動力學(xué)入門知識

1、動力學(xué)動力學(xué)概述1 動力學(xué)的研究內(nèi)容靜力學(xué)研究作用在剛體上力系的簡化和力系的平衡條件；沒有討論物體受不平衡力系作用將如何運(yùn)動；運(yùn)動學(xué)只是從幾何角度研究了物體的運(yùn)動和描述物體運(yùn)動的方法，但未涉及物體所受到的力。動力學(xué)則將兩者結(jié)合起來。研究物體運(yùn)動的變化與作用于物體上的力之間的關(guān)系。即建立物體運(yùn)動的普遍規(guī)律。2 動力學(xué)研究的力學(xué)模型質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系3 動力學(xué)研究的問題（1） 已知物體的運(yùn)動，求作用于物體的力；（2） 已知作用于物體的力，求物體的運(yùn)動情況。4 動力學(xué)的課程體系1） 經(jīng)典動力學(xué)（矢量動力學(xué)）最高原理：牛頓定律導(dǎo)出規(guī)律：2） 分析力學(xué)初步3） 兩種特殊的運(yùn)動：碰撞和機(jī)械振動基礎(chǔ)。第十二章 動

2、量定理和動量矩定理本章研究的兩個定理動量定理力系主矢量的運(yùn)動效應(yīng)反映；動量矩定理力系主矩的運(yùn)動效應(yīng)反映。一 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量的幾何性質(zhì)1 質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心，其位置有下式確定：其投影式為 , , 2 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量定義：為剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量或影響的因素單位：物理意義：描述剛體繞軸時慣性大小的度量。的計(jì)算方法：（1） 積分法例12.1已知：設(shè)均質(zhì)細(xì)長桿為，質(zhì)量為。求其對于過質(zhì)心且與桿的軸線垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：建立如圖12.2所示坐標(biāo)，取微段其質(zhì)量為，則此桿對軸的轉(zhuǎn)動慣量為：例12.2已知：如圖12.3所示設(shè)均質(zhì)細(xì)圓環(huán)的半徑為，質(zhì)量為，求其對于垂直于圓環(huán)平面且過中心的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：將圓環(huán)沿

3、圓周分為許多微段，設(shè)每段的質(zhì)量為，由于這些微段到中心軸的距離都等于半徑，所以圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為：例12.3已知：如圖12.4所示，設(shè)均質(zhì)薄圓板的半徑為，質(zhì)量為，求對于垂直于板面且過中心的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：將圓板分成無數(shù)同心的細(xì)圓環(huán)，任一圓環(huán)的半徑為，寬度為，質(zhì)量為，由上題知，此圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，于是，整個圓板對于軸的轉(zhuǎn)動慣量為：（2） 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）設(shè)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，質(zhì)量為，則由式定義的長度，稱為剛體對軸的回轉(zhuǎn)半徑。例如：均質(zhì)桿（圖12.2） 均質(zhì)圓環(huán)（圖12.3） 均質(zhì)薄圓板（圖12.4） 若已知剛體對軸的回轉(zhuǎn)半徑，則剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為：（3） 轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理

4、在圖12.5中，軸間距離為，剛體質(zhì)量為，其中軸過質(zhì)心，則有例如：在圖12.2中，細(xì)長桿對軸的轉(zhuǎn)動慣量為（4） 組合體例12.4 已知：鐘擺可簡化為如圖12.6所示。設(shè)均質(zhì)桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為和，桿長為，圓盤直徑為，求鐘擺對通過懸掛點(diǎn)的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：鐘擺對水平軸的轉(zhuǎn)動慣量為：其中： 所以二 動量定理1 動量的概念與計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的動量為質(zhì)點(diǎn)系的動量系為質(zhì)點(diǎn)系的動量（動量系的主矢量）為將質(zhì)心公式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，有即于是2 動量定理1）質(zhì)點(diǎn)的動量定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為，速度為，作用力為，由牛頓第二定律，有變換為質(zhì)點(diǎn)的動量定理的微分形式 （為元沖量）將上式對時間積分有 沖量 質(zhì)點(diǎn)的動量定理的積分形式

