哈密爾頓的四元數(shù)

1、.哈密爾頓的四元數(shù)威廉.哈密頓,歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。1805年8月3日出生于愛(ài)爾蘭的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文臺(tái)。哈密頓是一位罕見(jiàn)的語(yǔ)言奇才。14歲時(shí)就學(xué)會(huì)了12種歐洲語(yǔ)言。13歲就開(kāi)場(chǎng)鉆研牛頓和拉普拉斯等人的經(jīng)典著作。17歲時(shí)掌握了微積分，并在光學(xué)中有所發(fā)現(xiàn)。22歲時(shí)大學(xué)還未畢業(yè)就被聘任為他就讀的都柏林三一學(xué)院的教授，同時(shí)獲得“愛(ài)爾蘭皇家天文學(xué)家的稱(chēng)號(hào)。哈密頓在物理學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域里都有出色的成就，他是一位勤奮工作而熱愛(ài)真理的人。他和妻子在一起漫步的橋頭，已經(jīng)有一個(gè)紀(jì)念碑。四元數(shù)是由哈密爾頓在1843年愛(ài)爾蘭發(fā)現(xiàn)的。愛(ài)爾蘭有一個(gè)很多人熟悉的英雄，威廉.華萊士。在電

2、影?英勇的心?中，有一柄長(zhǎng)劍，叮地插在大地之上，長(zhǎng)劍在風(fēng)中微顫，你仿佛聽(tīng)見(jiàn)愛(ài)爾蘭的英雄在高呼：自由！在通往數(shù)學(xué)的自由或者奴役的道路之上，哈密頓的四元數(shù)是一個(gè)豐碑。從物理學(xué)上講，它就是泡利矩陣，有了泡利矩陣，就有了2分量旋量。所以天才總是互相感應(yīng)，而有了泡利矩陣，才有了扭量，這亦是自然的事情。兩個(gè)四元數(shù)相等的準(zhǔn)那么是系數(shù)a、b、c、d都對(duì)應(yīng)相等。兩個(gè)四元數(shù)相加只要將對(duì)應(yīng)系數(shù)分別相加形成新的系數(shù)，這樣和本身也是一個(gè)四元數(shù)。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規(guī)定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數(shù)，并且盡可能多地保存實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的特點(diǎn)，他約定：jk=i，kj=i，ki=j，ik=j，ij=k

3、，ji=k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣假設(shè)p和q為四元數(shù)，那么pq不等于qp。一個(gè)四元數(shù)被另一個(gè)四元數(shù)除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊(yùn)含了用四元數(shù)q去除四元數(shù)p時(shí)，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數(shù)并沒(méi)有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價(jià)值，他還是能用它們來(lái)解決大量的物理和幾何問(wèn)題。四元數(shù)的引入給了數(shù)學(xué)家們又一次震動(dòng)。它是一個(gè)確確實(shí)實(shí)有實(shí)際用處的代數(shù)，卻不具備所有實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都具備的根本性質(zhì)，即ab=ba。哈密爾頓創(chuàng)造四元數(shù)后不久，從事其他領(lǐng)域研究的數(shù)學(xué)家們引入了更奇怪的代數(shù)。著名代數(shù)幾何學(xué)家凱萊引進(jìn)了矩陣，它是矩形或正方形數(shù)組。對(duì)

4、它們也可進(jìn)展通常的代數(shù)運(yùn)算。但是如同在四元數(shù)中的情形一樣，它也沒(méi)有乘法可交換性。而且即使兩個(gè)矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數(shù)和矩陣只不過(guò)是許多性質(zhì)越來(lái)越奇怪的代數(shù)的先驅(qū)。格拉斯曼創(chuàng)造了許多這樣的代數(shù)。它們甚至比哈密爾頓的四元數(shù)還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個(gè)中學(xué)老師，因此過(guò)了許多年他的工作才獲得了應(yīng)有的注意。無(wú)論怎樣，格拉斯曼工作增添了如今稱(chēng)為超復(fù)數(shù)的新代數(shù)中的多樣性。為了特別的目的而創(chuàng)立的這些新代數(shù)本身并沒(méi)有向普通的算術(shù)及其擴(kuò)展在代數(shù)和分析中的真理提出挑戰(zhàn)。畢竟，一般的實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)可用于完全不同的目的，它們的實(shí)用性是無(wú)可質(zhì)疑的。也許真理本質(zhì)上就是難以捉摸的，或者如羅馬哲學(xué)家塞涅卡所說(shuō)：

5、“自然界不會(huì)一下子披露她所有的機(jī)密。假如幾個(gè)力作用于一個(gè)物體，那么這些力及其向量表示不一定通常也不會(huì)總在同一平面上。假如為了方便起見(jiàn)將通常實(shí)數(shù)稱(chēng)為一維數(shù)，復(fù)數(shù)為二維數(shù)，那么，要用什么來(lái)表示空間中某種三維數(shù)的向量及其代數(shù)運(yùn)算呢？人們希望對(duì)這種三維數(shù)進(jìn)展的運(yùn)算，類(lèi)似于復(fù)數(shù)的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿(mǎn)足通常實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)所具有的那些性質(zhì)。這樣代數(shù)運(yùn)算才能自由且有效地使用。于是，數(shù)學(xué)家們開(kāi)場(chǎng)尋找一種稱(chēng)為三維復(fù)數(shù)及其代數(shù)的數(shù)。有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問(wèn)題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個(gè)有用的復(fù)數(shù)的空間類(lèi)似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時(shí)數(shù)學(xué)家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性，即ab

