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文檔簡介
1、一、等差數(shù)列1、數(shù)列的概念例1根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng),寫出它的通項(xiàng)公式:(1)1,3,5,7;(2),;(3),。解析:(1)=2; (2)= ; (3)= 。如(1)已知,則在數(shù)列的最大項(xiàng)為_ ;(2)數(shù)列的通項(xiàng)為,其中均為正數(shù),則與的大小關(guān)系為_;(3)已知數(shù)列中,且是遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)的取值范圍;2、等差數(shù)列的判斷方法:定義法或。例2設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且Sn=n2,則an是( )A.等比數(shù)列,但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列,而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列答案:B;解法一:an=,an=2n1(nN)又an+1an=2為常數(shù),常數(shù),an是等差數(shù)列,但不
2、是等比數(shù)列.解法二:如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù),則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列。練一練:設(shè)是等差數(shù)列,求證:以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。3、等差數(shù)列的通項(xiàng):或。4、等差數(shù)列的前和:,。例3:等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,若a2a4a15的值是一個(gè)確定的常數(shù),則數(shù)列an中也為常數(shù)的項(xiàng)是()AS7BS8 CS13 DS15解析:設(shè)a2a4a15p(常數(shù)),3a118dp,解a7p.S1313a7p. 答案:C例4等差數(shù)列an中,已知a1,a2a54,an33,則n為()A48 B49 C50 D51解析:a2a52a15d4,則由a1得d,令an33(n1)×
3、;,可解得n50.故選C.如(1)等差數(shù)列中,則通項(xiàng);(2)首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列,從第10項(xiàng)起開始為正數(shù),則公差的取值范圍是_ ;例5:設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,a128,S99,則S16_.解析:S99a59,a51,S168(a5a12)72. 答案:72例6:已知數(shù)列an為等差數(shù)列,若<1,且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值,則使Sn>0的n的最大值為()A11 B19 C20 D21解析:<1,且Sn有最大值,a10>0,a11<0,且a10a11<0,S1919·a10>0,S2010(a10a11)<0.所以使得Sn>
4、;0的n的最大值為19,故選B.答案:B如(1)數(shù)列 中,前n項(xiàng)和,則, ;(2)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和,求數(shù)列的前項(xiàng)和.5、等差中項(xiàng):若成等差數(shù)列,則A叫做與的等差中項(xiàng),且。提醒:(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中,涉及到5個(gè)元素:、及,其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè),便可求出其余2個(gè),即知3求2。(2)為減少運(yùn)算量,要注意設(shè)元的技巧,如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為,(公差為);偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差,可設(shè)為,,(公差為2)6.等差數(shù)列的性質(zhì):常用結(jié)論(1)前n項(xiàng)和為,則(m、nN*,且mn)。(2)若m+n=p+q(m、n、p、qN*,且mn,pq),則。(3),成等差數(shù)列。 即,
5、則(5) 若a10,d0,有最大值,可由不等式組來確定n; 若a10,d0,有最小值,可由不等式組來確定n,也可由前n項(xiàng)和公式來確定n。(6)若an=m,am=n, (mn)則am+n=0(7)若an=m,am=n, (mn)則am+n=0(8)若Sn=m,Sm=n, (mn)則Sm+n=mn重點(diǎn):(1)當(dāng)公差時(shí),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù),且斜率為公差;前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.(2)若公差,則為遞增等差數(shù)列,若公差,則為遞減等差數(shù)列,若公差,則為常數(shù)列。(3)當(dāng)時(shí),則有,特別地,當(dāng)時(shí),則有.(4)若、是等差數(shù)列,則、 (、是非零常數(shù))、 ,也成等差數(shù)列,而成等比數(shù)列;若是等
6、比數(shù)列,且,則是等差數(shù)列. 練一練:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25,前2n項(xiàng)和為100,則它的前3n和為 。(5)在等差數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),(這里即);。練一練:項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)和為80,偶數(shù)項(xiàng)和為75,求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù).(6)若等差數(shù)列、的前和分別為、,且,則.練一練:設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列,它們的前項(xiàng)和分別為和,若,那么_;(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中,前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和;“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中,前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一:由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)(或非正);法二:因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù),故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,但要
