微積分課件：8-3 對坐標的曲線積分(第二類曲線積分)

1、一、一、問題問題的提出的提出二、對坐標的曲線積分的概念二、對坐標的曲線積分的概念三、對坐標的曲線積分的計算三、對坐標的曲線積分的計算四、小結(jié)四、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分(第二類第二類 曲線積分曲線積分)oxyABL一、問題的提出一、問題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實例實例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQ

2、xP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、對坐標的曲線積分的概念二、對坐標的曲線積分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段如果當各小弧段上任意取定的點上任意取定的點為為點點設(shè)設(shè)個有向小弧段個有向小弧段分成分成把把上的點上的點用

3、用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條有到點到點面內(nèi)從點面內(nèi)從點為為設(shè)設(shè) iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定義定義.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）積分積分的曲線的曲線上對坐標上對坐標在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中

4、yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L2.存在條件：存在條件：.,L)y, x(Q),y, x(P第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 LLLQdyP

5、dxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設(shè)設(shè),)2(LLL 即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān). LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(三、對坐標的曲線積分的計算三、對坐標的曲線積分的計算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導(dǎo)數(shù)續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連一階連為端點的閉區(qū)間上具有為端點的閉區(qū)間上具有及及在以在以運動到終點運動到終點沿沿的起點的起點從從點點時時到到變變單調(diào)地

6、由單調(diào)地由當參數(shù)當參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終點為，終點為起點為起點為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終點為，終點為起點為起點為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則.,)()()(:)3( 終點終點起點起點推廣推廣ttztytx dtt

7、tttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( (4) 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線弧為設(shè)有向平面曲線弧為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點上點yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(則則其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） ,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點上點zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(則則 dstA r

8、dA可用向量表示可用向量表示，其中其中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲線元；有向曲線元；處的單位切向量處的單位切向量上點上點),(zyx 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算BAxyLxydxL 解解的定積分，的定積分，化為對化為對x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的定積分，的定積分，化為對化為對y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1

9、142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B稱性稱性第二類曲線積分沒有對第二類曲線積分沒有對注注:.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 注注：被積函數(shù)相同，起點

10、和終點也相同，但路：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同徑不同積分結(jié)果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的積分的積分化為對化為對 x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(d

11、xxxxx原式原式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對化為對 y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B注：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路注

12、：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同徑不同而積分結(jié)果相同.)3187.()0 , 4 , 3()5 , 4 , 3()0 , 0 , 2(,:4例例見書見書的一條定向折線的一條定向折線再到再到到到為從為從其中其中計算計算例例PCBAxdzzdyydx 例例5:5:設(shè)在力場設(shè)在力場作用下作用下, , 質(zhì)點由質(zhì)點由沿沿 移動到移動到),2,0,(kRB)0, 0,(RA解解: :y d xx d yz d zy d xx d yz d z 2 222220 0( Rk t )dt( Rk t )dt 試求力場對質(zhì)點所作的功試求力場對質(zhì)點所作的功. .xR cos t, yR

13、sin t, zkt;xR cos t, yR sin t, zkt;22222 2 ( ( kR )kR )其中其中 為為),(zxyFWFd sWFd s 222222222222例例6 :6 : 在在變變力力 Fyz izx jxy kFyz izx jxy k 的的作作用用下下, ,質(zhì)質(zhì)點點xyzxyz由由原原點點沿沿直直線線運運動動到到橢橢球球面面1 1上上第第abcabc一一卦卦限限的的點點M(M( , , , ,),),問問當當 , , , ,取取何何值值時時, ,力力 F F 所所作作的的功功W W最最大大 ? ? 并并求求出出W W的的最最大大值值. .)933,3,3,(a

14、bcWcbaW 時時 ( (習(xí)習(xí)題題課課講講) )例例7 7:將積分將積分yyxQxyxPLd),(d),( 化為對弧長的積化為對弧長的積分分,0222 xyx).0 , 2()0 , 0(BO到到從從解解 ：oyxB,22xxy 221xxxy 21, 12xxxT cos,22xx cosx 1 yyxQxyxPLd),(d),( syxQyxPLd),(),( 22xx )1(x 其中其中L L沿上半圓周沿上半圓周四、小結(jié)四、小結(jié)1、對坐標曲線積分的概念、對坐標曲線積分的概念2、對坐標曲線積分的計算、對坐標曲線積分的計算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系、兩類曲線積分之間的聯(lián)系思考題思考題 當曲

15、線當曲線L的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定之后之后（例如（例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是正常數(shù)），試問如何表示是正常數(shù)），試問如何表示L的方的方向向（如（如L表示為順時針方向、逆時針方向）？表示為順時針方向、逆時針方向）？思考題解答思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.例如例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中當當t從從 0 變變到到 2時時，L取取逆逆時時針針方方向向;反反之之當當t從從 2變變到到 0 時時，L取取順順時時針針方方向向.一一 、 填填 空空 題題 : :1 1、 對對

16、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的 曲曲 線線 積積 分分 與與 曲曲 線線 的的 方方 向向 有有 關(guān)關(guān) ；2 2、 設(shè)設(shè)0),(),( dyyxQdxyxPL, ,則則 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 在在 公公 式式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中 , ,下下 限限對對 應(yīng)應(yīng) 于于L的的 _ _ _ _ _點點 , ,上上 限限 對對 應(yīng)應(yīng) 于于L的的 _ _ _ _ _點點 ；4 4、 兩兩 類類 曲曲

17、 線線 積積 分分 的的 聯(lián)聯(lián) 系系 是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計算下列對坐標的曲線積分計算下列對坐標的曲線積分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中為圓周為圓周)0()(222 aayax及及 x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界( (按按 逆時針方向繞行逆時針方向繞行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22

18、)()(, ,L其中其中為圓周為圓周 222ayx ( (按逆時針方向饒行按逆時針方向饒行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其中為有向閉折線其中為有向閉折線ABCD, ,這里這里 的的CBA,依次為點依次為點(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其中其中ABCDA是以是以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1( C, ,)1, 0( D為頂點的正方形正向邊界線為頂點的正方形正向邊界線 . .三、三、 設(shè)設(shè)z軸與重力的方向一致軸與重力的方向一致, ,求質(zhì)量為求質(zhì)量為m的質(zhì)點從位的質(zhì)點從位置置),(111zyx沿直線移到沿直線移到),(222zyx時重力所作時重力所作的功的功. .四、四、 把對坐標的曲線積分把對坐標的曲線積分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成對弧長的積分對弧長的積分, , L其中其中為為: :1 1、 在在xoy面內(nèi)沿直線從點面內(nèi)沿直線從點(0,0)(0,0)到點到點(1,1)(1,1)；2 2、 沿拋物線沿拋物線2xy 從點從點(0,0)(0,0)到點到點(1,1)(1,1)；3 3、 沿上半圓周沿上半圓周xyx222 從點從點(0,0)(0,0)到點到點(1,1).