建立空間直角坐標(biāo)系的幾個常見思路

1、 建立空間直角坐標(biāo)系的幾種常見思路坐標(biāo)法是利用空間向量的坐標(biāo)運算解答立體幾何問題的重要方法，運用坐標(biāo)法解題往往需要建立空間直角坐標(biāo)系依據(jù)空間幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標(biāo)系，是運用坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵下面舉例說明幾種常見的空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略一、利用共頂點的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12,底面ABCD是直角梯形，A為直角，ABCD，AB4，AD2，DC1,求異面直線BC1與DC所成角的余弦值解析:如圖1,以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（，1

2、，2）、B(2，4，），設(shè)與所成的角為，則二、利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2如圖2，在三棱柱ABCA1B1C1中,AB側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點，EAEB1已知,BB12,BC1,BCC1求二面角AEB1A1的平面角的正切值解析：如圖2，以B為原點,分別以BB1、BA所在直線為y軸、z軸，過B點垂直于平面AB1的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系由于BC1，BB12，AB,BCC1，在三棱柱ABCA1B1C1中,有B（，,）、A（，,）、B1（，2，）、設(shè)且,由EAEB1,得，即,，即或（舍去)故由已知有,故二面角AEB1A1的平面角的大小為向量與的夾角因，故，即三、利用

3、面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例3如圖3，在四棱錐VABCD中,底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（1）證明AB平面VAD；（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值解析:（1)取AD的中點O為原點,建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AD2，則A（1,，）、D(1，）、B（1，2，)、V(，,），（，2，），（1，,）由,得ABVA又ABAD，從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA、AD都垂直， AB平面VAD；(2）設(shè)E為DV的中點,則，,EBDV又EADV，因此AEB是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值為四、利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4已

4、知正四棱錐VABCD中,E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h（1）求DEB的余弦值;（2)若BEVC,求DEB的余弦值解析：（1)如圖4,以V在平面AC的射影O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，其中OxBC，OyAB,則由AB2a，OVh，有B（a，a，）、C(a，a,）、D（-a,a,)、V（0,0，h)、,即;（2）因為E是VC的中點，又BEVC，所以，即，這時,即引入空間向量坐標(biāo)運算,使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進行繁瑣的空間分析,只需建立空間直角坐標(biāo)系進行向量運算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑五、利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可建立空間直角坐標(biāo)系例5已知兩個正四棱錐PABCD與QABCD的高都為2，AB4（1）證明：PQ平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角；(3）求點P到平面QAD的距離簡解：（1）略;（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形,且ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可分別以直線為x,y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），易得,所求異面直線所成的角是（3)由(2）知，點設(shè)n=(x,y,z）是平面QAD的一個法向量