7、注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想?(函數(shù)思想),由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎?練一練:等差數(shù)列中,問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大?并求此最大值;例7(1)設(shè)an(nN*)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,且S5S6,S6S7S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )A.d0B.a70 C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值(2)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為( )A.130 B.170 C.210 D.260解析:(1)答案:C;由S5<S6得a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6,a6>0,又S6=S7,a1+a2+a6
8、=a1+a2+a6+a7,a7=0,由S7>S8,得a8<0,而C選項(xiàng)S9>S5,即a6+a7+a8+a9>02(a7+a8)>0,由題設(shè)a7=0,a8<0,顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。(2)答案:C。解法一:由題意得方程組,視m為已知數(shù),解得,。解法二:設(shè)前m項(xiàng)的和為b1,第m+1到2m項(xiàng)之和為b2,第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3,則b1,b2,b3也成等差數(shù)列。于是b1=30,b2=10030=70,公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110,前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三:取m=1,則a1=S1=30,a2=S2S1=70,
9、從而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。等差數(shù)列課后練習(xí)一、選擇題1若ab,數(shù)列a,x1,x 2 ,b和數(shù)列a,y1 ,y2 ,b都是等差數(shù)列,則 ( ) A B C1 D2在等差數(shù)列中,公差1,8,則 ( )A40B45C50D553等差數(shù)列的前三項(xiàng)為,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ( )A B C D 4在等差數(shù)列,則在Sn中最大的負(fù)數(shù)為 ( )AS17BS18CS19DS205已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為31,若此數(shù)列從第16項(xiàng)開始小于1,則此數(shù)列的公差d 的取值范圍是 A(,2) B, 2 C(2, +) D( ,2)6在等差數(shù)列中,若,則n的
10、值為 ( )A18 B17C16D157等差數(shù)列中,等于( )A205B215C1221D208已知某數(shù)列前項(xiàng)之和為,且前個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和為,則前個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為 ABCD 9一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列,它的前5項(xiàng)的和為34,最后5項(xiàng)的和為146所有項(xiàng)的和為234,則它的第七項(xiàng)等于A22B21C19D1810等差數(shù)列中,0,若1且,則的值是 A 10 B 19 C20 D38二、填空題11已知是等差數(shù)列,且 則k= .12在ABC中,A,B,C成等差數(shù)列,則 . 13在等差數(shù)列中,若,則 .14是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,(n5,), =336,則n的值是 .三、解答題15己知為等差數(shù)列,若在每相鄰兩項(xiàng)之間
11、插入三個(gè)數(shù),使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列,求: (1)原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)? (2)新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)?16數(shù)列是首項(xiàng)為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列,且第六項(xiàng)為正,第七項(xiàng)為負(fù)。 (1)求數(shù)列公差;(2)求前項(xiàng)和的最大值;(3)當(dāng)時(shí),求的最大值。17設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為S n ,且S 4 =62, S 6 =75,求: (1)的通項(xiàng)公式a n 及前項(xiàng)的和S n ; (2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+|a 14 |.18已知數(shù)列,首項(xiàng)a 1 =3且2a n+1=S n ·S n1 (n2). (1)求證:是等差數(shù)列,并求公差;(2)求a n 的通項(xiàng)公式; (3)數(shù)列an 中是否存在自然數(shù)k0,使得當(dāng)自然數(shù)kk 0時(shí)使不等式a k>a k+1對(duì)任意大于等于k的自然數(shù)都成立,若存在求出最小的k值,否則請(qǐng)說明理由.選擇題:ABCCB DABDA 填空題:118; 12; 1324; 1421.解答題:15分析:應(yīng)找到原數(shù)列的第n項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng),即找出新、舊數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系。解:設(shè)新數(shù)列為即3=2+4d,即原數(shù)列的第n項(xiàng)為新數(shù)列的第4n3項(xiàng)(1)當(dāng)n=12時(shí),4n3=4×123=45,故原數(shù)列的第12項(xiàng)為新數(shù)列的第45項(xiàng);(2)由4n3=29,得n=8,故新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng)。說明:一般地,在公
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