高等數(shù)學(xué) 各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第9章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用總結(jié)一、多元函數(shù)的極限與連續(xù)1、維空間為二元數(shù)組的全體，稱為二維空間。為三元數(shù)組的全體，稱為三維空間。 為元數(shù)組的全體，稱為維空間。維空間中兩點(diǎn)間的距離：鄰域:設(shè)是的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù)，與點(diǎn)距離小于的點(diǎn)的全體稱為點(diǎn)的鄰域，記為，即空心鄰域: 的鄰域去掉中心點(diǎn)就成為的空心鄰域,記為=。內(nèi)點(diǎn)與邊界點(diǎn)：設(shè)為維空間中的點(diǎn)集，是一個(gè)點(diǎn)。如果存在點(diǎn)的某個(gè)鄰域，使得，則稱點(diǎn)為集合的內(nèi)點(diǎn)。 如果點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)都既有屬于的點(diǎn)又有不屬于的點(diǎn)，則稱為集合的邊界點(diǎn), 的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界聚點(diǎn)：設(shè)為維空間中的點(diǎn)集，是一個(gè)點(diǎn)。如果點(diǎn)的任何空心鄰域內(nèi)都包含中的無窮多個(gè)點(diǎn)，則稱為集合的聚點(diǎn)。開

2、集與閉集:若點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱是開集。設(shè)點(diǎn)集, 如果的補(bǔ)集是開集，則稱為閉集。區(qū)域與閉區(qū)域：設(shè)為開集，如果對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn)，都可以用內(nèi)的折線（其上的點(diǎn)都屬于）連接起來, 則稱開集是連通的連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域開區(qū)域與其邊界的并集稱為閉區(qū)域有界集與無界集:對(duì)于點(diǎn)集，若存在，使得，即中所有點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過，則稱點(diǎn)集為有界集，否則稱為無界集 如果是區(qū)域而且有界，則稱為有界區(qū)域有界閉區(qū)域的直徑：設(shè)是中的有界閉區(qū)域，則稱為的直徑。二、多元函數(shù)元函數(shù)就是的一個(gè)子集到的一個(gè)函數(shù)，即對(duì)任意的，都存在唯一的，使得。習(xí)慣上，我們用表示一元函數(shù)， 用表示二元函數(shù)，用表示三元函數(shù). 一般用或表示元函數(shù)三、

3、多元函數(shù)的極限設(shè)多元函數(shù)在有定義，是的一個(gè)聚點(diǎn)，為常數(shù)。如果對(duì)任意給定的，都存在，當(dāng)時(shí)，有則稱為趨于時(shí)函數(shù)在上的極限，記為 或。四、多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)多元函數(shù)在有定義，是的一個(gè)聚點(diǎn)。如果，則稱在點(diǎn)連續(xù)。如果在區(qū)域上各點(diǎn)都連續(xù)，就稱在上連續(xù)如果函數(shù)在 點(diǎn)處不連續(xù)，則稱函數(shù)在點(diǎn)處間斷, 也稱是函數(shù)的間斷點(diǎn)。五、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)二元函數(shù)，為平面上一點(diǎn)。如果在的某一鄰域內(nèi)有定義且在點(diǎn)可導(dǎo)，即極限 存在, 則稱在點(diǎn)處對(duì)可偏導(dǎo)，稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為或六、高階偏導(dǎo)數(shù)， 如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)都在平面區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等。七、全微分設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，為常

4、數(shù)。如果，其中， 則稱函數(shù) 在點(diǎn)可微分（簡稱可微），稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記作，即可微的必要條件：函數(shù)在點(diǎn)可微, 則(1) 在點(diǎn)處連續(xù)。(2) 在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在, 且?？晌⒌某浞謼l件：函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可偏導(dǎo)，且偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)可微。八、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則鏈?zhǔn)椒▌t：， ，。一階全微分的形式不變性：，九、隱函數(shù)及其求導(dǎo)法若滿足：(1) 在某鄰域內(nèi)可偏導(dǎo), 且連續(xù)，(2) ，(3) 。則(1) 存在的某個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)存在唯一確定的一元函數(shù)滿足稱函數(shù)稱為由方程所確定的隱函數(shù)，且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，若滿足：(1) 在點(diǎn)的某個(gè)(n+1)維鄰域內(nèi)可偏導(dǎo), 且連續(xù)。(2) ，(3) 則(1) 存在點(diǎn)的某個(gè)n維鄰域, 在此鄰域內(nèi)存在唯一的n元函數(shù)，且函數(shù)在該鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 。十、空間曲線的切線與法平面空間曲線的參數(shù)方程為，為曲線上一點(diǎn)。如果不全為0，則在點(diǎn)處的切線的方程為：，在點(diǎn)處的法平面方程為：。十一、空間曲面的切平面與法線曲面：在點(diǎn)處的法線方程為：在點(diǎn)處的法線方程為：十二、無條件極值極值存在的必要條件：函數(shù)在點(diǎn)處取得極值, 且在該點(diǎn)處函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 則在點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)為零, 即 極值存在的充分條件：函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且。令，則(1) 當(dāng)時(shí)，是函數(shù)