dsp數(shù)字信號處理-第4章

1、123nDFTDFT是信號分析與處理中的一種重要變換。但直是信號分析與處理中的一種重要變換。但直接計算接計算DFTDFT的計算量與變換區(qū)間長度的計算量與變換區(qū)間長度N N的平方成正的平方成正比，當(dāng)比，當(dāng)N N較大時，計算量太大，直接用較大時，計算量太大，直接用DFTDFT算法進算法進行譜分析和信號的實時處理是不切實際的。行譜分析和信號的實時處理是不切實際的。n19651965年年庫里庫里和和圖基圖基發(fā)現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)了DFTDFT的一種快速算法，的一種快速算法，使使DFTDFT的運算效率提高的運算效率提高1 12 2個數(shù)量級，為數(shù)字信個數(shù)量級，為數(shù)字信號處理技術(shù)應(yīng)用于各種信號的實時處理創(chuàng)造了條號處理技

2、術(shù)應(yīng)用于各種信號的實時處理創(chuàng)造了條件，推動了數(shù)字處理技術(shù)的發(fā)展。件，推動了數(shù)字處理技術(shù)的發(fā)展。n19841984年，提出了分裂基快速算法，使運算效率進年，提出了分裂基快速算法，使運算效率進一步提高；一步提高；4DFTDFT的定義的定義兩者形式類似，差別只在于的指數(shù)符號不同，及常數(shù)兩者形式類似，差別只在于的指數(shù)符號不同，及常數(shù)因子因子運算量是相同的運算量是相同的10 ,)(1)(10 ,)()(1010NnWkXNnxNkWnxkXNknkNNnnkN567nkNWkNnNjkNnNnkNeWW)(2)(mnkmNnkNnmkmNnkNWWWW/,nkNnkNWW)(89二、二、按時間抽取按時間

3、抽取(DIT)(DIT)的基的基-2 FFT-2 FFT算法算法 設(shè)設(shè)MN2M M為自然數(shù)為自然數(shù)將長度為將長度為N N的序列的序列x(n)x(n)按按n n的的奇偶奇偶分成兩組分成兩組) 12/(, 1 , 0),12()() 12/(, 1 , 0),2()(21 NrrxrxNrrxrx1、算法原理、算法原理10則x(n)的DFT為 12/02212/02112/0)12(12/02)()() 12()2()()()(NrkrNkNNrkrNNrrkNNrkrNnnknNknNWrxWWrxWrxWrxWnxWnxkX偶數(shù)奇數(shù))()(21kXWkXkN=12/0Nk =12/2/212/

4、2/1)()(NkrNkNNkrNWrxWWrxr=0r=011其中12/02/12/02/11)2()()(NrkrNNrkrNWrxWrxkX12/02/12/02/22) 12()()(NrkrNNrkrNWrxWrxkX是x(2r)與x(2r+1)的N/2點DFT。12由于)()2()()()2(22112/0)2(2/11kXNkXkXWrxNkXNrNkrN得)()(22221221kXWkXNkXWNkXNkXkNNkN12, 1 , 0Nk13bWabWa144點基2時間抽取FFT算法流圖x0 x2x1x3X10X11X20X212點DFT2點DFT04W14W02W02WX

5、0X 1X 2X 31 , 0,241mmXWmXmXm1 , 0,2241mmXWmXmXm158點基2FFT算法N/2點DFTN/2點DFTx(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)WN0WN1WN2WN3X (0)X (1)X (2)X (3)X (4)X (5)X (6)X (7)1212( )( )( )0,1,12()( )( )0,1,122kNkNNX kX kW XkkNNX kX kW Xkk1212( )( )( )0,1,12()( )( )0,1,122kNkNNX

6、kX kW XkkNNX kX kW XkkN=8點的DIT-2FFT(時域抽取圖)一次分解圖16 (3)第二次分解：n 將x1(r)按r取奇、偶可分解成2個長度為N/4的子序列 x3(l)= x1(2l)、 x4(l) = x1(2l+1)，根據(jù)上面推導(dǎo)可得：X1 (k)= X3(k)+ WN/2kX4(k)， k=0,1,N/2-1n將x2(r)按r取奇、偶可分解成2個長N/4的子序列 x5(l)= x2(2l) ， l=0,1,，N/4 x6(l) = x2(2l+1) ； 同理得l=0,1,，N/4-1；X1 (k+N/2)=X3(k)WN/2kX4(k)， k=0,1,N/4-1；X