5、2）質(zhì)點(diǎn)系的動量定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由個質(zhì)點(diǎn)組成，其中第個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，速度為，所受外力為，內(nèi)力為（圖12.7）（1）由牛頓第二定律 將上式由到求和，有， （)由, 質(zhì)心運(yùn)動定理： （）質(zhì)心運(yùn)動定理反映了質(zhì)心的重要力學(xué)特征：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的運(yùn)動只取決于質(zhì)點(diǎn)系的外力，內(nèi)力改變不了質(zhì)心的運(yùn)動。這個定理在理論上和實(shí)際中都具有重要的意義。在求解剛體系統(tǒng)動力學(xué)問題時，為了應(yīng)用方便，常將上式改寫為 （）式中 、分別是剛體系統(tǒng)中第個剛體的質(zhì)量和質(zhì)心加速度。是由質(zhì)心公式對時間求二階導(dǎo)數(shù)后得到的，即（2） 積分形式由式（）可得到積分形式 （3） 動量守恒（質(zhì)心守恒）若 則常矢量 或常矢量若 則常量 或常量若則常量 （質(zhì)心

6、守恒）實(shí)例分析實(shí)例1利用質(zhì)心運(yùn)動定理解釋定向爆破實(shí)例2利用質(zhì)心運(yùn)動定理分析汽車的起動與剎車?yán)?2.5已知：如圖12.11所示的電動機(jī)用螺栓固定在剛性基礎(chǔ)上，設(shè)其外殼和定子的總質(zhì)量為，質(zhì)心位于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸的中心；轉(zhuǎn)子質(zhì)量為，由于制造或安裝是的偏差，轉(zhuǎn)子質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸中心上，偏心距。轉(zhuǎn)子以等角速度轉(zhuǎn)動，試求電動機(jī)機(jī)座的約束力。解：1 研究對象：電動機(jī)整體2 分析受力（如圖示）3 分析運(yùn)動：定子不動；轉(zhuǎn)子作勻速圓周運(yùn)動，其法線加速度4 列動力學(xué)方程求解：由此解出： 5 討論1） 機(jī)座的約束力由兩部分組成，一部分由重力（主動力）引起的，稱為靜約束力（靜反力），另一部分是由于轉(zhuǎn)子質(zhì)心運(yùn)動狀態(tài)變化引起的，稱為附

7、加動約束力。2） 附加動約束力有最大值或最小值：時，時，時，時，3） 附加動約束力與成正比，當(dāng)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速很高時，其數(shù)值可以達(dá)到靜約束力的幾倍，甚至幾十倍，而且這種約束力是周期性變化的，必然引起機(jī)座和基礎(chǔ)的振動，還會引起有關(guān)構(gòu)件內(nèi)的交變應(yīng)力。4） 利用動量定理能否求約束力偶矩？本例也可以選用質(zhì)心運(yùn)動定理求解。在圖12.10中，因?yàn)槎ㄗ硬粍?，故是慣性參考系中，寫出系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)公式： 將上兩式對時間求二階導(dǎo)數(shù)，可得：由質(zhì)心運(yùn)動定理：可得例12.6 在上例中（例12.5），若電動機(jī)機(jī)座與基礎(chǔ)之間無螺栓固定，且為光滑接觸（圖12.12），初始時電動機(jī)靜止。求轉(zhuǎn)子以等角速度轉(zhuǎn)動時電機(jī)外殼的運(yùn)動，并分析電

8、機(jī)跳起的條件。解：1）求電機(jī)外殼的運(yùn)動研究電機(jī)整體 由圖示受力分析知 又因?yàn)楣食Ａ繒r，由圖12.11時，由圖12.11因?yàn)?解得：說明電機(jī)沿水平方向作簡諧振動，振幅為2） 電機(jī)未跳起時，仍可用上例所求結(jié)果，即令，求的電機(jī)的角速度為：討論：當(dāng)，即時，轉(zhuǎn)子質(zhì)心在最高處，可求得使電機(jī)跳起的最小角速度為：例12.7已知：如圖12.13表示水流流經(jīng)變截面彎管的示意圖。設(shè)流體是不可壓縮的理想流體，而且流動是定常的。求流體對管壁的作用力。解：1）研究對象：取管中截面和截面之間的流體為研究的質(zhì)點(diǎn)系2）受力分析：如圖所示設(shè)流體密度為，流量為，（流體在單位時間內(nèi)流過截面的體積流量，定常流動時，是常量）在時間內(nèi)，流

