)l0，y0時(shí)，m1，即中央子午線投影的長(zhǎng)度不變；3）l0，y0時(shí)，m1，即s總是大于S（中央子午線除外）；4）變形與l2、y2成比例地增大，即愈遠(yuǎn)離軸子午線，變形愈迅速增大。2.投影帶的劃分投影帶的劃分長(zhǎng)度變形是客觀存在的，不能將它完全消除，只能對(duì)其合理地加以限制，使其在用圖和測(cè)圖時(shí)影響很小，以致可以忽略。為此采用分帶投影，即：取軸子午線兩側(cè)適當(dāng)范圍（兩條邊緣子午線為界），投影到與軸子午線相切橫橢圓柱面上。而該范圍以外地區(qū)，另設(shè)中央子午線投影。以此控制投影后長(zhǎng)度變形不超過(guò)一定限度。我國(guó)國(guó)家投影帶為六度帶和三度帶，三度

15、帶是六度帶的加密，如圖：根據(jù)式，長(zhǎng)度變形m1(1/2)l2cos2B（取該式主項(xiàng)），算得在我國(guó)北緯B20以南地區(qū)，位于六度帶邊緣處（l3），長(zhǎng)度變形可達(dá)1/820。故，只有1/2.5萬(wàn)至1/10萬(wàn)國(guó)家基本圖才采用六度帶。而1/萬(wàn)地形圖在六度帶邊緣地區(qū)圖廓長(zhǎng)度約5km，則長(zhǎng)度變形約6m，引起圖上0.6mm變形，這是絕對(duì)不允許的，故1/萬(wàn)或更大比例尺地形圖規(guī)定采用三度帶。北緯B20處，三度帶邊緣地區(qū)（l1.5），變形約為1/3300，對(duì)1/2000地形圖，圖廓長(zhǎng)度約1km，將引起0.3m的變形，圖上變形0.15mm，勉強(qiáng)滿足1/2000地形測(cè)圖的要求。對(duì)1/1000、1/500地形圖，根據(jù)其長(zhǎng)度變

16、形情況（測(cè)區(qū)B、L），往往采用1.5度帶或獨(dú)立投影帶。高斯投影帶帶號(hào)和中央子午線的關(guān)系：1）已知帶號(hào)求中央子午線經(jīng)度：設(shè)中央子午線經(jīng)度為L(zhǎng)0，若已知帶號(hào)（六度帶）N和（三度帶）n，則：六度帶：L06N3三度帶：L03n2）已知點(diǎn)的經(jīng)度L求其帶號(hào)：六度帶：N(L3)/6 三度帶：nL/3（按四舍五入取整數(shù)確定帶號(hào)）坐標(biāo)算法的規(guī)定：為避免y值出現(xiàn)負(fù)號(hào)（我國(guó)位于北半球，x均為正），造成抄錄成果出錯(cuò)，規(guī)定在y值上人為地加上500km；為了區(qū)別不同投影帶，前面再冠以帶號(hào)（我國(guó)領(lǐng)土經(jīng)度自東經(jīng)75135，按6帶，包含1323帶；按3帶，包含了2446帶，相互無(wú)重合。因此，觀其帶號(hào)，不須注明即可知是6帶亦或3

17、帶）例：y20499799.75m，該點(diǎn)在6帶第20帶， y-200.25m。y36517148.26m，該點(diǎn)在3帶第36帶， y17148.26m。投影帶的重疊度為了拼圖和使用方便，規(guī)定每六度帶向東加寬30，向西加寬15或7.5，從而保證在重疊部分有兩套坐標(biāo)和兩套地形圖。練習(xí)及作業(yè)：1、閱讀：、教材8.1-8.5。、高斯-克呂格投影坐標(biāo)計(jì)算表2、思考：、高斯投影的幾何意義及一般解釋。、高斯投影的特性。、高斯投影的計(jì)算工作包括那些？、我國(guó)投影帶采用的幅寬為多少？如何分帶？、測(cè)圖時(shí)如何選用投影帶？、推導(dǎo)帶號(hào)和經(jīng)度的關(guān)系。、坐標(biāo)寫法有何規(guī)定？3、作業(yè)：已知：B350442.9854，L118224

18、9.9705，進(jìn)行高斯投影正算，并以反算進(jìn)行檢核。（分別按克氏橢球和IAG-75橢球計(jì)算）3 橢球面上的觀測(cè)結(jié)果化歸到高斯平面上控制網(wǎng)由橢球面歸化到高斯平面上的內(nèi)容有：起算數(shù)據(jù)：P1(L1，B1)p1(x1，y1) A12A12 ；使用T12A12g 112S12s12觀測(cè)數(shù)據(jù)：likLiklikik A A a c a c b b b B b B g a g a C C在國(guó)家三四等及城市、工程控制網(wǎng)中，往往起算坐標(biāo)和方位角，均為高斯平面上數(shù)值。實(shí)際工作中只遇到大量方向改化的計(jì)算和一定數(shù)量的距離改化計(jì)算。一、方向改化d 的計(jì)算1.球面角超的概念對(duì)于球面閉合三角形abg180e球面角超eabg1

