高中數學空間向量與立體幾何 6 距離的計算課時作業(yè) 北師大版選修21

1、§6距離的計算課時目標掌握向量長度計算公式，會用向量方法求兩點間的距離、點到直線的距離和點到平面的距離1兩點間的距離的求法設a(a1，a2，a3)，則|a|_，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則dAB|_.2點到直線距離的求法設l是過點P平行于向量s的直線，A是直線l外定點作AAl，垂足為A，則點A到直線l的距離d等于線段AA的長度，而向量在s上的投影的大小|·s0|等于線段PA的長度，所以根據勾股定理有點A到直線l的距離d.3點到平面的距離的求法設是過點P垂直于向量n的平面，A是平面外一定點作AA，垂足為A，則點A到平面的距離d等于線段AA的長度，而向量

2、在n上的投影的大小|·n0|等于線段AA的長度，所以點A到平面的距離d|·n0|.一、選擇題1若O為坐標原點，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，則線段AB的中點P到點C的距離為()A. B2 C. D.2在直角坐標系中，設A(2,3)，B(3，2)，沿x軸把直角坐標平面折成120°的二面角后，則A、B兩點間的距離為()A2 B.C. D33已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是()A. B. C. D.4.如圖所示，在直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AEB是等腰直角三角形，其

3、中AEB90°，則點D到平面ACE的距離為()A. B.C. D25.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是()A. B.C. D.6若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD的距離為()A. B1 C. D.題號123456答案二、填空題7已知夾在兩平行平面、間的斜線段AB8 cm，CD12 cm，AB和CD在內的射影長的比為35，則和的距離為_8已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，則點D到平面AB

4、C的距離為_9棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是線段BB1，B1C1的中點，則直線MN到平面ACD1的距離為_三、解答題10已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC平面ABCD，且GC2，求點B到平面EFG的距離11在正方體ABCDA1B1C1D1中棱長為1，利用向量法求點C1到A1C的距離能力提升12如圖所示，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD平面ABEF，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CMBNa(0a )(1)求MN的長；(2)當a為何值時，MN的長最小13.如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面AB

5、CD，PAAB，點E是棱PB的中點求直線AD與平面PBC的距離1點到直線的距離可以通過作垂線轉化為兩點間的距離，也可以利用向量形式的點到直線的距離公式計算2求點到平面的距離的三種方法：(1)定義法：這是常規(guī)方法，首先過點向平面作垂線，確定垂足的位置，然后把該垂線段歸結到一個直角三角形中，解三角形求得(2)等體積法：把點到平面的距離視為一個三棱錐底面的高，利用三棱錐轉換底面求體積，進而求得距離(3)向量法：這是我們常用到的方法，利用向量法求點到平面的距離的一般步驟為：求出該平面的一個法向量；找出從該點出發(fā)的平面任一條斜線段對應的向量；求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值，再除以法向量的模，即可

6、求出點到平面的距離§6距離的計算知識梳理1.作業(yè)設計1D由題意()(2，3)，(2，3)，PC| .2A作AEx軸交x軸于點E，BFx軸交x軸于點F，則，22222·2·2·2222·92542×3×2×44，|2.3B建立如圖所示坐標系，則(2,0,0)，(1,0,2)，cos ，sin ，A到直線BE的距離d|sin 2×.4B建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，1，0)，E(1,0,0)，D(0，1，2)，C(0,1,2).(0,0,2)，(1,1,0)，(0,2,2)，設平面ACE的法向量n(

7、x，y，z)，則即令y1，n(1,1，1)故點D到平面ACE的距離d.5B以D為坐標原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則有D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)因O為A1C1的中點，所以O(，1)，(，0)，設平面ABC1D1的法向量為n(x，y，z)，則有即取x1，則n(1,0,1)O到平面ABC1D1的距離為d.6D如圖所示，直線AB1與底面ABCD所成的角為B1AB，而A1C1到底面ABCD的距離為AA1，在RtABB1中，B1BAB·tan 60°.所以A

8、A1BB1.7. cm8.解析設平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則即可取n，又(7，7,7)點D到平面ABC的距離d.9.解析如圖，以D為坐標原點，以DA，DC，DD1為x、y、z軸建立空間直角坐標系則平面ACD1的一個法向量為(1,1,1)，M，A(1,0,0)，(0,1，)，點M到平面ACD1的距離為d.又，MN平面ACD1.故MN平面ACD1，故MN到平面ACD1的距離也為d.10解如圖所示，以C為原點，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系由題意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)，G(

9、0,0,2)(0,2,0)，(4,2，2)，(2,2,0)設平面GEF的法向量為n(x，y，z)，則有即令x1，則y1，z3，n(1,1,3)點B到平面EFG的距離為d|·cos，n|.11解如圖，以AB、AD、AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則A1(0,0,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,1)直線A1C的方向向量(1,1，1)點C1與直線A1C上一點C(1,1,0)的向量(0,0,1)在上的投影.點C1到直線A1C的距離d.12解(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，C(0,0,1)，CMBNa(0<a<)，且四邊形ABCD、ABEF為正方形，M(a,0,1a)，N(a，a,0)，(0，a，a1)，|.(2)由(1)知|MN|，所以，當a時，|MN|.即M、N分別移到AC、BF的中點時，|MN|的長最小，最小值為.13解如圖，以A為坐標原點，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸正半軸，建立空間直角坐標系設D(0，a,0)，則B(