概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上上課時(shí)間第一周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題概率論基本概念教學(xué)目的使學(xué)生掌握隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨即事件、頻率、概率及古典概型等概念教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)基本概念的掌握與理解時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性就是我們所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象，我們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。1.1隨機(jī)試驗(yàn)具有如下特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行。每次試驗(yàn)的結(jié)果可能不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。1.2樣本空間、隨機(jī)

2、事件（1）樣本空間我們將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S。樣本空間的元素即E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。（2）隨機(jī)事件我們稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件，簡稱事件。在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生。由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為基本事件。樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn)，它是S自身的子集，在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的，S稱為必然事件。空集不包含任何樣本點(diǎn)，它也作為樣本空間的子集，它在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生，稱為不可能事件。（3）事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，而A，B，Ak（k=1，2，）是S的子集：若，則稱事件B包含事件A，這

3、指的是事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生。若且，即A=B，則稱事件A與事件B相等。事件稱為事件A與事件B的和事件。當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生。事件稱為事件A與事件B的積事件。當(dāng)且僅當(dāng)A，B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生。也記作AB。事件稱為事件A與事件B的差事件。當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生，B不發(fā)生時(shí)事件A-B發(fā)生。若，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的。基本事件是兩兩互不相容的。若，則稱事件A與事件B互為逆事件。又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件。A的對(duì)立事件記為。設(shè)A，B，C為事件，則有：交換律：結(jié)合律：分配率：摩根率： 1.3頻率與概率（1）頻率定義：在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件

4、A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記為fn(A)。頻率具有如下基本性質(zhì)：0fn(A)1fn(S)=1若A1，A2，Ak是兩兩互不相容的事件，則fn(A1A2Ak)=fn(A1)+fn(A2)+fn(Ak)。（2）概率定義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間。對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(·)滿足下列條件：非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件A，有P(A)0。規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，有P(S)=1?？闪锌杉有裕涸O(shè)A1，A2，是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于AiAj=，ij，i，j=1，2，有P(A1A2)=P(A1)

5、+P(A2)+概率的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2（有限可加性）：若A1，A2，An是兩兩互不相容的事件，則有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)。性質(zhì)3：設(shè)A，B是兩個(gè)事件，若，則有P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B)P(A)。性質(zhì)4：對(duì)于任一事件A，P(A)1。性質(zhì)5（逆事件的概率）：對(duì)于任一事件A，有。性質(zhì)6（加法公式）：對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B有。1.4等可能概型（古典概型）具有以下兩個(gè)特點(diǎn)得試驗(yàn)是大量存在的，這種試驗(yàn)稱為等可能概型，也成為古典概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素。試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。若事件A包含k個(gè)基本事件，即A=ei1ei2eik，其中i

6、1，i2，ik是1，2，n中某k個(gè)不同的數(shù)，則等可能概型中事件A的概率計(jì)算公式為：超幾何分布的概率公式為：實(shí)際推斷原理：概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的。教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解和掌握概率論的基本概念，學(xué)生對(duì)概念的掌握尚可，但對(duì)其在實(shí)例中的應(yīng)用尚需多加練習(xí)。上課時(shí)間第二周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題條件概率與獨(dú)立性教學(xué)目的使學(xué)生了解條件概率與獨(dú)立性的基本概念及其應(yīng)用教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)全概率公式與貝葉斯公式時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)1.5條件概率（1）條件概率定義：設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率

7、。條件概率P(·|A)滿足：非負(fù)性：對(duì)于每一事件B，有P(B|A)0。規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，有P(S|A)=1?？闪锌杉有裕涸O(shè)B1，B2，是兩兩互不相容的事件，則有概率的性質(zhì)都適用于條件概率。（2）乘法定理乘法定理：設(shè)P(A)>0，則有P(AB)=P(B|A)P(A) （乘法公式）一般地，設(shè)A1，A2，An為n個(gè)事件，n2，且P(A1A2An)>0，則有P(A1A2An)=P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A2An-2)P(A2|A1)P(A1)（3）全概率公式和貝葉斯公式定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2，Bn為E的一組事件，若BiBj=，ij，i，

