高等數(shù)學：11-1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)

1、1 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)infinite seriesR2常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的必要條件收斂級數(shù)的必要條件小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)constant term infinite series第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)的概念和性質(zhì)3為什么要研究無窮級數(shù)為什么要研究無窮級數(shù)是進行數(shù)值計算的有效工具是進行數(shù)值計算的有效工具( (如計算函數(shù)值、如計算函數(shù)值、出它的威力出它的威力. . 在自然科學和工程技術中在自然科學和工程技術中, ,也常用無窮也常用無窮無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)

2、的一種表現(xiàn)形式無窮級數(shù)是數(shù)和函數(shù)的一種表現(xiàn)形式. .因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù)因無窮級數(shù)中包含有許多非初等函數(shù), ,故它在積分運算和微分方程求解時故它在積分運算和微分方程求解時, ,也呈現(xiàn)也呈現(xiàn)如諧波分析等如諧波分析等. .造函數(shù)值表）造函數(shù)值表）. .級數(shù)來分析問題級數(shù)來分析問題, ,常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念41. 級數(shù)的定義級數(shù)的定義 nnnuuuuu3211(常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù)一般項一般項如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均為以上均為(常常)數(shù)項數(shù)項級數(shù)級數(shù).(1)常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念一、一、常

3、數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的概念的概念5這樣這樣, 級數(shù)級數(shù)(1)對應一個部分和數(shù)列對應一個部分和數(shù)列: nnuuus21稱無窮級數(shù)稱無窮級數(shù)(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散概念級數(shù)的收斂與發(fā)散概念按通常的加法運算一項一項的加下去按通常的加法運算一項一項的加下去,為級數(shù)為級數(shù)(1)的的,無窮級數(shù)定義式無窮級數(shù)定義式(1)的含義是什么的含義是什么?也算不完也算不完,永遠永遠那么如何計算那么如何計算?前前n項和項和部分和部分和. niiu1常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念6部分和數(shù)列可能存在極限部分和數(shù)列可能存在極限,也可能不存在極限也可

4、能不存在極限.定義定義,無限增大時無限增大時當當n, ssn有極限有極限數(shù)列數(shù)列,1收斂收斂 nnu.1的和的和叫做級數(shù)叫做級數(shù)這時極限這時極限 nnus nuuus21,沒有極限沒有極限如果如果ns.1發(fā)散發(fā)散則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) nnu的部分和的部分和如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu.limssnn 即即則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)并寫成并寫成即即常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散發(fā)散).nns lim(不存在不存在)存在存在常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念7nnssr 21nnuu 1iinu0lim nnr對對收斂收斂級數(shù)級數(shù)(1),為級數(shù)為級數(shù)(1)的的余項余項或或余和余和. .顯然有顯然

5、有當當n充分大時充分大時,級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有級數(shù)的斂散性它與部分和數(shù)列是否有極限是等價的極限是等價的. nnnuuuuu3211(1)稱差稱差ssn 誤差誤差為為|nr常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念8例例2)1(321 nnnsn而而 nnslim所以所以, n321的部分和的部分和 級數(shù)級數(shù) 2)1(limnnn 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念9解解時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1qaqqan 11(重要重要)例例討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)幾何級數(shù))的收斂性的收斂性.)0(20 aaqaqaqaaqnnn常數(shù)項級數(shù)的概念常

6、數(shù)項級數(shù)的概念10,1 時時當當 q0lim nnqqasnn 1lim,1 時時當當 q nnqlim nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散時時如如果果1 q,1 時時當當 q,1 時時當當 q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa不不存存在在nns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)閝aqqasnn 11常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念11討論級數(shù)討論級數(shù)的斂散性的斂散性.)0(ln31 aann解解例例因為因為 1ln3nna為公比的等比級數(shù)為公比的等比級數(shù),是以是以aln故故,1時時當當eae , 1|ln| a級數(shù)級數(shù)收斂收斂.發(fā)散

7、發(fā)散.ea10 當當, 1|ln| a 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn,時時或或ea 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念12解解)12)(12(1 nnun)121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn例例 判定級數(shù)判定級數(shù)的收斂性的收斂性. )12()12(1531311nn常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念13)1211(21limlim nsnnn)1211(21 nsn21 ,級級數(shù)數(shù)收收斂斂其余項為其余項為nnssr 12112121n即即21 s.21和為和為12121 n常數(shù)項級數(shù)的概

8、念常數(shù)項級數(shù)的概念14例例 12nnn 因為因為nnns223222132 ns2后式減前式后式減前式,得得nnnnnnns2)212()2223()2122(11122 nnn2212121112 證證證明級數(shù)證明級數(shù)并求其和并求其和.收斂收斂,12223221 nnnnn2211211 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念15 nnnns2211211故故 nnsslim 所以所以,此級數(shù)收斂此級數(shù)收斂,nnn22121 且其和為且其和為2. )2212(lim1nnnn2 12nnn常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念16的部分和分別為的部分和分別為 ns.n 及及則則 n nks于是于是,0時