9、過截面的質(zhì)量為，其動量改變量為即 由 得 令 其中為管子對流體的靜約束力，由下式確定則有 為流體流動時，管子對流體的附加動約束力?？梢?，當(dāng)流體流速很高或管子截面積很大時，流體對管子的附加動壓力很大，在管子的彎頭處必須安裝支座（圖12.14）三 動量矩的概念及其計(jì)算1 質(zhì)點(diǎn)的動量矩設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，某瞬時的速度為，到點(diǎn)的矢徑為（圖12.15）質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的動量矩為 質(zhì)點(diǎn)對軸的動量矩為 質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)和軸（該軸通過點(diǎn)）的動量矩關(guān)系為 2 質(zhì)點(diǎn)系的動量矩設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由個質(zhì)點(diǎn)組成，其中第個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，速度為，到點(diǎn)的矢徑為，則質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)的動量矩（動量系對點(diǎn)的主矩）為：質(zhì)點(diǎn)對軸的動量矩為 動量矩的解析式為 剛體動量矩的

10、計(jì)算1) 剛體平動（圖12.17）2) 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩（圖12.18）3）平面運(yùn)動剛體對其平面內(nèi)一點(diǎn)的動量矩（圖12.19）例12.8已知：質(zhì)量為，的兩物塊分別系在兩柔軟不可伸長的繩子上，圖12.20所示，此兩繩分別繞在半徑為和并固結(jié)在一起的鼓輪上，設(shè)鼓輪的質(zhì)量為，對轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)半徑為，并以轉(zhuǎn)動。求系統(tǒng)對鼓輪轉(zhuǎn)軸的動量矩。解：1 分析運(yùn)動：2 計(jì)算例12.9圖12.21所示橢圓規(guī)尺，質(zhì)量為，曲柄質(zhì)量為，滑塊和的質(zhì)量為，設(shè)曲柄和均為均質(zhì)桿，且，曲柄以轉(zhuǎn)動，求：此橢圓規(guī)尺機(jī)構(gòu)對轉(zhuǎn)軸的動量矩。解：1 分析運(yùn)動：規(guī)尺作平面運(yùn)動2 計(jì)算物塊速度均通過轉(zhuǎn)軸 ，對的動量矩為，桿定軸轉(zhuǎn)動，對軸的動量

11、矩為四 心為定點(diǎn)的動量矩定理引言：求均質(zhì)輪在外力偶的作用下，繞質(zhì)心軸的角加速度1 質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩定理圖12.22牛頓第二定律：上式兩邊左叉矢徑左邊是固定點(diǎn)時，于是有質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩定理2 質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由個質(zhì)點(diǎn)組成，其中第個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，速度為，對固定點(diǎn)的矢徑為，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的外力為，內(nèi)力為。第個質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩定理為將上式從到求和由圖12.23知右邊左邊可得 質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理3 動量矩守恒若，常矢量若 則常量例12.10分析受有心力作用的物體的運(yùn)動解：如圖12.24所示，因?yàn)楣食Ｊ噶浚梢娰|(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動的軌跡是平面曲線。例12.11 如圖

12、12.25所示，在調(diào)速器中，除小球外，各桿重量可不計(jì)，忽略摩擦，系統(tǒng)繞軸自由轉(zhuǎn)動。初始時，系統(tǒng)的角速度為，當(dāng)細(xì)繩拉斷時。求各桿與鉛直線成角時系統(tǒng)的角速度。解：研究整體：因重力和軸承力對于轉(zhuǎn)軸的矩為零，即 故常量時時由 得例12.12已知：不可伸長的繩子繞過不計(jì)質(zhì)量的定滑輪，繩的一端懸掛物塊，另一端有一個與物塊重量相等的人，從靜止開始沿繩子上爬，設(shè)其相對繩子的速度為，試問：物是否動？并分析繩子的速度。解：研究整體系統(tǒng)：因?yàn)?，故常量設(shè)輪順時針轉(zhuǎn)，繩子的速度為則由 即得物上升的速度為人向上的速度為人、物向上的絕對速度大小相等，方向相同，人物同時到達(dá)頂端。五剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程設(shè)剛體在主動力系作用下，