8、j=1,2，n則稱B1，B2，Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分。若B1，B2，Bn是樣本空間S的一個(gè)劃分，那么對(duì)每次試驗(yàn)，事件B1，B2，Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生。定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，Bn為S的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0（i=1，2，n)，則P(A)=P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+ P(A|Bn)P(Bn) （全概率公式）定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，Bn為S的一個(gè)劃分，且P(A)>0，P(Bi)>0（i=1，2，n)，則（貝葉斯(Bayes)公式）1.6獨(dú)立性定義：設(shè)A，B是兩事件，若滿足等

9、式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A，B相互獨(dú)立，簡稱A，B獨(dú)立。定理：設(shè)A，B是兩事件，且P(A)>0。若A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)，反之亦然。定理：若事件A與B相互獨(dú)立，則下列各式也相互獨(dú)立：A與，與B，與。定義：設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，若滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，則稱事件A，B，C相互獨(dú)立。一般地，設(shè)A1，A2，An是n（n2）個(gè)事件，若對(duì)于其中任意2個(gè)，任意3個(gè)，任意n個(gè)事件的積事件的概率，都等于各事件概率之積，則稱事件A1，A2，An相互獨(dú)立。推論

10、：若事件A1，A2，An（n2）相互獨(dú)立，則其中任意k（2kn）個(gè)事件也是相互獨(dú)立的。若n個(gè)事件A1，A2，An（n2）相互獨(dú)立，則將A1，A2，An中任意多個(gè)事件換成它們各自的對(duì)立事件，所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立。教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解和掌握條件概率與獨(dú)立性的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生對(duì)概念的掌握尚可，但對(duì)其在實(shí)例中的應(yīng)用尚需多加練習(xí)。上課時(shí)間第三周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題概率論基本概念習(xí)題解析教學(xué)目的使學(xué)生鞏固概率論基本概念所學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)古典概型、全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)1.一俱樂部有5名一年級(jí)學(xué)生，2名二年級(jí)學(xué)生，3名三年

11、級(jí)學(xué)生，2名四年級(jí)學(xué)生。（1）在其中任選4名學(xué)生，求一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生各一名的概率。（2）在其中任選5名學(xué)生，求一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生均包含在內(nèi)的概率。解：（1）共有5+2+3+2=12名學(xué)生，在其中任選4名共有=495種選法，其中每年級(jí)各選1名的選法有=60種選法，因此，所求概率為p=60/495=4/33。（2）在12名學(xué)生中任選5名的選法共有=792種，在每個(gè)年級(jí)中有一個(gè)年級(jí)取2名，而其它3個(gè)年級(jí)各取1名的取法共有+=240種，因此所求概率為P=240/792=12/33。2.某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)。求他撥號(hào)不超過三次而接通所需電話的概率。若已知最后一

12、個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？解：以Ai表示事件“第i次撥號(hào)撥通電話”，i=1,2,3，以A表示事件“撥號(hào)不超過3次撥通電話”，則有。因?yàn)閮蓛苫ゲ幌嗳?，且所以。?dāng)已知最后一位數(shù)是奇數(shù)時(shí)，所求概率為P=1/5+1/5+1/5=3/5。3.有兩種花籽，發(fā)芽率分別為0.8,0.9，從中各取一顆，設(shè)各花籽是否發(fā)芽相互獨(dú)立。求：（1）這兩顆花籽都能發(fā)芽的概率。（2）至少有一顆能發(fā)芽的概率。（3）恰有一顆能發(fā)芽的概率。解：以A，B分別表示事件第一顆、第二顆花籽能發(fā)芽，既有P(A)=0.8，P(B)=0.9。（1）由A，B相互獨(dú)立，得兩顆花籽都能發(fā)芽的概率為P(AB)=P(A)P(B)=0.8*0.9=0

