微積分課件：8-3 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分(第二類曲線積分)

1、一、一、問題問題的提出的提出二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算四、小結(jié)四、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分(第二類第二類 曲線積分曲線積分)oxyABL一、問題的提出一、問題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實(shí)例實(shí)例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQ

2、xP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時(shí)時(shí)長度的最大值長度的最大值如果當(dāng)各小弧段如果當(dāng)各小弧段上任意取定的點(diǎn)上任意取定的點(diǎn)為為點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)個(gè)有向小弧段個(gè)有向小弧段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用

3、用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條有到點(diǎn)到點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)面內(nèi)從點(diǎn)為為設(shè)設(shè) iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定義定義.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）積分積分的曲線的曲線上對(duì)坐標(biāo)上對(duì)坐標(biāo)在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中

4、yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L2.存在條件：存在條件：.,L)y, x(Q),y, x(P第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 LLLQdyP

5、dxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設(shè)設(shè),)2(LLL 即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān). LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導(dǎo)數(shù)續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連一階連為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有及及在以在以運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)沿沿的起點(diǎn)的起點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)到到變變單調(diào)地

6、由單調(diào)地由當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè) LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終點(diǎn)為，終點(diǎn)為起點(diǎn)為起點(diǎn)為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則.,)()()(:)3( 終點(diǎn)終點(diǎn)起點(diǎn)起點(diǎn)推廣推廣ttztytx dtt

7、tttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( (4) 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線弧為設(shè)有向平面曲線弧為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(則則其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） ,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點(diǎn)上點(diǎn)zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(則則 dstA r

8、dA可用向量表示可用向量表示，其中其中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲線元；有向曲線元；處的單位切向量處的單位切向量上點(diǎn)上點(diǎn)),(zyx 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計(jì)算計(jì)算BAxyLxydxL 解解的定積分，的定積分，化為對(duì)化為對(duì)x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的定積分，的定積分，化為對(duì)化為對(duì)y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1

9、142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B稱性稱性第二類曲線積分沒有對(duì)第二類曲線積分沒有對(duì)注注:.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點(diǎn)軸到點(diǎn)沿沿從點(diǎn)從點(diǎn)的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)半徑為半徑為為為其中其中計(jì)算計(jì)算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 注注：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)

10、和終點(diǎn)也相同，但路：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同徑不同積分結(jié)果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點(diǎn)依次是點(diǎn)，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計(jì)算計(jì)算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(d

11、xxxxx原式原式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對(duì)化為對(duì) y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 OA,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變變到到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B注：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路注

12、：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同徑不同而積分結(jié)果相同.)3187.()0 , 4 , 3()5 , 4 , 3()0 , 0 , 2(,:4例例見書見書的一條定向折線的一條定向折線再到再到到到為從為從其中其中計(jì)算計(jì)算例例PCBAxdzzdyydx 例例5:5:設(shè)在力場設(shè)在力場作用下作用下, , 質(zhì)點(diǎn)由質(zhì)點(diǎn)由沿沿 移動(dòng)到移動(dòng)到),2,0,(kRB)0, 0,(RA解解: :y d xx d yz d zy d xx d yz d z 2 222220 0( Rk t )dt( Rk t )dt 試求力場對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功試求力場對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功. .xR cos t, yR

13、sin t, zkt;xR cos t, yR sin t, zkt;22222 2 ( ( kR )kR )其中其中 為為),(zxyFWFd sWFd s 222222222222例例6 :6 : 在在變變力力 Fyz izx jxy kFyz izx jxy k 的的作作用用下下, ,質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)xyzxyz由由原原點(diǎn)點(diǎn)沿沿直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)到到橢橢球球面面1 1上上第第abcabc一一卦卦限限的的點(diǎn)點(diǎn)M(M( , , , ,),),問問當(dāng)當(dāng) , , , ,取取何何值值時(shí)時(shí), ,力力 F F 所所作作的的功功W W最最大大 ? ? 并并求求出出W W的的最最大大值值. .)933,3,3,(a

14、bcWcbaW 時(shí)時(shí) ( (習(xí)習(xí)題題課課講講) )例例7 7:將積分將積分yyxQxyxPLd),(d),( 化為對(duì)弧長的積化為對(duì)弧長的積分分,0222 xyx).0 , 2()0 , 0(BO到到從從解解 ：oyxB,22xxy 221xxxy 21, 12xxxT cos,22xx cosx 1 yyxQxyxPLd),(d),( syxQyxPLd),(),( 22xx )1(x 其中其中L L沿上半圓周沿上半圓周四、小結(jié)四、小結(jié)1、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念2、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系、兩類曲線積分之間的聯(lián)系思考題思考題 當(dāng)曲

15、線當(dāng)曲線L的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定之后之后（例如（例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是正常數(shù)），試問如何表示是正常數(shù)），試問如何表示L的方的方向向（如（如L表示為順時(shí)針方向、逆時(shí)針方向）？表示為順時(shí)針方向、逆時(shí)針方向）？思考題解答思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.例如例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中當(dāng)當(dāng)t從從 0 變變到到 2時(shí)時(shí)，L取取逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向;反反之之當(dāng)當(dāng)t從從 2變變到到 0 時(shí)時(shí)，L取取順順時(shí)時(shí)針針方方向向.一一 、 填填 空空 題題 : :1 1、 對(duì)對(duì)

16、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的 曲曲 線線 積積 分分 與與 曲曲 線線 的的 方方 向向 有有 關(guān)關(guān) ；2 2、 設(shè)設(shè)0),(),( dyyxQdxyxPL, ,則則 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 在在 公公 式式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中 , ,下下 限限對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 于于L的的 _ _ _ _ _點(diǎn)點(diǎn) , ,上上 限限 對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng) 于于L的的 _ _ _ _ _點(diǎn)點(diǎn) ；4 4、 兩兩 類類 曲曲

17、 線線 積積 分分 的的 聯(lián)聯(lián) 系系 是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中為圓周為圓周)0()(222 aayax及及 x軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界( (按按 逆時(shí)針方向繞行逆時(shí)針方向繞行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22

18、)()(, ,L其中其中為圓周為圓周 222ayx ( (按逆時(shí)針方向饒行按逆時(shí)針方向饒行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其中為有向閉折線其中為有向閉折線ABCD, ,這里這里 的的CBA,依次為點(diǎn)依次為點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其中其中ABCDA是以是以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1( C, ,)1, 0( D為頂點(diǎn)的正方形正向邊界線為頂點(diǎn)的正方形正向邊界線 . .三、三、 設(shè)設(shè)z軸與重力的方向一致軸與重力的方向一致, ,求質(zhì)量為求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從位的質(zhì)點(diǎn)從位置置),(111zyx沿直線移到沿直線移到),(222zyx時(shí)重力所作時(shí)重力所作的功的功. .四、四、 把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成對(duì)弧長的積分對(duì)弧長的積分, , L其中其中為為: :1 1、 在在xoy面內(nèi)沿直線從點(diǎn)面內(nèi)沿直線從點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)；2 2、 沿拋物線沿拋物線2xy 從點(diǎn)從點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)；3 3、 沿上半圓周沿上半圓周xyx222 從點(diǎn)從點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1).