13、繞固定軸轉(zhuǎn)動（圖12.27），設(shè)剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，瞬時的角速度為，剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩為，由質(zhì)點(diǎn)系對固定軸的動量矩定理可得剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程例12.13 已知復(fù)擺由繞水平軸轉(zhuǎn)動的剛體構(gòu)成，已知復(fù)擺的重量為，重心到轉(zhuǎn)軸的距離為，如圖12.28所示，設(shè)復(fù)擺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為。求復(fù)擺微擺動的周期。解：1 研究對象：復(fù)擺2 分析受力：如圖12.28所示3 分析運(yùn)動：復(fù)擺作定軸轉(zhuǎn)動，用表示其轉(zhuǎn)角4 列動力學(xué)方程，求解：由題意，復(fù)擺微擺動時，于是有這是簡諧運(yùn)動的標(biāo)準(zhǔn)微分方程，此方程的解為：式中稱為角振幅，為初相位他們由初始條件確定擺動周期為5 討論1） 若測出周期T，可求出剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量2）

14、如果要求軸承O的約束力求，積分求求軸承的約束力剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程組例12.14 已知：電動機(jī)將不變轉(zhuǎn)矩M加在軸上（圖12.29）軸通過節(jié)圓半徑為的外嚙合齒輪傳動給軸。軸與提升重物的鼓輪固結(jié)為一體，鼓輪半徑為R，軸連同其上零件對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，軸連同其上零件對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，且各自重心分別在轉(zhuǎn)軸上。重物的質(zhì)量為，不計(jì)摩擦。求：重物A的加速度。解：1 研究軸（圖12.29） （1）2 研究軸物（圖12.29） （2）3 運(yùn)動學(xué)關(guān)系 （3） （4）由方程（1）、（2）、（3）、(4)，解得：五 矩心為質(zhì)心的動量矩定理1 質(zhì)點(diǎn)系對于定點(diǎn)”O(jiān)”和質(zhì)心”C”的動量矩之間的關(guān)系如圖12.30所示，O為定點(diǎn)

15、，C為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心，質(zhì)點(diǎn)系對于定點(diǎn)O的動量矩為對于任一質(zhì)點(diǎn)，由圖可見于是式中,質(zhì)點(diǎn)系對于質(zhì)心的絕對動量矩圖12.30中為隨質(zhì)心平動的參考系，設(shè)點(diǎn)相對該坐標(biāo)系的速度為，有式中質(zhì)點(diǎn)系對于質(zhì)心的相對動量矩有代入式，有 2 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于固定點(diǎn)的動量矩定理左邊右邊由于所以矩心為質(zhì)心的動量矩定理若則 常矢量 矩心為質(zhì)心的動量矩守恒試分析跳水運(yùn)動的騰空動作（圖12.31）剛體的平面運(yùn)動微分方程設(shè)剛體具有質(zhì)量對稱平面，作用在剛體上的力系可以簡化為在此平面內(nèi)的力系，如圖12.31所示。以為基點(diǎn)建立平動坐標(biāo)系，則剛體相對于此質(zhì)心的動量矩為剛體平面運(yùn)動歲質(zhì)心平動相對質(zhì)心轉(zhuǎn)動隨質(zhì)心平動相對質(zhì)心轉(zhuǎn)動剛體平面運(yùn)動微分方程：例12.15 已知：質(zhì)量為半徑為的均質(zhì)圓輪放在傾角為的斜面上，由靜止開始運(yùn)動。設(shè)輪沿斜面作純滾動。求：（1）輪心的加速度，（2）輪沿斜面不打滑的條件。解：1 研究對象：輪2 分析受力：如圖12.33所示3 分析運(yùn)動：輪作平面運(yùn)動，輪心沿斜面作直線運(yùn)動4 列動力學(xué)方程求解：輪純滾動聯(lián)立解得：純滾動的條件：5 討論：若，由式 得，常量 輪平動 若，則輪沿斜面打滑，此時由方程 可求得例12.16 已知：均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量，長度，端用兩條細(xì)繩懸掛，三者個夾角，如圖12.34所示。求：剪斷繩時，桿的角加速度及繩的拉力。解：1 研究對象：桿2 分析受力：如圖12.34所示3