13、.72。（2）至少有一顆花籽能發(fā)芽的概率為事件AB的概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72 =0.98（3）恰有一顆花籽發(fā)芽的概率為事件的概率P()=P(A)+P(B)-2P(AB)=0.26。教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生鞏固所學(xué)概率論基本概念的相關(guān)內(nèi)容，通過本次課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)概率論基本概念的相關(guān)應(yīng)用技巧有所提升。上課時(shí)間第四周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題離散型變量及其分布律、隨機(jī)變量及其分布函數(shù)教學(xué)目的使學(xué)生初步了解離散型隨機(jī)變量的分布律及隨機(jī)變量的分布函數(shù)教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)2.1隨機(jī)變

14、量定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S=e。X=X(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)。稱X=X(e)為隨機(jī)變量。2.2離散型隨機(jī)變量及其分布律有些隨機(jī)變量，它全部有可能渠道的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，這種隨機(jī)變量成為離散型隨機(jī)變量。設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能去的值為xk（k=1,2，），X取各個(gè)可能值的概率，即事件X=xk的概率為PX=xk=pk，k=1,2，。（離散型隨機(jī)變量X的分布律）由概率的定義，pk滿足如下兩個(gè)條件：pk0，k=1,2，（1）（0-1）分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是PX=k=pk(1-p)1-k，k=0,1 （0p1），則稱X服從以p為參數(shù)的（0-1

15、）分布或兩點(diǎn)分布。（2）伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A及，則稱E為伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)。將E獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為，記q=1-p，即有，k=0,1,2，n。注意到剛好是二項(xiàng)式(p+q)n的展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，并記為Xb(n,p)。特別，當(dāng)n=1時(shí)二項(xiàng)分布化為，k=0，1（0-1）分布）。（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個(gè)值的概率為，k=0,1,2，其中0是常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X()。泊松定理：設(shè)0是一

16、個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)npn=，則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有：。上述定理表明，當(dāng)n很大，p很小（）時(shí)有以下近似式（其中=np）。2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=PXx，-x稱為X的分布函數(shù)。對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2（x1x2），有Px1Xx2=PXx2-PXx1=F(x2)-F(x1)。分布函數(shù)F(x)具有以下基本性質(zhì)：F(x)是一個(gè)不減函數(shù)0F(x)1，且，F(xiàn)(x+0)=F(x)，即F(x)是右連續(xù)的。一般，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX=xk=pk，k=1,2，。由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為即。教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)

17、生了解和掌握離散型隨機(jī)變量的分布律及隨機(jī)變量的分布函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生對(duì)重要分布律及分布函數(shù)相關(guān)內(nèi)容掌握尚可，但對(duì)其應(yīng)用尚需多加練習(xí)。上課時(shí)間第五周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度、隨機(jī)變量的函數(shù)分布教學(xué)目的使學(xué)生掌握概率密度與分布函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)正態(tài)分布時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(X)，存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。概率密度具有以下性質(zhì)：f(x)0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2（x1x2）若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F(x)=f(x)（1

18、）均勻分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布。記為XU(a,b)。X的分布函數(shù)為:（2）指數(shù)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為：服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X具有以下性質(zhì)：對(duì)于任意s，t>0，有PX>S+t|X>s=PX>t。上式稱為無記憶性。（3）正態(tài)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，-<x<，其中，（>0）為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為XN(,2)。正態(tài)分布具有如下性質(zhì)：曲線關(guān)于x=對(duì)稱。當(dāng)x=時(shí)取到最大值。正態(tài)分布曲線在

19、x=±處有拐點(diǎn)，曲線以O(shè)x軸為漸近線。如果固定，改變的值，則圖形沿著Ox軸平移，而不改變其形狀；若固定，改變，由于最大值，可知當(dāng)越小時(shí)圖形變得越尖。X的分布函數(shù)為：當(dāng)=0，=1時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。引理：XN(,2)，則Z=N(0,1)。設(shè)XN(0,1)，若z滿足條件PX>z=，0<<1，則稱點(diǎn)z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。2.5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)XN(0,1)，其概率密度為，-<x<，則Y=X2的概率密度為，此時(shí)稱Y服從自由度為1的2分布。定理：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x)，-<x<，又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)(x)