7、1 (k)=X3(k)+WN/2kX4(k)， k=0,1,N/4-1；X2(k) = X5(k)+ WN/2kX6(k)， k=0,1,N/4-1 ；X2(k+N/2) = X5(k) WN/2kX6(k), k=0,1,N/4-1；17N / 4 點DFTx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)WN0WN1WN2WN3X (0)X (1)X (2)X (3)X (4)X (5)X (6)X (7)N / 4 點DFTN / 4 點DFTN / 4 點DFTX3(0)X3(1)X4(0)X

8、4(1)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)WN/20WN/21WN/21WN/20N=8點DFT的二次時域抽取分解圖 X1 (k+N/2)=X3(k)WN/2kX4(k)X1 (k)=X3(k)+WN/2kX4(k)X2(k) = X5(k)+ WN/2kX6(k)X2(k+N/2) = X5(k) WN/2kX6(k)k=0,1,N/4-1 ；18) 1 ()0() 1 ()0() 1 () 1 ()0() 1 ()0()0(1202xWxxWxXxWxxWxXoNoN19再次分解，對N=8點，可分解三次。X (5)N=8點DIT-FFT運算流圖x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)

9、x(5)x(3)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)WN0WN1WN2WN3X (0)X (1)X (2)X (3)X (4)X (6)X3(1)X4(0)X4(1)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)WN/20WN/21WN/20WN/40WN/40WN/40 x(7)WN/21WN/40L=1級L=2L=3X (7)X3(0)X1(0)208點基2DIT-FFT算法N=8點DIT-FFT運算流圖x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)WN0WN1WN2WN3X (0)X (1)X (2)X (3)X (4)X (5)X (6)WN0WN

10、2WN0WN0WN0WN0 x(7)WN2WN0L=1級L=2L=3X (7)21整個運算流圖中有M級蝶形，每一級運算流圖中有N/2個蝶形，每個蝶形需一次復(fù)乘和兩次復(fù)數(shù)加運算。2223（1）蝶形運算）蝶形運算（2）原位計算）原位計算 （3）序數(shù)重排）序數(shù)重排（4）蝶形類型隨迭代次數(shù)成倍增加）蝶形類型隨迭代次數(shù)成倍增加24（1）蝶形運算）蝶形運算對于對于N=2M，總是可以通過，總是可以通過M次分解最后成為次分解最后成為2點的點的DFT運算。這樣構(gòu)成從運算。這樣構(gòu)成從x(n)到到X(k)的的M級運算過程。級運算過程。從上面的流圖可看到，每一級運算都由從上面的流圖可看到，每一級運算都由N/2個蝶形運

11、個蝶形運算構(gòu)成。因此每一級運算都需要算構(gòu)成。因此每一級運算都需要N/2次復(fù)乘和次復(fù)乘和N次復(fù)次復(fù)加，這樣經(jīng)過時間抽取后加，這樣經(jīng)過時間抽取后M級運算總共需要的運算：級運算總共需要的運算： 復(fù)乘復(fù)乘 復(fù)加復(fù)加 而直接運算時則與而直接運算時則與N2 成正比。成正比。NNMN2log22NNMN2log25（2）原位計算）原位計算 n當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲器中以后，每一級運算的結(jié)當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲器中以后，每一級運算的結(jié)果仍然儲存在同一組存儲器中，直到最后輸出，果仍然儲存在同一組存儲器中，直到最后輸出，中間無需其它存儲器，這叫原位計算。中間無需其它存儲器，這叫原位計算。n每一級運算均可在原位進行，這種原位運

12、算結(jié)每一級運算均可在原位進行，這種原位運算結(jié)構(gòu)可節(jié)省存儲單元，降低設(shè)備成本，還可節(jié)省構(gòu)可節(jié)省存儲單元，降低設(shè)備成本，還可節(jié)省尋址的時間。尋址的時間。26（3 3）序數(shù)重排）序數(shù)重排n對按時間抽取對按時間抽取FFTFFT的原位運算結(jié)構(gòu)，當(dāng)運算完畢時，的原位運算結(jié)構(gòu)，當(dāng)運算完畢時，正好順序存放著正好順序存放著 x(0)x(0)， x(1)x(1)， x(2)x(2)， x(7) x(7)，因此可直接按順序輸出，因此可直接按順序輸出，n但這種原位運算的輸入但這種原位運算的輸入 x x（n n）卻不能按這種自然順）卻不能按這種自然順序存入存儲單元中，而是按序存入存儲單元中，而是按x(0)x(0)，x(