6、=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì)。哈密爾頓終于成功了，不過(guò)他被迫作出兩點(diǎn)讓步。首先，他的新數(shù)包含四個(gè)分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個(gè)特點(diǎn)對(duì)代數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)都是革命性的，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。a+bi+cj+dki2=j2=k2=1兩個(gè)四元數(shù)相等的準(zhǔn)那么是系數(shù)a、b、c、d都對(duì)應(yīng)相等。當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)。他不能做到三維空間的例子，但四維那么造出四元數(shù)。根據(jù)哈密爾頓記述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運(yùn)河漫步,突然靈感撲面而來(lái),他在橋上寫(xiě)下乘法表:i2j2k2-1，i

7、83;jk，k·ij，j·ki；j·i-k；i·k-j，k·j-i。這是一個(gè)普通的橋,它以前的名字叫布魯穆橋現(xiàn)稱(chēng)為金雀花橋BroomBridge。哈密頓創(chuàng)造了把四元數(shù)描繪成一個(gè)有序的四重實(shí)數(shù)：一個(gè)標(biāo)量a和向量bi+cj+dk的組合。根據(jù)上述乘法表，四元數(shù)顯然是復(fù)數(shù)的擴(kuò)大，它將復(fù)數(shù)作為特殊形式包含在自身之中，它屬于超復(fù)數(shù)。但這種數(shù)對(duì)乘法的交換律不再成立，哈密頓為此考慮了十幾年，最后直覺(jué)地想到：必須犧牲交換律，于是第一個(gè)非交換律的代數(shù)誕生了，在以前的乘法中，乘法是交換的，比方從小學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)場(chǎng),沒(méi)有人告訴你為什么1x2=2x1，但這背后其實(shí)埋藏?zé)o窮機(jī)密

8、。哈密頓的這個(gè)創(chuàng)造，把代數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的實(shí)數(shù)算術(shù)的束縛中解放出來(lái)，人們開(kāi)場(chǎng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)既可來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界的直接抽象也可以來(lái)自人類(lèi)的思維的自由創(chuàng)造，這種思想引起了代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一次質(zhì)的飛躍，現(xiàn)代抽象代數(shù)的閘門(mén)被翻開(kāi)了。只有在4維歐空間之上，唐納森發(fā)現(xiàn)了無(wú)窮多微分構(gòu)造。loop量子引力被人詬病，因?yàn)樗荒艽饛?fù)為什么時(shí)空是4維的，但上帝用數(shù)學(xué)來(lái)答復(fù)。要練說(shuō)，先練膽。說(shuō)話(huà)膽小是幼兒語(yǔ)言開(kāi)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說(shuō)話(huà)時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽(tīng)；有的低頭不語(yǔ)，扯衣服，扭身子?？傊?，說(shuō)話(huà)時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語(yǔ)言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒

9、講話(huà)時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無(wú)拘無(wú)束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說(shuō)話(huà)的習(xí)慣?；蛟谡n堂教學(xué)中，改變過(guò)去老師講學(xué)生聽(tīng)的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話(huà)的形式，給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說(shuō)話(huà)的時(shí)機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛(ài)說(shuō)話(huà)敢說(shuō)話(huà)的興趣，對(duì)一些說(shuō)話(huà)有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽(tīng)，熱情地幫助和鼓勵(lì)他把話(huà)說(shuō)完、說(shuō)好，增強(qiáng)其說(shuō)話(huà)的勇氣和把話(huà)說(shuō)好的信心。三是要提明確的說(shuō)話(huà)要求，在說(shuō)話(huà)訓(xùn)練中不斷進(jìn)步，我要求每個(gè)幼兒在說(shuō)話(huà)時(shí)要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學(xué)會(huì)用眼神。對(duì)說(shuō)得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表?yè)P(yáng)，并要其他幼兒模擬。

10、長(zhǎng)期堅(jiān)持，不斷訓(xùn)練，幼兒說(shuō)話(huà)膽量也在不斷進(jìn)步。在19世紀(jì)到20世紀(jì)，哈密頓之后，物理學(xué)家洛侖次寫(xiě)了厚厚的?電子論?，Lorentz的?TheTheoryofElectrons?總共三百多頁(yè)，當(dāng)時(shí)還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)電子。這是歷史上一個(gè)偉大的事情，雖然洛侖次不是最出色的，但人們應(yīng)該注意到，在洛侖次力公式f=qE+vXB出現(xiàn)了點(diǎn)乘與叉乘。這個(gè)是一個(gè)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)里的假設(shè),但可以相信，這個(gè)假設(shè)說(shuō)明，在四元數(shù)中,結(jié)合方法必須既有點(diǎn)乘又有叉乘，這個(gè)假設(shè)是實(shí)驗(yàn)證實(shí)的，所以洛侖次是偉大的。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱(chēng)謂皆稱(chēng)之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱(chēng)“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱(chēng)。其實(shí)“教諭在明清時(shí)還有學(xué)官一意，即主管縣一級(jí)的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正?！敖淌凇皩W(xué)正和“教諭的副手一律稱(chēng)“訓(xùn)導(dǎo)。于民間，特別是漢代以后，對(duì)于在“?；颉皩W(xué)中傳授經(jīng)學(xué)者也稱(chēng)為“經(jīng)師。在一些特定的講學(xué)場(chǎng)合，比方書(shū)院、皇室，也稱(chēng)老師為“院長(zhǎng)、西席、講席等。電磁理論與四元數(shù)的結(jié)合是自然的，天然的，同時(shí)是微妙的。因?yàn)殡?/p>