20、>0（或恒有g(shù)(x)<0），則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解和掌握概率密度與分布函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，由于相關(guān)參數(shù)含義在后面章節(jié)介紹，學(xué)生對(duì)正態(tài)分布的掌握稍感欠缺。上課時(shí)間第六周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題隨機(jī)變量及其分布習(xí)題解析教學(xué)目的使學(xué)生鞏固隨機(jī)變量及其分布所學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)重要概率離散型隨機(jī)變量分布律與連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)、概率密度時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)1.盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過僅用圓規(guī)和直尺三等分一個(gè)任意角是不可能的，但每一年總是有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于僅用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)

21、每年撰寫此類文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。解：由題設(shè)某地每年撰寫此類文章的篇數(shù)X(6)，因此，明年無此類文章的概率為：PX=0=e-6=2.5*10-3。2. 某種型號(hào)器件的壽命X（以h計(jì)）具有概率密度：，現(xiàn)有大批此種器件（設(shè)各器件損壞與否相互獨(dú)立），任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？解：任取一只該種器件，其壽命大于1500h的概率為。任取5只這種器件，其壽命大于1500h的只數(shù)記為X，則Xb(5,2/3)，故所求概率為：3由某及其生產(chǎn)的螺栓的長度（cm）服從參數(shù)=10.05，=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0

22、.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格產(chǎn)品的概率。解：記螺栓的長度為X，XN(10.05,0.062)，螺栓不合格的概率為：教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生鞏固所學(xué)隨機(jī)變量及其分布的相關(guān)內(nèi)容，通過本次課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量及其分布的相關(guān)應(yīng)用技巧有所提升。上課時(shí)間第七周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題二維隨機(jī)變量、邊緣分布與條件分布教學(xué)目的使學(xué)生了解并掌握二維隨機(jī)變量與相關(guān)分布的內(nèi)容教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)邊緣分布與條件分布時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)3.1二維隨機(jī)變量一般，設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S=e，設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(

23、X,Y)叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。定義：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù)F(x,y)=P(Xx)(Yy)=PXx,Yy稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下基本性質(zhì)：F(x,y)是變量x和y的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的y，當(dāng)x2>x1時(shí)F(x2,y)F(x1,y)；對(duì)于任意固定的x，當(dāng)y2>y1時(shí)，F(xiàn)(x,y2) F(x,y1)。0F(x,y)1，且：對(duì)于任意固定的y，F(xiàn)(-,y)=0對(duì)于任意固定的x，F(xiàn)(x, -)=0F(-, -)=0, F(, )=1F(x+0,y)=F(x,y)，F(xiàn)

24、(x,y+0)=F(x,y)，即F(x,y)關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù)。對(duì)于任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1<x2，y1<y2，下述不等式成立：F(x2,y2)+F(x1,y1)-F(x1,y2)-F(x2,y1)0。如果二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì)，則稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量。我們稱PX=x1,Y=y1=pij，i，j=1，2，為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律。對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)使對(duì)于任意x，y有，則稱(X,Y)是連續(xù)型的二維隨機(jī)

25、變量，函數(shù)f(x,y)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。概率密度f(x,y)具有以下性質(zhì)：f(x,y)0設(shè)G是xOy平面上的區(qū)域，點(diǎn)(X,Y)落在G內(nèi)的概率為若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則有一般，設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S=e，設(shè)X1=X1(e)，X2=X2(e)，Xn=Xn(e)是定義在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)n維向量(X1,X2,Xn)叫做n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量。對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,xn，n元函數(shù)F(x1,x2,xn)=P X1x1, X2x2,Xnxn稱為n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)或隨機(jī)變量X1,