19、80球面角超數(shù)值的概念abc2km時(shí)，0.009abc10km時(shí)，0.22abc50km時(shí)，5.48球面角超的計(jì)算：由球面三角可知 式中 F球面三角形的面積，R球面平均曲率半徑由球面三角面積公式 故 式中 R球面的曲率半徑a平面歸化角根據(jù)洛戎德爾定理 aa/3bb/3gg/3在計(jì)算時(shí)，平面歸化角a還是未知數(shù)，故可用a代替a，兩次趨近求：1）用a代替a計(jì)算的第一次近似值1，得平面歸化角近似值a 1= a1/3，2）用a 1代替a計(jì)算 的第二次近似值。當(dāng)17、邊長(zhǎng)90km時(shí)，式中第二項(xiàng)為小項(xiàng)，可以忽略不計(jì)，且可用a、b、g代替平面歸化角a、b、g，即： 軸 子 P2 午 F2 線 F1 P12.方

20、向改化的計(jì)算方向改化近似公式(推導(dǎo)中有三點(diǎn)近似)如下：近似：設(shè)橢球?yàn)橐恢睆綖镽的圓球，則：球面上四邊形（兩大圓弧之間）的內(nèi)角和為：218012投影到平面上四邊形的內(nèi)角和為：21801221因?yàn)槭歉咚雇队埃ㄕ瓮队埃?。故投影后保證 x P2(x2,y2) P1(x1,y1)2180122180|12|21|即 12|12|21|近似：設(shè)|12|21| 則 122故： 近似：設(shè)兩球面面積，等于兩平面面積，則 （）以上討論的是絕對(duì)值?？紤]到符號(hào)，（下式可直接加到方向值上）的計(jì)算公式如下： （上式適用三等以下網(wǎng)）2 B B CC 3 A A 1詳細(xì)公式 （上式適用二等網(wǎng)）由上式可知，大地線在平面上的投

21、影凹向軸子線。為了對(duì)方向改化有一個(gè)數(shù)值的概念，參見p82，表8-5。3.方向改化的檢核因 AA(1312) AABB(2123) BBCC(3231) CC所以 ABCABCABC即 180180ABC故 ABC-4.計(jì)算方向改化所需坐標(biāo)x、y的精度已知 微分得 若令 d(x1x2)dymdP則 對(duì)于二等網(wǎng)，方向值精確到0.1，改正數(shù)取至0.01。取：d0.01；ym350km（6帶邊緣）；R6370 km；(x1x2)13 km算得：dP10.8 m 故：近似坐標(biāo)取至10m，計(jì)算過(guò)程中取至米即可。 對(duì)于三、四等網(wǎng)，方向值精確到1，近似坐標(biāo)取至100m，計(jì)算過(guò)程中取至10m已足夠了。二、距離改

22、化的計(jì)算 x D dD s ds y 將橢球面上的大地線長(zhǎng)度歸化為平面上的弦線長(zhǎng)度，此即為距離改化。1.投影后的曲線s與兩點(diǎn)間的直線D的長(zhǎng)度關(guān)系取距離的微分段如圖： ；dDcosds 又： 可知： max (方向改化) 故： （此項(xiàng)極小）所以cos1，即Ds，亦即：大地線的投影s可做為弦線長(zhǎng)度D。2.距離改化的計(jì)算由Simpson近似積分公式，將積分區(qū)間n 等分時(shí)將積分區(qū)間二等分時(shí) y y0 y1 y2 yn y=f(x) h h o a b x x0 x1 x2 xn x m2 P2 s/2 mm Pm m1 s/2 P1 y o 設(shè)有大地線如圖 ；dsm dS 利用Simpson積分（積分

23、區(qū)間二等分）將長(zhǎng)度比代入上式得式中 ym(y1y2)/2 y(y2y1)故，距離改化 上式當(dāng)S70km，ym350km時(shí)，計(jì)算誤差1mm，適用一等邊長(zhǎng)。二等邊長(zhǎng)的實(shí)用公式，即將上式中ym4項(xiàng)舍去；三、四等邊長(zhǎng)的實(shí)用公式，可進(jìn)一步將y2項(xiàng)舍去。3.計(jì)算所需近似坐標(biāo)的精度由距離改化的主項(xiàng)微分得根據(jù)城市測(cè)量規(guī)范，取dS0.1mm（二等）；dS1mm（三等），S9km（二等）；S5km（三等），取Rm6371km，ym350km，則dym(二等)1.29m ；dym(三等)23m故，在計(jì)算近似坐標(biāo)時(shí)，二等應(yīng)正確至米，計(jì)算過(guò)程中取至分米；三等、四等可正確至10m，計(jì)算過(guò)程中取至米。練習(xí)及作業(yè)：1、閱讀8

