第10章05柱面坐標與求面坐標系中三重積分的計算(1)

1、第5節(jié)柱面坐標與球面坐標系下三重積分的計算5.1 利用柱面坐標計算三重積分我們不按課本上的講法，換一種講法。用柱面坐標計算三重積分的步驟：（1）把三重積分寫成二套一：將往平面投影得，設(shè)的小邊界大邊界，則（2）用極坐標計算外層的二重積分： 設(shè)則注意：用極坐標計算外層二重積分時，總是先對后對積分；用坐標關(guān)系，代入被積函數(shù)和里層定積分的上下限，不動，并且外層面積元素多一個因子，即，或說體積元素 當然，當投影區(qū)域的邊界有圓弧或被積函數(shù)有時用柱面坐標計算簡單。圖5.1 【例5.1】 計算三重積分，其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成的區(qū)域解旋轉(zhuǎn)面的方程為：如圖5.1所示，將積分區(qū)域投影到面，得

2、投影區(qū)域為：的小邊界大邊界。積分區(qū)域為：，所以我們看到，上面計算方法中，用作坐標（變量）。圖5.2設(shè)空間有一點并設(shè)在面上的投影點的極坐標為，則這樣三個數(shù)就叫做點的柱面坐標一般地的取值范圍為：，容易看出，所謂柱面坐標，就是：不變還是，而換成極坐標。點的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系為：，構(gòu)成柱面坐標系的三個坐標面為： ，以軸為中心軸，為半徑的圓柱面；，過軸且極角為的半平面； ，平行于平面且高度為的平面【例5.2】 計算，其中是由曲面與圖5.5所圍成的區(qū)域解，由上節(jié)中關(guān)于三重積分的對稱性的討論知，聯(lián)立兩曲面方程，解得兩曲面的交線關(guān)于面的投影柱面方程為：即積分區(qū)域在面上的投影區(qū)域為：的小邊界大邊界。所以所

3、以【例5.3】 計算其中為曲面，及所圍成的閉區(qū)域解為錐面，圓柱面及平面所圍成（圖5.6）。由于關(guān)于面是對稱的，而被積函數(shù)關(guān)于變量為偶函數(shù)，故圖5.6，其中為在第一卦限的部分交線在面上的投影是。在面上的投影區(qū)域是半圓的小邊界大邊界。所以 （的大邊界化為極坐標方程為。）類似地，（1'）把三重積分寫成二套一：將往平面投影得，設(shè)的小邊界大邊界，則（2'）用極坐標計算外層的二重積分： 設(shè)則（1"）把三重積分寫成二套一：將往平面投影得，設(shè)的小邊界大邊界，則（2"）用極坐標計算外層的二重積分： 設(shè)則小技巧：如果你只熟悉“類似地”前計算方法，在整個題中，改一下（比如說把改成

4、把改成），就可變成“類似地”前的計算方法。結(jié)果不變。（黑板解析）思考題：1設(shè)，令：, , ，則問此運算是否正確？（不對。看黑板。）5.2 利用球面坐標計算三重積分如圖5.7所示，空間中的點可用球面坐標表示，其中，如圖5.7。（是半徑為的球面，所以稱為球面坐標）顯然：，點的直角坐標與球面坐標間的關(guān)系為：，下面我們按定義計算三重積分：用三組坐標面：常數(shù)（球面），常數(shù)（錐面），常數(shù)（半平面）將積分區(qū)域劃分成個小區(qū)域：。設(shè)的增量、增量、增量（圖5.8）。的體積。取點。則其右邊的極限正好是關(guān)于球面坐標的三重積分所以(5.2)圖5.7圖5.8這就是用球面坐標計算三重積分的公式。注意：用坐標關(guān)系代入被積函數(shù)

5、，并且體積元素多一個因子，即 當然，（5.2）還是得化為三次積分來計算。即注意：用球面坐標計算三重積分時，總是先對后對最后對積分。當然，關(guān)鍵還是定三次積分的上下限。關(guān)于三次積分上下限的定法，我們只講下面三種簡單情況。一般情況太復(fù)雜，不作要求。圖5.9.1（1）由錐面（半錐角）和頂曲面圍成，如圖5.9.1。此時（2）的邊界只有一張曲面，正半軸穿過的內(nèi)部，且曲面在原點與平面相切，如圖5.10.1。此時圖5.10.1（3）的邊界只有一張曲面，且坐標原點在的內(nèi)部。此時上面三種情況用球面坐標計算三重積分特別簡單。當被積函數(shù)有時用球面坐標計算三重積分也特別簡單。設(shè)曲面。把坐標關(guān)系，代入方程得，再解出，就是

6、曲面的極坐標方程。（測）圖5.9【例5.4】 計算，其中為及圍成的區(qū)域解屬于第（1）種情況（圖5.9）。錐面半錐角，頂曲面的球面坐標方程。于是思考題：2能否用柱面坐標重解此題？（可以。），消去得。在平面的投影。的小邊界大邊界。所以比較繁?！纠?.5】 計算，其中為，圍成的閉域圖5.10解是由兩個球面圍成（圖5.10），球面的球面坐標方程是，球面的球面坐標方程是。由，解得，即兩曲面的交線為屬于第（1）種情況，但是的邊界有兩個表示式和。因此，需要用錐面將區(qū)域分成兩部分，所以 （經(jīng)）思考題：3考慮被積函數(shù)為，能否用“先二后一”法求解此題？解 解得。用平面分割成上下兩部分和。在上的投影，任意給定，用平