26、X2,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。3.2邊緣分布二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)F(x,y)。而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將它們分別記為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，依次稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。FX(x)=F(x,)，F(xiàn)Y(y)=F(,y)X的分布律為 : ，i=1,2,Y的分布律為 : ，j=1,2,記 ，i=1,2, ，j=1,2,上式分別稱為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布率。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，設(shè)它的概率密度為f(x,y)，其關(guān)于X和Y的邊緣概率密度分別為：，3.3條件分布事件Y=yj已發(fā)生的條件下事件X=x

27、i發(fā)生的條件概率為：，i=1，2，。上述條件概率具有分布律的性質(zhì)：PX=xi|Y=yj0定義 ：設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若PY=yj>0，則稱，i=1，2，為Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。同樣，對(duì)于固定的i ，若PX=xj>0，則稱，i=1，2，為X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律。定義：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y)。若對(duì)于固定的y，fY(y)>0，則稱為在Y=y的條件下X的條件概率密度，記為。稱為在Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)，記為PXx|Yy。教學(xué)后記本次課的主要

28、內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解和掌握二維隨機(jī)變量、邊緣分布與條件分布的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生對(duì)邊緣分布和條件分布的定義掌握較好，但對(duì)其性質(zhì)尚需多加聯(lián)系后方能熟悉。上課時(shí)間第八周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的函數(shù)分布教學(xué)目的使學(xué)生掌握相互獨(dú)立的隨機(jī)變量并了解幾種常見的隨機(jī)變量的函數(shù)分布教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)3.4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義：設(shè)F(x,y)及FX(x)，F(xiàn)Y(y)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于所有x，y有PXx,Yy=PXxPYy，即F(x,y)=FX(x)FY(y)，則稱隨機(jī)變量X和Y是相

29、互獨(dú)立的。若對(duì)于所有的x1,x2,xn有F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)，則稱X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的。若對(duì)于所有的x1,x2,xm；y1,y2,yn有F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn)，其中F1，F(xiàn)2，F(xiàn)依次為隨機(jī)變量(X1,X2,Xm)，(Y1,Y2,Yn)和（X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn）的分布函數(shù)，則稱隨機(jī)變量(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)是相互獨(dú)立的。定理：設(shè)(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)是相互獨(dú)立的，則Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互獨(dú)立。又

30、若h，g是連續(xù)函數(shù)，則h(X1,X2,Xm)和g(Y1,Y2,Yn)相互獨(dú)立。3.5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布（1）Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(x,y)。則Z=X+Y仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為：或。若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為fX(x)，fY(y)，則上面兩式可化為和。以上兩式稱為fX和fY 的卷積公式，記為fX*fY，即且（2）Z=Y/X的分布和X=XY的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(x,y)，則Z=Y/X與Z=XY仍為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度分別為：，。若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X，

31、Y的邊緣密度分別為fX(x)，fY(y)，則上式可化為：，。（3）M=maxX,Y及N=minX,Y的分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y)，則：Fmax(z)=FX(z)FY(z)，F(xiàn)min(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)。特別的，當(dāng)X1,X2,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有：Fmax(z)=F(z)n，F(xiàn)min(z)=1-1-F(z)n。教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解和掌握相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與兩種常見的隨機(jī)變量的函數(shù)分布。學(xué)生相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的定義掌握較好，其余部分需要多加練習(xí)。上課時(shí)間第九周上課節(jié)次3節(jié)課 型

32、理論課 題多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題解析教學(xué)目的使學(xué)生鞏固多維隨機(jī)變量及其分布所學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)邊緣分布、條件分布與相互獨(dú)立的隨機(jī)變量時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)1設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為（1）確定常數(shù)k（2）求PX<1,Y<3（3）求PX<1.5（4）求PX+Y4解：（1）由得：所以k=1/8。（2）（3）（4）2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，求邊緣概率密度。解：3.設(shè)某種型號(hào)的電子元件的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從于正態(tài)分布N(160,202)，隨機(jī)地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180的概率。解：以Xi（i=1,2,3,4）記所選取的第

