拓寬解題途徑

1、拓寬解題途徑，提高學(xué)生審美創(chuàng)造力香山中學(xué) 孫 瑛審美能夠陶冶人們的情操，增長人們的智慧，增強(qiáng)人們生活的樂趣，審美教育是培養(yǎng)學(xué)生具有正確的審美觀點(diǎn)和感受美、鑒賞美、創(chuàng)造美的能力教育，是培養(yǎng)全面發(fā)展人才的一個重要途徑。圍繞我?！耙悦懒⑿＃⒚烙恕钡霓k學(xué)理念，我有意識地把美育帶入課堂。法國哲學(xué)家狄德羅說過：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題是指一個難以解決的問題，而美的解答是指一個復(fù)雜問題的簡單解答?！备呷臄?shù)學(xué)課堂，解題方法的教學(xué)顯得尤為重要，數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在數(shù)學(xué)技巧上，簡單巧妙的解題方法就是一種簡潔美。為了讓學(xué)生盡快提高數(shù)學(xué)解題能力，我在教學(xué)中追求探索解題途徑過程的簡單美，追求突破常規(guī)思路，拓寬解題方法的奇異

2、美，注重培養(yǎng)學(xué)生思維的敏銳性和創(chuàng)造性。撰寫此文將我教學(xué)中的做法列舉一二，企盼能給同仁起到拋磚引玉的作用。一、追求簡潔美凡是簡潔的，一目了然的解題方法總是易于為大家選擇接受的，教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生追求簡潔的品質(zhì)，在多種解法中選擇“美的解法”，特別是在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，更要注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，避繁就簡，在數(shù)學(xué)解題過程中追求解法的簡潔美。1. 巧用公式化解繁瑣計(jì)算復(fù)習(xí)平面向量這一章時，我讓學(xué)生做了一個習(xí)題：“已知向量是與垂直的單位向量，若，求?！睂W(xué)生先設(shè)，再根據(jù)及是單位向量列出兩個關(guān)于x、y的二元二次方程組，然后解出x、y，代入求出，最后就可以算出的值了。但因?yàn)樯厦娴姆匠探M有兩解，且數(shù)據(jù)較復(fù)雜，所以整個解題

3、過程繁瑣，基礎(chǔ)較差的學(xué)生就難以算出正確答案。我在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分析曾經(jīng)學(xué)過的一個公式的特點(diǎn)，它能將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成向量的運(yùn)算，由此帶來計(jì)算的簡便，本題可以利用這個公式將化為，因?yàn)榍遥誓茌p松得到答案的。2. 利用數(shù)形結(jié)合獲得解題思路的簡單美一個解析幾何題往往會有很多的解題思路，從不同的角度去分析，獲得的解題方法也各異，并且難易程度差距很大。如何讓學(xué)生獲得比較簡單的解題方法，是我本學(xué)期注重研究的課題。學(xué)生在解題時多從字面上去理解，根據(jù)字面的表達(dá)來確定解題思路，由此得到的思路常會帶來繁瑣的計(jì)算，我的做法就是告訴學(xué)生，解析幾何畢竟是幾何，許多時候，畫出簡單圖形，用平面幾何的知識來分析理解題目的

4、已知與未知條件之間的關(guān)系，尋找解題思路，就有可能避免繁瑣的運(yùn)算。例如，例題“已知直線L1與直線L2的夾角平分線方程是若直線L1的方程是求直線L2的方程?！蔽蚁茸寣W(xué)生分析解題思路，有學(xué)生回答：設(shè)直線L2的斜率為k，然后根據(jù)直線L1與直線的夾角等于直線L2與直線的夾角用兩直線的夾角公式來求出k,再聯(lián)立方程組求得直線L1與平分線的交點(diǎn)P,因?yàn)辄c(diǎn)P也在直線L2上，最后用點(diǎn)斜式寫出直線L2的方程。我首先肯定這個學(xué)生的思路正確，然后讓全班同學(xué)按照這個思路進(jìn)行解答，一部分學(xué)生作對了，但還有不少學(xué)生運(yùn)算能力比較差，這里求k與求交點(diǎn)的運(yùn)算令他們感到頭疼。我引導(dǎo)學(xué)生用對稱的觀點(diǎn)來分析本題：直線是直線L1與直線L2

5、的夾角平分線，則直線L2關(guān)于直線的對稱直線是L1，在直線L2上任取一點(diǎn)P(x、y)，則它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q一定在直線L1上。下面只要求出點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)并代入直線L1的方程即可。這樣的解題思路，化解了常規(guī)解題中的繁瑣計(jì)算，使學(xué)生獲得了解題過程的簡單美。如此教學(xué)，既是教育，又是美育，這種數(shù)學(xué)技巧的簡潔美給人以強(qiáng)烈的美感體驗(yàn)。二、追求奇異美有些數(shù)學(xué)題，用常規(guī)思路設(shè)計(jì)的解法很難求得結(jié)果或根本找不到思路，這時，就需要突破常規(guī)，另辟蹊徑?！吧礁F水盡疑無路，柳暗花明又一村”，引導(dǎo)學(xué)生追求奇異美，拓寬解題思路，往往會得到意想不到的效果。例如，立體幾何中有一道習(xí)題：“若斜三棱柱的一個側(cè)面面積為5，

