應用數學課程自學考試大綱

1、應用數學課程自學考試大綱課程代碼 ：01042 使用教材：微積分(第三版) 趙樹嫄 主編 中國人民大學出版社 2007 年 課程性質和學習目的：本大綱供應用數學課程使用。 考核知識點及考核要求：第一章 函數第一節(jié) 集合 了解：集合的概念、集合的關系和運算。第二節(jié) 實數集 掌握：區(qū)間、鄰域的概念。第三節(jié) 函數關系 掌握：函數的概念，函數的定義域、表達式及函數值。第四節(jié) 分段函數 掌握：掌握分段函數的定義域、函數值的概念以及分段函數的圖像的做法第五節(jié) 建立函數關系的例題 了解：函數關系在實際生活中的應用。第六節(jié) 函數的幾種簡單的性質 掌握：函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性，會判斷所給函數的類別

2、。第七節(jié) 反函數與復合函數掌握：函數y f(x)與其反函數y f 1(x)之間的關系(定義域、值域、圖象) 以及單調函數的反函數。函數的四則運算與復合。重點掌握：復合函數的復合過程。第八節(jié) 初等函數 了解：初等函數的概念。掌握：基本初等函數的簡單性質及其圖象。第二章 極限與連續(xù)第一節(jié) 數列的極限了解：極限的概念（對極限定義中“N”、“ -M”的描述不作要求），能根據極限概念了解函數的變化趨勢。第二節(jié) 函數的極限 重點掌握： 函數在一點處的左極限與右極限， 以及函數在一點處極限存在的充分 必要條件。第三節(jié) 變量的極限 了解：變量極限的定義、有界變量的定義。第四節(jié) 無窮大量與無窮小量 掌握：無窮小

3、量、無窮大量的概念 重點掌握： 無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。 會進行無窮小量階的 比較（高階、低階、同階和等價） 。第五節(jié) 極限的運算法則 掌握：極限的四則運算法則。第六節(jié) 兩個重要的極限 重點掌握：用兩個重要極限求極限的方法。第七節(jié) 利用等價無窮小量代換求極限重點掌握 :利用等價無窮小量做代換的方法。第八節(jié) 函數的連續(xù)性 了解：函數在一點連續(xù)與極限存在之間的關系、在閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質。 掌握：函數在一點連續(xù)與間斷的概念、初等函數在其定義區(qū)間上連續(xù)性， 并會利 用函數連續(xù)性求極限。重點掌握：判斷簡單函數（含分段函數）在一點處連續(xù)的方法、求函數的間斷點 及確定其類型。第三章 導

4、數與微分 第一節(jié) 引出導數概念的例題了解：導數概念的兩個例題第二節(jié)導數的概念了解：可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。重點掌握：導數的概念及其幾何意義。第三節(jié)導數的基本公式與運算法則掌握：隱函數的求導法與對數求導法、曲線的切線方程和法線方程的求法。重點掌握：導數的基本公式、四則運算法則及復合函數的求導方法。第四節(jié)高階導數了解：高階導數的概念，函數的二階導數。第五節(jié)微分了解：微分的概念、可微與可導的關系，函數的微分。掌握：微分運算法則。第四章中值定理與導數的應用第一節(jié)中值定理了解：羅爾定理、拉格朗日中值定理（知道它們的條件、結論） 。第二節(jié)洛必達法則0 _重點掌握：用洛必達法則求

5、“ 0 ”、“”“0W、“住”、“00和“X 0”型未定式的極限方法。第三節(jié)函數的增減性 重點掌握：利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區(qū)間的方法，會利用函數的增減性證明簡單的不等式。第四節(jié)函數的極值 掌握：函數極值的概念。第五節(jié) 最大值與最小值，極值的應用問題重點掌握：求函數的極值、最大值與最小值的方法，以及簡單的應用問題。第六節(jié)曲線的凹向與拐點重點掌握：判定曲線的凹凸性的條件，并會求曲線的拐點。第七節(jié)函數圖形的作法了解：函數圖形的作法、曲線漸近線的求法。第五章不定積分第一節(jié)不定積分的概念掌握：原函數與不定積分的概念及其關系。第二節(jié)不定積分的性質重點掌握：不定積分的性質。第三節(jié)基本積

6、分公式重點掌握：不定積分的基本公式。第四節(jié)換元積分法掌握：第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換） 。重點掌握：不定積分第一換元法。第五節(jié)分部積分法掌握：分部積分公式，利用分部積分法計算積分。第六節(jié)綜合雜例掌握：常見類型的不定積分分部積分法。重點掌握：簡單有理函數的不定積分。第六章定積分第一節(jié)引出定積分概念的例題了解：定積分概念的兩個例題。第二節(jié)定積分的定義了解：可積的條件。重點掌握：定積分的概念與幾何意義。第三節(jié)定積分的基本性質重點掌握：定積分的基本性質。第四節(jié)微積分基本定理掌握：對變上限定積分求導的方法、牛頓 - 萊布尼茨公式。第五節(jié) 定積分的換元積分法 重點掌握：定積分的積分換元法。第

7、六節(jié)定積分的分部積分法掌握：定積分的分部積分法。第七節(jié)定積分的應用重點掌握：直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋 轉所生成旋轉體的體積。第八節(jié)廣義積分與函數了解：無窮區(qū)間廣義積分的概念，并會進行計算。第七章無窮級數第一節(jié)無窮級數的概念了解：級數收斂、發(fā)散的概念。第二節(jié)無窮級數的基本性質了解：級數的基本性質。重點掌握：級數收斂的必要條件。第三節(jié)正項級數掌握：正項級數的比值判別法和比較判別法。第四節(jié) 任意項級數，絕對收斂了解：級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。掌握：幾何級數 arn、調和級數 -與P級數 +的斂散性。n 0n 1 nn 1 n第五節(jié)幕級數了

8、解：幕級數的概念、幕級數在其收斂區(qū)間的基本性質（和、差、逐項求導與逐 項積分）。重點掌握：求幕級數的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點）的方法。 第六節(jié)泰勒公式與泰勒級數了解：泰勒公式以及泰勒展開的兩種余項（拉格朗日型余項和麥克勞林余項） 第七節(jié)某些初等函數的幕函數展開式 重點掌握：一些簡單的初等函數展開為 x的幕級數。第八章多元函數第一節(jié)空間解析幾何簡介了解：空間直角坐標系、空間兩點距離公式及曲面方程的表示。 第二節(jié)多元函數的概念了解：多元函數的定義、定義域和二元函數的幾何意義。第三節(jié) 二元函數的極限與連續(xù)掌握：二元函數的極限與連續(xù)的定義。二元函數間斷點的定義。第四節(jié)偏導數與全微分掌握：二元函數全微分的求法。重點掌握：二元函數一階偏導數和全微分的概念，二元函數的一階、二階偏導數的求法。第五節(jié) 復合函數的微分法與隱函數的微分法 了解：復合函數與隱函數的偏導數求法。第六節(jié)二元函數的極值了解：二元函數極值的定義，以及極值存在的充分必要條件。掌握：條件極值的拉格朗日乘數法。第七節(jié)二重積分了解：二重積分的概念掌握：二重積分的性質。重點掌握：直角坐標系下的二重積分計算方法。試題舉例一. 選擇題：本大題共10個小題，每小題2分，共20分。1.極限lim SinX【】x 0