33、i只元件的壽命，由題設(shè)一只元件壽命小于180小時(shí)的概率為可認(rèn)為X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，故選取的4只元件沒有一只壽命小于180小時(shí)的概率為教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生鞏固所學(xué)多維隨機(jī)變量及其分布的相關(guān)內(nèi)容，通過本次課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量及其分布的相關(guān)應(yīng)用技巧有所提升。上課時(shí)間第十周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題數(shù)學(xué)期望與方差教學(xué)目的使學(xué)生了解和掌握數(shù)學(xué)期望與方差的概念及其在實(shí)踐中的應(yīng)用教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)數(shù)學(xué)期望與方差的定義及相關(guān)定理時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)4.1數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：PX=xk=pk，k=1，2，。若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的

34、和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即E(X)= 。若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若積分絕對(duì)收斂，則稱積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)。即E(X)= 。數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為均值。數(shù)學(xué)期望E(X)完全由隨機(jī)變量X的分布律所確定。若X服從某一分布，也稱E(X)是這一分布的數(shù)學(xué)期望。定理：設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)：Y=g(X)（g是連續(xù)函數(shù)）。若X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為PX=xk=pk，k=1,2,，若絕對(duì)收斂，則有。若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為f(x)，若絕對(duì)收斂，則有。數(shù)學(xué)期望重要性質(zhì)：設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C。設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E

35、(CX)=CE(X)。設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。此性質(zhì)可推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況。設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY)=E(X)E(Y)。此性質(zhì)可推廣到任意有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況。4.2方差定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若EX-E(X)2存在，則稱EX-E(X)2為X的方差，記為D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)= EX-E(X)2。應(yīng)用中引入，記為(X)，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。對(duì)于離散型隨機(jī)變量：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量：方差重要性質(zhì)：設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0。設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有D(CX)=C2D(X)，D(X

36、+C)=D(X)。設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y)特別地，若X，相互獨(dú)立，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)此性質(zhì)可推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況。(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)E(X)，即PX=E(X)=1。定理：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=，方差D(X)=2，則對(duì)于任意正數(shù)，不等式成立。（切比雪夫(Chebyshev)不等式）教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解和掌握數(shù)學(xué)期望與方差的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)期望與方差的定義掌握較好，相關(guān)定理部分需要結(jié)合習(xí)題多加練習(xí)。上課時(shí)間第十一周上課節(jié)次3節(jié)

37、課 型理論課 題協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)，矩、協(xié)方差矩陣教學(xué)目的使學(xué)生了解并掌握協(xié)方差相關(guān)知識(shí)教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)協(xié)方差時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)4.3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義：量EX-E(X)Y-E(Y)稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差。記為Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)。稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)，Cov(X,X)=D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)協(xié)方差的性質(zhì)：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a,b是常數(shù)。Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) +Cov

38、(X2,Y)定理：的充要條件是，存在常數(shù)a，b使PY=a+bX=1。當(dāng)時(shí)，稱X和Y不相關(guān)。Cov(X,Y)=0可得，即X，Y不相關(guān)；反之X，Y不相關(guān)，X和Y卻不一定相互獨(dú)立。當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時(shí)，X和Y不相關(guān)與X和Y相互獨(dú)立是等價(jià)的。4.4矩、協(xié)方差矩陣定義：設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若E(Xk)，k=1,2,存在，稱它為X的k階原點(diǎn)矩，簡稱k階矩。若EX=E(X)k，k=2,3,存在，稱它為X的k階中心矩。若E(XkYl)，k,l=1,2,存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。X的數(shù)學(xué)期望E(X)是X的一階原點(diǎn)矩，方差D(X)是X的二階中心矩，協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中