24、.6，8.72、思考、橢球面上元素化算到高斯平面上都有哪些？、什么是方向改化？其公式形式？、大地線投影在高斯平面上是什么形狀？何以證明？、方向改化計(jì)算如何檢核？、什么是距離改化？其公式形式？、方向、距離改化所用近似坐標(biāo)精度如何？如何推算？4 相鄰?fù)队皫У淖鴺?biāo)換算一、相鄰?fù)队皫У淖鴺?biāo)換算的實(shí)質(zhì)解決相鄰帶之間的聯(lián)系。即：已知P點(diǎn)西帶坐標(biāo)x1、y1，求其東帶坐標(biāo)x2、y2；已知P點(diǎn)東帶坐標(biāo)x2、y2，求其西帶坐標(biāo)x1、y1。二、相鄰帶換算的用途1、A點(diǎn)的坐標(biāo)換算到第帶，統(tǒng)一到第帶網(wǎng)中使用。（66、33）2、將較寬帶坐標(biāo)換算到較窄帶上，得到較小的長(zhǎng)度變形。（63、31.5、1.5獨(dú)立帶等） l1 l2

25、 y1 y2 x1 x2 西帶軸子午線東帶軸子午線邊緣子午線 A 軸 邊緣 軸 邊緣 軸 三、坐標(biāo)換算方法1.間接法坐標(biāo)換算程序?yàn)椋簒1，y1反算B，l1B，l2正算x2，y2。 +l -l y1 y2 y2 x1 x2 x2 西帶軸子午線東帶軸子午線邊緣子午線此方法經(jīng)過(guò)正、反兩次運(yùn)算，工作量較大。但目前應(yīng)用電算，工作量大已不成問(wèn)題。2.直接法直接法公式推導(dǎo)思路如下：變“一點(diǎn)兩帶”問(wèn)題，為“兩點(diǎn)一帶”問(wèn)題選一與P1對(duì)稱于邊緣子午線的“對(duì)稱點(diǎn)”P2，如圖。B2B1；ll；P1點(diǎn)東帶的坐標(biāo)為x2，y2；P2點(diǎn)在西帶的坐標(biāo)為x2，y2。由圖可知 x2x2；y2y2故，換帶計(jì)算求x2，y2，歸結(jié)為求x

26、2，y2。變坐標(biāo)換算為坐標(biāo)增量計(jì)算在邊緣子午線上，選取輔助點(diǎn)M（x0，y0），輔助點(diǎn)是已知的。因P1、P2對(duì)分界子午線對(duì)稱，所以M P1MP2S；A M P1A1，A MP2360A1 ；x0，y0及0可按半帶經(jīng)差及選定之B0算出。由圖可知： N 分 帶 子 午 B=常數(shù) 線 P2 360-A1 P1 S S A1 M x N 0 p2 (x2,y2) D2 西 p1 2 帶 (x1,y1) D1 M0(x0,y0) ox1x1x0D1cosT1y1y1y0D1sinT1 (1)x2x2x0D2cosT2y2y2y0D2sinT2 (2)式中：Ti弦長(zhǎng)Di的坐標(biāo)方位角，為方便，選M點(diǎn)時(shí)使T12

27、70。代入（1）有x1x1x00y1y1y0-D1 (3)又 T2A202(360A1) 02(360(T10) 0290(20 2) (4)至此，求出2則由(4)式可求得T2。若再求得D2，則可由(2)式求得x2，y2，從而求出x2，y2，進(jìn)而求出x2，y2。由距離改化公式； 兩式相除，忽略四次方以上各項(xiàng)，得略去項(xiàng)，得 (5)將（3）（4）（5）式代入（2）式，得 (6)而 sin(202)sin20cos202 (7)又 略去項(xiàng)，得 2(y0/2R2)x2 (8)將（7）（8）代入（6）得同理 (9)（9）式含未知數(shù)x2，y2不能直接應(yīng)用，可用逐次趨近法（以（9）右端第一項(xiàng)作為x2，y2的

