建立空間直角坐標系的幾個常見思路

1、 建立空間直角坐標系的幾種常見思路坐標法是利用空間向量的坐標運算解答立體幾何問題的重要方法，運用坐標法解題往往需要建立空間直角坐標系依據(jù)空間幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標系，是運用坐標法解題的關(guān)鍵下面舉例說明幾種常見的空間直角坐標系的構(gòu)建策略一、利用共頂點的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標系例1已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12,底面ABCD是直角梯形，A為直角，ABCD，AB4，AD2，DC1,求異面直線BC1與DC所成角的余弦值解析:如圖1,以D為坐標原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則C1（，1

2、，2）、B(2，4，），設(shè)與所成的角為，則二、利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標系例2如圖2，在三棱柱ABCA1B1C1中,AB側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點，EAEB1已知,BB12,BC1,BCC1求二面角AEB1A1的平面角的正切值解析：如圖2，以B為原點,分別以BB1、BA所在直線為y軸、z軸，過B點垂直于平面AB1的直線為x軸建立空間直角坐標系由于BC1，BB12，AB,BCC1，在三棱柱ABCA1B1C1中,有B（，,）、A（，,）、B1（，2，）、設(shè)且,由EAEB1,得，即,，即或（舍去)故由已知有,故二面角AEB1A1的平面角的大小為向量與的夾角因，故，即三、利用

3、面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標系例3如圖3，在四棱錐VABCD中,底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（1）證明AB平面VAD；（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值解析:（1)取AD的中點O為原點,建立如圖3所示的空間直角坐標系設(shè)AD2，則A（1,，）、D(1，）、B（1，2，)、V(，,），（，2，），（1，,）由,得ABVA又ABAD，從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA、AD都垂直， AB平面VAD；(2）設(shè)E為DV的中點,則，,EBDV又EADV，因此AEB是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值為四、利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標系例4已

4、知正四棱錐VABCD中,E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h（1）求DEB的余弦值;（2)若BEVC,求DEB的余弦值解析：（1)如圖4,以V在平面AC的射影O為坐標原點建立空間直角坐標系，其中OxBC，OyAB,則由AB2a，OVh，有B（a，a，）、C(a，a,）、D（-a,a,)、V（0,0，h)、,即;（2）因為E是VC的中點，又BEVC，所以，即，這時,即引入空間向量坐標運算,使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進行繁瑣的空間分析,只需建立空間直角坐標系進行向量運算，而如何建立恰當?shù)淖鴺讼?，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標系的三條途徑五、利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標系圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可建立空間直角坐標系例5已知兩個正四棱錐PABCD與QABCD的高都為2，AB4（1）證明：PQ平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角；(3）求點P到平面QAD的距離簡解：（1）略;（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形,且ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可分別以直線為x,y，z軸建立空間直角坐標系（如圖1），易得,所求異面直線所成的角是（3)由(2）知，點設(shè)n=(x,y,z）是平面QAD的一個法向量