高等數(shù)學(xué)：11-1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

1、1 第十一章第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)infinite seriesR2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的必要條件收斂級(jí)數(shù)的必要條件小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 第十一章第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)constant term infinite series第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)的概念和性質(zhì)3為什么要研究無(wú)窮級(jí)數(shù)為什么要研究無(wú)窮級(jí)數(shù)是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有效工具是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有效工具( (如計(jì)算函數(shù)值、如計(jì)算函數(shù)值、出它的威力出它的威力. . 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中在自然科學(xué)和工程技術(shù)中, ,也常用無(wú)窮也常用無(wú)窮無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)和函數(shù)

2、的一種表現(xiàn)形式無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式. .因無(wú)窮級(jí)數(shù)中包含有許多非初等函數(shù)因無(wú)窮級(jí)數(shù)中包含有許多非初等函數(shù), ,故它在積分運(yùn)算和微分方程求解時(shí)故它在積分運(yùn)算和微分方程求解時(shí), ,也呈現(xiàn)也呈現(xiàn)如諧波分析等如諧波分析等. .造函數(shù)值表）造函數(shù)值表）. .級(jí)數(shù)來(lái)分析問(wèn)題級(jí)數(shù)來(lái)分析問(wèn)題, ,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念41. 級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)的定義 nnnuuuuu3211(常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)一般項(xiàng)如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均為以上均為(常常)數(shù)項(xiàng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù).(1)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、一、常

3、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念的概念5這樣這樣, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(1)對(duì)應(yīng)一個(gè)部分和數(shù)列對(duì)應(yīng)一個(gè)部分和數(shù)列: nnuuus21稱無(wú)窮級(jí)數(shù)稱無(wú)窮級(jí)數(shù)(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散概念級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散概念按通常的加法運(yùn)算一項(xiàng)一項(xiàng)的加下去按通常的加法運(yùn)算一項(xiàng)一項(xiàng)的加下去,為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)(1)的的,無(wú)窮級(jí)數(shù)定義式無(wú)窮級(jí)數(shù)定義式(1)的含義是什么的含義是什么?也算不完也算不完,永遠(yuǎn)永遠(yuǎn)那么如何計(jì)算那么如何計(jì)算?前前n項(xiàng)和項(xiàng)和部分和部分和. niiu1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念6部分和數(shù)列可能存在極限部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限也可

4、能不存在極限.定義定義,無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)n, ssn有極限有極限數(shù)列數(shù)列,1收斂收斂 nnu.1的和的和叫做級(jí)數(shù)叫做級(jí)數(shù)這時(shí)極限這時(shí)極限 nnus nuuus21,沒(méi)有極限沒(méi)有極限如果如果ns.1發(fā)散發(fā)散則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)則稱無(wú)窮級(jí)數(shù) nnu的部分和的部分和如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1nnu.limssnn 即即則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并寫成并寫成即即常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散發(fā)散).nns lim(不存在不存在)存在存在常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念7nnssr 21nnuu 1iinu0lim nnr對(duì)對(duì)收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(1),為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)(1)的的余項(xiàng)余項(xiàng)或或余和余和. .顯然有顯然

5、有當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí),級(jí)數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有級(jí)數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有極限是等價(jià)的極限是等價(jià)的. nnnuuuuu3211(1)稱差稱差ssn 誤差誤差為為|nr常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念8例例2)1(321 nnnsn而而 nnslim所以所以, n321的部分和的部分和 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2)1(limnnn 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念9解解時(shí)時(shí)如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1qaqqan 11(重要重要)例例討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù))的收斂性的收斂性.)0(20 aaqaqaqaaqnnn常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常

6、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念10,1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim,1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)如如果果1 q,1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa不不存存在在nns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn級(jí)數(shù)變?yōu)榧?jí)數(shù)變?yōu)閝aqqasnn 11常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念11討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù)的斂散性的斂散性.)0(ln31 aann解解例例因?yàn)橐驗(yàn)?1ln3nna為公比的等比級(jí)數(shù)為公比的等比級(jí)數(shù),是以是以aln故故,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)eae , 1|ln| a級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂收斂.發(fā)散

7、發(fā)散.ea10 當(dāng)當(dāng), 1|ln| a 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn,時(shí)時(shí)或或ea 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念12解解)12)(12(1 nnun)121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn例例 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù)的收斂性的收斂性. )12()12(1531311nn常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念13)1211(21limlim nsnnn)1211(21 nsn21 ,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為nnssr 12112121n即即21 s.21和為和為12121 n常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概

8、念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念14例例 12nnn 因?yàn)橐驗(yàn)閚nns223222132 ns2后式減前式后式減前式,得得nnnnnnns2)212()2223()2122(11122 nnn2212121112 證證證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù)并求其和并求其和.收斂收斂,12223221 nnnnn2211211 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念15 nnnns2211211故故 nnsslim 所以所以,此級(jí)數(shù)收斂此級(jí)數(shù)收斂,nnn22121 且其和為且其和為2. )2212(lim1nnnn2 12nnn常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念16的部分和分別為的部分和分別為 ns.n 及及則則 n nks于是于是,0時(shí)