6、這個側(cè)面與它相對棱的距離為2，求這個棱柱的體積?！边@道題對于我們普通中學(xué)的大部分學(xué)生來說確有一定難度，不少同學(xué)會感到無從下筆，喪失解題的信心，在教學(xué)中我是這樣對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)的：老師：若用常規(guī)方法，需要先求什么？怎么求？學(xué)生：需要先求出此斜三棱柱的底面積和高，但從題目的已知條件中很難求得。老師：既然很難根據(jù)已知條件求得斜三棱柱的底面積，而題目中已知一個側(cè)面面積，能否考慮用它來代替底面積呢？學(xué)生甲：可它不是底面，怎么能代替？除非讓這個斜三棱柱翻倒，用這個側(cè)面作底面。（哈哈哈，許多學(xué)生都在笑）老師：可能嗎？學(xué)生乙：不可能，因?yàn)槔庵膫?cè)面不能是三角形。老師：是的，斜三棱柱的底面與側(cè)面是不能改變的，有沒

7、有能將底面與側(cè)面改變的斜棱柱呢？學(xué)生丙：有，底面是平行四邊形的斜四棱柱。老師：對，也就是平行六面體，它的任意一個面都可以作底面。請大家想一想，能否將題中的三棱柱變成四棱柱？怎樣變？（學(xué)生們進(jìn)入思考狀態(tài)，過了一會兒，）老師：就好比平面三角形，怎樣能等到一個與它相關(guān)的平行四邊形。學(xué)生丙：我想起來了，用兩個全等的三角形可以拼成一個平行四邊形，也就是說，用兩個全等的斜三棱柱可以拼成一個斜四棱柱。老師：很好，在講下去！學(xué)生丙：這樣的斜四棱柱就可以用已知側(cè)面積的那個側(cè)面作底面了，而這時，正好可以用這個側(cè)面與它相對棱的距離2作為斜四棱柱的高，所以，這個斜四棱柱的體積就是5乘以2等于10。（整個課堂氣氛變得輕

8、松起來，許多學(xué)生都聽明白了，齊聲說：本題的答案就是5，更有學(xué)生感嘆：太奇妙了！如此一來，這個題就不是難題了）再如，復(fù)習(xí)解析幾何時，我給學(xué)生講解了這樣一道例題：“已知P（a，b）是圓外一定點(diǎn)，PA、PB是過P點(diǎn)的圓的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求證：直線AB的方程是”。此題若用常規(guī)的方法，可設(shè)切線PA、PB的點(diǎn)斜式方程，分別與圓的方程聯(lián)立方程組，求出切點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，最后得到直線AB的方程是，整個的計(jì)算特別繁瑣，學(xué)生很難完成。我教給學(xué)生的證法是：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則以A為切點(diǎn)的切線PA的方程是：以B為切點(diǎn)的切線PB的方程是：，因?yàn)?，點(diǎn)P在兩條切線上，所以， 由知，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿

9、足方程，即直線AB的方程是。不知不覺中就證明出本題了，既簡潔又奇特，給予了學(xué)生一種全新的思維。3.提高學(xué)生創(chuàng)造力一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)問題是一個有機(jī)的整體。因此，在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用審美直覺，洞察其內(nèi)在的隱蔽的聯(lián)系，幫助他們從“繁雜中區(qū)分簡潔明了的實(shí)質(zhì)性東西，從而發(fā)現(xiàn)優(yōu)美而正確的解題途徑”，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識，提高學(xué)生創(chuàng)造力的有效措施。在講解例題：“設(shè),若直線L與AC垂直，且被ABC截得的線段長為，求直線L的方程?！睍r，我先讓學(xué)生分析、設(shè)計(jì)解題思路，他們基本上都是先求出直線AC的斜率，再利用“直線L與AC垂直斜率相乘等于-1”求出直線L的斜率是-2，然后設(shè)直線L的斜截式方程，并與直線AC的方程聯(lián)

10、立求交點(diǎn)D、與直線BC的方程聯(lián)立求交點(diǎn)E，最后由 求出b的值-2，后面兩個方程組的求解以及求b的方程的解運(yùn)算量都很大。這時，我要求學(xué)生根據(jù)題目所給條件畫出準(zhǔn)確的ABC圖形（強(qiáng)調(diào)圖形一定要準(zhǔn)確），從圖上猜一猜ABC的形狀，很快就有學(xué)生回答是個以A為直角的直角三角形，即BAAC，（提醒學(xué)生注意，猜出的結(jié)論一定要證明），因?yàn)橹本€L與AC也垂直，所以直線L與BA平行，而直線L被ABC截得的線段DE長為，且，由平面幾何知識可知，DE是三角形ABC的中位線，因此，只要求出AC、BC的中點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，就可以輕松求得直線L的方程。按照這樣的思路，解題過程就簡單多了。引導(dǎo)學(xué)生通過比較，優(yōu)化解法，挖掘和采擷數(shù)學(xué)的