13、4)x(4)，x(2)x(2)，x(6)x(6)，x(7)x(7)的順序存入存儲單元，這種順序看起的順序存入存儲單元，這種順序看起來相當(dāng)雜亂，然而它也是有規(guī)律的。當(dāng)用二進制表示來相當(dāng)雜亂，然而它也是有規(guī)律的。當(dāng)用二進制表示這個順序時，它正好是這個順序時，它正好是“碼位倒置碼位倒置”的順序。的順序。n例如，原來的自然順序應(yīng)是例如，原來的自然順序應(yīng)是 x(1)x(1)的地方，現(xiàn)在放著的地方，現(xiàn)在放著 x(4)x(4)，用二進制碼表示這一規(guī)律時，用二進制碼表示這一規(guī)律時， 則是在則是在 x x（0 0 10 0 1）處放著）處放著 x x（1 0 01 0 0），）， x x（0 1 10 1 1）

14、處放著）處放著 x x（1 1 01 1 0）。）。2728x(000)x(100)x(010)x(110)010101x(001)x(101)x(011)x(111)01010101x(n2n1n0)n2n1n029303210,310,20,1222/24/，時，時，時，JWWWLJWWWLJWWWLJJNpNJJNpNJJNpNLLLpNWpNW12L31對 的一般情況，第L級的旋轉(zhuǎn)因子為MN212 , 2 , 1 , 0,222212 , 2 , 1 , 0,12J212MLJNNpNMLMLMLLJpNJWWWNJWWLMLLLMJp2從而可以確定第L級運算的旋轉(zhuǎn)因子。32FFT算法

15、流圖33343536JN/2？JN/4輸入當(dāng)前倒序數(shù)十進制數(shù)值JNYNY2NJ 22NJ JN/2MNYMNJ2 結(jié)束J=J-N/2倒序數(shù)的十進制運算規(guī)律37存儲單元自然順序輸入變址倒位序A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)N=8 倒位序的變址處理 分析上圖N=8點倒序規(guī)律，順序數(shù)I與倒序數(shù)J 存在關(guān)系： I = J時，不交換； I J時，不交換，直接更新序數(shù)值；38LH=N/2J=LHN1=N-2I=1,N1I JT=A(I)A(I)=A

16、(J)A(J)=TK=LHJKJ=J+KJ=J-KK=K/2NN YY計算倒序值的程序流圖3940仍設(shè)序列點數(shù)為N=2M，M為正整數(shù)。將X(k)按k的奇偶分組之前，先將輸入序列按前一半、后一半分開。nkNNnNkNkNnNNnnkNNnNNnnkNNnnkNNnnkNWWNnxnxWNnxWnxWnxWnxWnxkX1202/212012012101202)(2)()()()()(k=0, 1, , N-1 41nkNNnkWNnxnxkX1202) 1()()( k=0, 1, , N-1 按k的奇偶可將X(k)分為兩部分: 12, 1 , 0NrXrx nx nNWx nx nNWnNNr

17、nnNNrn() ( )(/ )( )(/ )/22202 1202 12rnNnNNnnrNNnWWNnxnxWNnxnxrX2/12/0)12(12/0)2/()()2/()() 12(42nNWNnxnxnxNnxnxnx2)()(2)()(2112, 1 , 0Nr12/02/212/02/1)() 12()()2(NnnrNNnnrNWnxrXWnxrX令則x(n)x1(n)=x(n)+x(n+N/2)x2(n)=x(n)x(n+N/2)WNnWNnx(n+N/2)DIF-FFT蝶形運算流圖符號43X (3)N/2點DFTN/2點DFTx(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)

18、x(6)x(7)x1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)WN0WN1WN2WN3X (0)X (2)X (4)X (6)X (1)X (5)X (7)N=8時第1次分解的運算流圖4445x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x2(0)x2(1)x2(2)x2(3)WN0WN1WN2WN3X (0)X (4)X (2)X (6)X (1)X (5)X (3)X (7)x3(0)x3(1)x4(0)x4(1)x5(0)x5(1)x6(0)x6(1)WN0WN2WN0WN2WN0WN0WN0WN04647FFT的變形運算流圖4849jWNN410