9、時(shí)不不存存在在極極限限且且當(dāng)當(dāng) ksn也不存在極限也不存在極限.nnks , ssn當(dāng)當(dāng)nnks 證證性質(zhì)性質(zhì)1 1設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù), 0 k則則 11nnnnkuu 與與有相同的斂散性有相同的斂散性. 11nnnnkuu 與與令令 nkukuku21;ks所以所以, 11nnnnkuu 與與有相同的斂散性有相同的斂散性.結(jié)論結(jié)論: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), , 斂散性不變斂散性不變. .常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)12()nk uuu17性質(zhì)性質(zhì)2 2,11 nnnnvu 與與設(shè)有兩個(gè)級(jí)數(shù)設(shè)有兩個(gè)級(jí)數(shù),

10、1sunn 若若,1 nnv.)(1 svunnn則則 1nnu若若 1nnv)(1nnnvu 則則發(fā)散發(fā)散.,1 nnu若若收斂收斂,發(fā)散發(fā)散, 1nnv均發(fā)散均發(fā)散,)(1nnnvu 則則斂散性斂散性不確定不確定.證證 niiivu1)(極限的性質(zhì)極限的性質(zhì) niiinvu1)(lim niinniinvu11limlim即證即證.級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和 niiv1 niiu1 結(jié)論結(jié)論: : 收斂收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念18 例例 11131,21nnnn 1121nn 1121nn都收斂都收斂. 131nn 211

11、1 113131nn無(wú)窮遞減等比數(shù)列的和無(wú)窮遞減等比數(shù)列的和qaS 11 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn 113121nnn311131 25 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念19,)1()1()1( 都都發(fā)散發(fā)散. 但但,111 )1(1收斂收斂.例例 000 )1(10 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念20性質(zhì)性質(zhì)3 3 添加或去掉添加或去掉有限項(xiàng)有限項(xiàng)不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4 1nnu設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)收斂收斂,則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)所得則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)新級(jí)數(shù)仍收斂仍收斂于原級(jí)數(shù)的和于原級(jí)數(shù)的和.一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)

12、發(fā)散一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散,則則注注原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上事實(shí)上,加括后的級(jí)數(shù)就應(yīng)該收斂了加括后的級(jí)數(shù)就應(yīng)該收斂了.設(shè)原來(lái)的級(jí)數(shù)收斂設(shè)原來(lái)的級(jí)數(shù)收斂,則根據(jù)則根據(jù)性性常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念質(zhì)質(zhì)4, )11()11(例如例如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂,原級(jí)數(shù)斂散性不確定原級(jí)數(shù)斂散性不確定.210lim nnu證證 1nnus nu nnulimss 0 級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件因?yàn)橐驗(yàn)閯t則所以所以1limlim nnnnss1 nnss常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念三、三、收斂級(jí)數(shù)的必要條件收斂級(jí)數(shù)的必要條件22注

13、注 級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件, , 必要條件不充分必要條件不充分. .0lim nnu有有 n131211常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散;如如 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù) 也可用它求或驗(yàn)證極限為也可用它求或驗(yàn)證極限為“0”0”的極限的極限;0lim nnu級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:但級(jí)數(shù)是否收斂但級(jí)數(shù)是否收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念23是否收斂是否收斂?討論討論 n131211調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)由于由于)1ln(xx )0( x知知 nn11ln1得得 nknkS11nn1ln34ln23ln2ln nn134232ln)1ln(n 由由 nnSlim知級(jí)數(shù)發(fā)散知級(jí)數(shù)發(fā)散

14、. .發(fā)散發(fā)散 nkk111ln )1ln(lim nn 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念24例例 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn)3(級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散. ., 0lim nnu解題思路解題思路常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念25)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn解解 由于由于 nnulim81 發(fā)散發(fā)散0 )32)(12)(12(52lim3 nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn解解 由于由于 nnulim

15、 nnn111lim30 發(fā)散發(fā)散e3常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念26 133ln31nnnn)3( 解解 11nn 131nn而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)33ln r33ln| r所以這個(gè)等比級(jí)數(shù)所以這個(gè)等比級(jí)數(shù) 133ln31nnnn發(fā)散發(fā)散.由由性質(zhì)性質(zhì)2知知,由由性質(zhì)性質(zhì)1知知,發(fā)散發(fā)散.因調(diào)和級(jí)數(shù)因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散,為公比的等比級(jí)數(shù)為公比的等比級(jí)數(shù), 133lnnnn是以是以1 收斂收斂.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念27 1nnu設(shè)設(shè)為為收斂級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù), a為非零常數(shù)為非零常數(shù),試判別級(jí)數(shù)試判別級(jí)數(shù) 1)(nnau的斂散性的斂散性.解解 因?yàn)橐驗(yàn)?1nnu收斂收斂, 故故. 0lim nnu從而從而)(limaunn 0 故故級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1)(nnau發(fā)散發(fā)散.a 0lim nnu級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念28常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法3. 按基本性質(zhì)按基本性質(zhì)則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂由定義由定義, ssn若若2., 0lim nnu當(dāng)當(dāng)則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散一般項(xiàng)、部分和、收斂、發(fā)散及級(jí)數(shù)的性質(zhì)一般項(xiàng)、部分和、收斂、發(fā)散及級(jí)數(shù)的性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念四、小結(jié)四、小結(jié)級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件記