9、時不不存存在在極極限限且且當當 ksn也不存在極限也不存在極限.nnks , ssn當當nnks 證證性質(zhì)性質(zhì)1 1設常數(shù)設常數(shù), 0 k則則 11nnnnkuu 與與有相同的斂散性有相同的斂散性. 11nnnnkuu 與與令令 nkukuku21;ks所以所以, 11nnnnkuu 與與有相同的斂散性有相同的斂散性.結論結論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), , 斂散性不變斂散性不變. .常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念二、二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì)12()nk uuu17性質(zhì)性質(zhì)2 2,11 nnnnvu 與與設有兩個級數(shù)設有兩個級數(shù),

10、1sunn 若若,1 nnv.)(1 svunnn則則 1nnu若若 1nnv)(1nnnvu 則則發(fā)散發(fā)散.,1 nnu若若收斂收斂,發(fā)散發(fā)散, 1nnv均發(fā)散均發(fā)散,)(1nnnvu 則則斂散性斂散性不確定不確定.證證 niiivu1)(極限的性質(zhì)極限的性質(zhì) niiinvu1)(lim niinniinvu11limlim即證即證.級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和 niiv1 niiu1 結論結論: : 收斂收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念18 例例 11131,21nnnn 1121nn 1121nn都收斂都收斂. 131nn 211

11、1 113131nn無窮遞減等比數(shù)列的和無窮遞減等比數(shù)列的和qaS 11 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當,1,10qqaqnn 113121nnn311131 25 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念19,)1()1()1( 都都發(fā)散發(fā)散. 但但,111 )1(1收斂收斂.例例 000 )1(10 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念20性質(zhì)性質(zhì)3 3 添加或去掉添加或去掉有限項有限項不影響一個級數(shù)的斂散性不影響一個級數(shù)的斂散性.性質(zhì)性質(zhì)4 4 1nnu設級數(shù)設級數(shù)收斂收斂,則對其各項任意加括號所得則對其各項任意加括號所得新級數(shù)新級數(shù)仍收斂仍收斂于原級數(shù)的和于原級數(shù)的和.一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)

12、發(fā)散一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散,則則注注原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.事實上事實上,加括后的級數(shù)就應該收斂了加括后的級數(shù)就應該收斂了.設原來的級數(shù)收斂設原來的級數(shù)收斂,則根據(jù)則根據(jù)性性常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念質(zhì)質(zhì)4, )11()11(例如例如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散一個級數(shù)加括號后收斂一個級數(shù)加括號后收斂,原級數(shù)斂散性不確定原級數(shù)斂散性不確定.210lim nnu證證 1nnus nu nnulimss 0 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件因為因為則則所以所以1limlim nnnnss1 nnss常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念三、三、收斂級數(shù)的必要條件收斂級數(shù)的必要條件22注

13、注 級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件, , 必要條件不充分必要條件不充分. .0lim nnu有有 n131211常用判別級數(shù)發(fā)散常用判別級數(shù)發(fā)散;如如 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 也可用它求或驗證極限為也可用它求或驗證極限為“0”0”的極限的極限;0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:但級數(shù)是否收斂但級數(shù)是否收斂常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念23是否收斂是否收斂?討論討論 n131211調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)由于由于)1ln(xx )0( x知知 nn11ln1得得 nknkS11nn1ln34ln23ln2ln nn134232ln)1ln(n 由由 nnSlim知級數(shù)發(fā)散知級數(shù)發(fā)散

14、. .發(fā)散發(fā)散 nkk111ln )1ln(lim nn 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念24例例 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn)3(級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件常用判別級數(shù)發(fā)散常用判別級數(shù)發(fā)散. ., 0lim nnu解題思路解題思路常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念25)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn解解 由于由于 nnulim81 發(fā)散發(fā)散0 )32)(12)(12(52lim3 nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn解解 由于由于 nnulim

15、 nnn111lim30 發(fā)散發(fā)散e3常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念26 133ln31nnnn)3( 解解 11nn 131nn而級數(shù)而級數(shù)33ln r33ln| r所以這個等比級數(shù)所以這個等比級數(shù) 133ln31nnnn發(fā)散發(fā)散.由由性質(zhì)性質(zhì)2知知,由由性質(zhì)性質(zhì)1知知,發(fā)散發(fā)散.因調(diào)和級數(shù)因調(diào)和級數(shù)發(fā)散發(fā)散,為公比的等比級數(shù)為公比的等比級數(shù), 133lnnnn是以是以1 收斂收斂.常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念27 1nnu設設為為收斂級數(shù)收斂級數(shù), a為非零常數(shù)為非零常數(shù),試判別級數(shù)試判別級數(shù) 1)(nnau的斂散性的斂散性.解解 因為因為 1nnu收斂收斂, 故故. 0lim nnu從而從而)(limaunn 0 故故級數(shù)級數(shù) 1)(nnau發(fā)散發(fā)散.a 0lim nnu級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件:常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念28常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法3. 按基本性質(zhì)按基本性質(zhì)則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂由定義由定義, ssn若若2., 0lim nnu當當則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散一般項、部分和、收斂、發(fā)散及級數(shù)的性質(zhì)一般項、部分和、收斂、發(fā)散及級數(shù)的性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念四、小結四、小結級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件記