7、面截得所以類似地可計算。然后。5.3* 三重積分的換元法則類似于二重積分情形，三重積分也有如下的換元積分法：設(shè)函數(shù)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，定義在空間上的函數(shù)組,， 在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且將中的區(qū)域一一對應(yīng)地變換為空間的區(qū)域，若函數(shù)組的雅可比行列式，則有三重積分的換元公式 (5.3)如球面坐標變換：,，則，故,此結(jié)果與前面的結(jié)論是一致的【例5.6】 計算三重積分，其中為橢球的內(nèi)部區(qū)域解令，（稱之為廣義球面坐標），則區(qū)域化為，,習題10A類1選擇適當?shù)淖鴺讼涤嬎阆铝腥胤e分：(1) ，其中為曲面及平面所圍區(qū)域；(2) ，其中為曲面,及圍成；*(3) ，其中為曲面及所圍區(qū)域；*(4) ，其中為曲面及圍

8、成的閉區(qū)域；(5) ，其中為曲面所圍區(qū)域；(6) ，其中為曲面，所圍區(qū)域；(7) ，；*(8) ，其中為曲面及平面，圍成的區(qū)域；(9) ，其中為曲面及圍成的區(qū)域；(10),.解（10）關(guān)于平面對稱，被積函數(shù)是的偶函數(shù)。所以其中是在第一卦限的部分。所以2利用“先二后一”的方法計算下列三重積分：(1) ，其中為曲面及圍成的區(qū)域；(2) ，其中由曲面，及圍成；*(3) ，其中由曲面及，圍成；(4) ，其中由曲面，及圍成解 （2）用一套二方法計算。在軸上的投影。任意給定，用平面截得用極坐標計算里層的二重積分3利用三重積分求下列立體的體積：*(1) 曲面，及；(2) 及；(3) ，4曲面將球體分成兩部分

9、，求這兩部分的體積比5設(shè)為球面圍成的空間區(qū)域試證：6設(shè)為連續(xù)函數(shù)，為所圍區(qū)域，求B類*1，其中為2，其中為3，其中為及所圍區(qū)域*4，其中為平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)面*5利用三重積分的換元法計算(1) ，其中為曲面及，圍成(2) ，其中為曲面，及圍成*6求曲面，及三坐標面所圍的立體的體積7證明：曲面上任一點處的切平面與曲面所圍的立體的體積為常數(shù)8設(shè)是連續(xù)函數(shù)，其中，求*9設(shè)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)且恒大于零，其中，(1) 討論在內(nèi)的單調(diào)性；(2) 證明：當時，總 習 題 十1填空題:(1) 變換累次積分次序 (2) 將二次積分化為極坐標系下的二次積分 *(3) 設(shè)區(qū)域，則 (4)曲面與所圍的立體的體

10、積為 *(5) *(6) (7) 設(shè)，其中為曲面，及平面圍成的區(qū)域?qū)⒒癁槔鄞畏e分，則在直角坐標系下 ；在柱面坐標系下 (8) 設(shè)為曲面和圍成的閉區(qū)域，在上連續(xù)，將化為三次積分，則在直角坐標系下 ；在柱面坐標系下 ；在球面坐標系下 *(9) 設(shè)為球域 (10) 若積分可化為定積分，則 ； 若積分可化為定積分，則 ；* 設(shè)，積分可化為定積分的形式，則 *2選擇題:(1) 設(shè)是以為中心點的正方形，是的內(nèi)切圓，是的外切圓，記,分別為在,上的二重積分，則它們滿足的不等式是 A.； B.； C.； D.(2) 將極坐標下的二次積分化為直角坐標下的二次積分，則 A.； B.；C.；D.(3) 在極坐標下與二

11、次積分相等的是 A.； B.；C.； D.(4) 設(shè)區(qū)域，在上連續(xù)，則 A.； B. ； C.D.(5) 設(shè)，為位于第一卦限的部分，則A.； B.；C.； D.(6) 設(shè)函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則 A.； B.； C.； D.3計算下列二重積分：(1) ，其中為以,為頂點的平行四邊形(2) ，其中(3) ，其中*(4) ，其中*(5) ，其中是由曲線，圍成的區(qū)域(6) ，其中*(7) ，由，圍攻成的區(qū)域*(8) ，其中由，及圍成的區(qū)域4交換二次積分的積分次序：*(1) (2) (3) *(4) 5若是由錐面和球面所圍成的位于錐面內(nèi)部的那部分區(qū)域，將三重積分分別化為直角坐標系下，柱面坐標系下，球面坐標系下的三次積分6選擇適當?shù)淖鴺讼涤嬎阆铝腥胤e分:(1) ，其中是由及圍成的區(qū)域(2) ，其中為*(3) ，為曲面中位于第一卦限的部分區(qū)域(4) ，為曲面，及所圍成的區(qū)域*(5) ，其中區(qū)域為*7設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，且單調(diào)減證明：8三個有相同半徑的正圓柱，其對稱軸兩兩正交，求它們相貫所得的立體的體積我們學了的重積分方法：1、X型區(qū)域上計算二重積分；2、Y型區(qū)域上計算二重積分；3、極坐標