39、心矩。二維隨機(jī)變量(X1,X2)有四個(gè)二階中心矩（設(shè)它們分別存在），分別記為：c11=EX1-E(X1)2c12=EX1-E(X1) X2-E(X2)c21=E X2-E(X2) X1-E(X1) c22=EX2-E(X2)2將它們排成矩陣的形式，這個(gè)矩陣稱為隨機(jī)變量(X1,X2)的協(xié)方差矩陣。設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的二階混合中心矩cij=Cov(Xi,Xj)=EXi-E(Xi)Xj-E(Xj),i,j=1,2,n都存在，則稱矩陣為n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的協(xié)方差矩陣。由于cij=cji（ij；i,j=1,2,n），因而上述協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣。教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容

40、與目的在于讓學(xué)生了解和掌握協(xié)方差、矩與協(xié)方差矩陣的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生對(duì)相關(guān)概念掌握較好，相關(guān)應(yīng)用部分尚需多加練習(xí)。上課時(shí)間第十二周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題隨機(jī)變量的數(shù)字特征習(xí)題解析教學(xué)目的使學(xué)生鞏固隨機(jī)變量的數(shù)字特征所學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)數(shù)學(xué)期望與方差時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)1. 某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間(a,b)服從均勻分布，試求圓盤面積的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)圓盤直徑為X，按題設(shè)X具有概率密度故圓盤面積A=X2/4的數(shù)學(xué)期望為：2. 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里，某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（以min計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為：求E(X)。解：按連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定

41、義有：3.一直正常男性承認(rèn)血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，軍方差是700。利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升含白細(xì)胞數(shù)在52009400直接的概率p。解：以X表示每毫升含白細(xì)胞數(shù)，由題設(shè)E(X)=7300，而概率p=P5200<X<9400 =P-2100<X-7300<2100 =P|X-7300|<2100在切比雪夫不等式P|X-|<1-2/2中，取=2100，此時(shí)：1-2/2=1-7002/21002=8/9，即：p=P|X-7300|<21008/9教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生鞏固所學(xué)隨機(jī)變量的數(shù)字特征的相關(guān)內(nèi)容，通過本次課的學(xué)習(xí)

42、，學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量的數(shù)字特征的相關(guān)應(yīng)用技巧有所提升。上課時(shí)間第十三周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題大數(shù)定律教學(xué)目的使學(xué)生了解并掌握大數(shù)定律相關(guān)知識(shí)教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)伯努利大數(shù)定理時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)弱大數(shù)定理（辛欽大數(shù)定理）：設(shè)X1,X2,是相互獨(dú)立，服從同一分布的隨機(jī)變量序列，且具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=(k=1,2,)。作前n個(gè)變量的算術(shù)平均，則對(duì)任意>0，有。設(shè)Y1,Y2,Yn, 是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)。若對(duì)于任意正數(shù)，有，則稱序列Y1,Y2,Yn, 依概率收斂于a，記為。依概率收斂的序列有如下性質(zhì)：設(shè)，又設(shè)函數(shù)g(x,y)在點(diǎn)(a,b)連續(xù)，則。因此，弱大數(shù)

43、定理可定義為：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn, 相互獨(dú)立，服從同一分布且具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=(k=1,2,)，則序列依概率收斂于，即。伯努利大數(shù)定理：設(shè)fA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)>0有： 或 。教學(xué)后記本次課的主要內(nèi)容與目的在于讓學(xué)生了解和掌握大數(shù)定律的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生對(duì)相關(guān)概念掌握較好，相關(guān)應(yīng)用部分尚需多加練習(xí)。上課時(shí)間第十四周上課節(jié)次3節(jié)課 型理論課 題中心極限定理教學(xué)目的使學(xué)生了解并掌握中心極限定理相關(guān)知識(shí)教學(xué)方法講授重點(diǎn)、難點(diǎn)獨(dú)立同分布中心極限定理與李雅普諾夫(Lyapunov)定理時(shí)間分配教學(xué)內(nèi)容板書或課件版面設(shè)計(jì)定理一（獨(dú)立同分布的中心極限定理）：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn, 相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk)=，D(Xk)=2>0(k=1,2,)，則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量的分布函數(shù)Fn(X)對(duì)于任意x滿足：定理二（李雅普諾夫(Lyap