28、近似值代入上式）求解。由圖（a）（c）可知：x2x0x2y2(y0y2) 在上面公式推導(dǎo)中，只推求了公式的主項(xiàng)，實(shí)際上公式的系數(shù)要復(fù)雜得多。為方便實(shí)用，已編制出高斯-克呂格坐標(biāo)換帶表，供66、63、33之間換算。四、應(yīng)用換帶表進(jìn)行換帶計(jì)算的實(shí)用公式1.查表法換帶計(jì)算公式（保證1mm坐標(biāo)精度）對(duì)3帶換帶表，y180km；對(duì)6帶換帶表，y160km，采用嚴(yán)密（修正項(xiàng)）公式如下x2x1m(m1m2y1)y1y1xy2y0n(n1n2y1)y1y1y對(duì)3帶換帶表，y180km；對(duì)6帶換帶表，y160km，采用修正項(xiàng)為公式如下x2x1（mm1y1）y1xy2y0（nn1y1）y1y 式中 x1，y1已知

29、點(diǎn)P的坐標(biāo)x2，y2待求坐標(biāo)（P點(diǎn)在相鄰帶的坐標(biāo)）x0，y0輔助點(diǎn)在西帶的坐標(biāo)，x0x1，y0永為正值（以x1為引數(shù)查表方法見下）m、m1、m2、n、n1、n2換帶系數(shù)，以x1為引數(shù)查表x、y、x、y坐標(biāo)修正項(xiàng)，以x1，y1為引數(shù)查表y1y1y0 (y1即P點(diǎn)y坐標(biāo)自然值)2.符號(hào)說(shuō)明西東，規(guī)定：y1y1y0東西，規(guī)定：y1y1y0西東，計(jì)算得y2應(yīng)為負(fù)值；東西，計(jì)算得y2應(yīng)為正值。3.查表方法例： y0表列y0Xkmy0d(y0) （以x1為引數(shù)查表）式中 Xkm已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)x1，與略小于x1的表列引數(shù)之差y0對(duì)應(yīng)每公里Xkm，y0 的變化值d(y0)y0的修正值參見武測(cè)、同濟(jì)合編教材下冊(cè)

30、P129：y180km，采用修正項(xiàng)的公式以3274km查取表列y0值：145353.1538；y012.9244(m)X1.110535km=1110.535m，以Xm引數(shù)查右邊小表得：d(y0)=0.0020m代入上式得：y0145338.7986y1y1y090.0984344km (80km)至此，根據(jù)y1是否大于80km，確定用修正項(xiàng)（或）公式。練習(xí)及作業(yè)：1、閱讀、參考閱讀：教材8.8、孔祥元，梅是義主編控制測(cè)量學(xué)P333，7.8、借閱高斯-克呂格坐標(biāo)換帶表2、思考、什么是換帶計(jì)算?、相鄰帶換算的用途、什么是間接換算方法?、如何用電算換帶?、如何用查表法換帶?3、參考閱讀武測(cè)、同濟(jì)合

31、編控測(cè)教材（下）P128“始6，按”5 工程測(cè)量投影面與投影帶選擇的概念一、工程測(cè)量中投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)1.投影變形的概念邊長(zhǎng)歸算到橢球面上的變形影響變形 (1)式中 Hm歸算邊平均大地高S歸算邊的長(zhǎng)度R歸算邊方向法截弧曲率半徑相對(duì)變形 (2)上兩式計(jì)算值(S1km，R6370km)列入下表：Hm/m10204080160100020003000S1/mm-1.6-3.1-6.3-12.6-25.1-157-314-472S1/S1/63.7萬(wàn)1/31.8萬(wàn)1/15.9萬(wàn)1/7.9萬(wàn)1/3.9萬(wàn)1/6.3千1/3.1千1/2.1千可知邊長(zhǎng)歸算到橢球面上總是縮短，其影響與Hm成比例。

32、將橢球面上邊長(zhǎng)改化到高斯平面上的變形影響變形 (3)式中 ym歸算邊兩端橫坐標(biāo)平均值S橢球面上邊長(zhǎng)相對(duì)變形 (4)上兩式以S1km，R6375.9km(B=4152)計(jì)算值列入下表：ym/km1020304050607080150S2/mm1.24.911.119.730.744.360.3078.7276.7S2/S1/81萬(wàn)1/20萬(wàn)1/9萬(wàn)1/5萬(wàn)1/3.2萬(wàn)1/2.2萬(wàn)1/1.6萬(wàn)1/1.2萬(wàn)1/3.5千可知，邊長(zhǎng)投影到高斯平面上，總是增大。離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。其影響與ym平方成正比。2.工程控制網(wǎng)對(duì)長(zhǎng)度變形的要求一般施工放樣方格網(wǎng)和建筑軸線測(cè)量精度為1/50001/20000。由歸算引起的長(zhǎng)度變形應(yīng)小于其1/2，即相對(duì)變形應(yīng)小于1/100001/40000，也即每公里歸算長(zhǎng)度改正數(shù)，不應(yīng)大于10cm2.5cm。3.工程測(cè)量投影面和投影帶選擇的基本