電動力學(xué)課件

1、第二章第三節(jié)第二章第三節(jié)分離變量法分離變量法Separation of Variables2. 3 拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解 分離變量法分離變量法、分離變量法的適用條件、分離變量法的適用條件四、例題四、例題三、解題步三、解題步驟驟二、拉普拉斯方程的解在球標(biāo)系中的形式二、拉普拉斯方程的解在球標(biāo)系中的形式五、拉普拉斯方程的解在其它標(biāo)系中的形式五、拉普拉斯方程的解在其它標(biāo)系中的形式1 1、空間、空間 ，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（或?qū)?，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（或?qū)?體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界， 可用可用 拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。0一、一、分離變

2、量法的分離變量法的適用條件適用條件2 2、在所求區(qū)域的介質(zhì)中若有自由電荷分布，則要求、在所求區(qū)域的介質(zhì)中若有自由電荷分布，則要求 自由電荷分布產(chǎn)生的勢為已知。自由電荷分布產(chǎn)生的勢為已知。處理方法：區(qū)域處理方法：區(qū)域V V中電勢可表示為兩部分的和，中電勢可表示為兩部分的和，即即 ， 為已知自由電荷產(chǎn)生的電勢，為已知自由電荷產(chǎn)生的電勢， 不滿足不滿足 ， 為束縛電荷產(chǎn)生的電勢，滿為束縛電荷產(chǎn)生的電勢，滿足拉普拉斯方程足拉普拉斯方程202000但注意，邊值關(guān)系還要用但注意，邊值關(guān)系還要用 而不能用而不能用SS1(, )()(cos)cosnmnmnmnnnmbRaRPmR 1()(cos)sinnm

3、nmnmnnnmdcRPmR)(cosmnP締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)）締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)）nnnnnnPRbRaR)(cos)(),(1 ) 1cos3(21)(cos22Pcos)(cos110PP)(cosnP-勒讓德函數(shù)勒讓德函數(shù)二、拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中解的形式二、拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中解的形式三解題步驟三解題步驟 確定求解區(qū)域、選擇坐標(biāo)系和電勢零點確定求解區(qū)域、選擇坐標(biāo)系和電勢零點 坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀，坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀，電勢零點主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限；電勢零點主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限；（1）邊界條件：）邊界條件：

4、電荷分布有限電荷分布有限 0RbaR)(00,coszEE eE R電荷分布無限，電荷分布無限，電勢參考點一般選在有限區(qū)。如電勢參考點一般選在有限區(qū)。如均勻場中，均勻場中，ns SQdSn |s導(dǎo)體的邊界面上導(dǎo)體的邊界面上（2）邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上）邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上SSSSnn221121一般討論分一般討論分界面無自由界面無自由電荷的情況電荷的情況1 1一個內(nèi)徑和外徑分別一個內(nèi)徑和外徑分別為為R2和和R3的導(dǎo)體球殼，的導(dǎo)體球殼，帶電荷為帶電荷為Q，同心地包圍，同心地包圍著一個半徑為著一個半徑為R1的導(dǎo)體的導(dǎo)體球（球（R1 R2），使這個，使這個導(dǎo)體球接地，求空間各導(dǎo)體球接地，求空間各點

5、的電勢和這個導(dǎo)體球點的電勢和這個導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。的感應(yīng)電荷。四、例題四、例題220 210 球殼內(nèi)球殼內(nèi) 球殼外球殼外13212()()baRRRdcRRRR電荷在球上均勻分布，電荷在球上均勻分布，場有球?qū)ΨQ性，所以場有球?qū)ΨQ性，所以選擇球坐標(biāo)系，原點選擇球坐標(biāo)系，原點在球心。考慮電荷分在球心。考慮電荷分布在有限區(qū)域，選擇布在有限區(qū)域，選擇無窮遠為電勢零點。無窮遠為電勢零點。13212()()baRRRdcRRRR110, 0,abRR 121,0,0dRRcR321232,R RR RbdcRR04Qbd321200R RRdSdSQRR1110010,444QQQQbcdR 131111

6、213QRQRRR111200111,44QQQRRR1201R RdSQR選擇球坐標(biāo)系，原點選擇球坐標(biāo)系，原點在球心，在球心，z軸沿軸沿E0方向。方向?？紤]電荷分布在無限考慮電荷分布在無限區(qū)域，選擇坐標(biāo)原點區(qū)域，選擇坐標(biāo)原點為電勢零點。為電勢零點。11nnnnnnba RPcosR21nnnnnndc RPcosR10010nnaE ,an,d 1001R,E RcosE RP cos, 20R,由邊值關(guān)系：由邊值關(guān)系：介質(zhì)球面上介質(zhì)球面上000012120R RR RR RR RRR30100001000123012nnbE R ,bncE ,cn 3010100120020101232E

7、 RP cosE RP cosRE RP cos 0222200312rEeeERR 0222200312rEeeERR 003120000032PEE003RE例題半徑為 的導(dǎo)體球置于均勻外電場中,求電勢及導(dǎo)體上的電荷面密度。R0Rz0E1nnnnnnba RPcosR1001naE ,an 001R,E RcosE RP cos, 導(dǎo)體球面上導(dǎo)體球面上00RR310001nbE R ,bn00003R RE cosR 3000E RE R coscosR 0RfQ選擇球坐標(biāo)系，原點在球心。考慮選擇球坐標(biāo)系，原點在球心?？紤]電荷分布在有限區(qū)域，選擇無窮遠電荷分布在有限區(qū)域，選擇無窮遠處為電勢

8、零點。處為電勢零點。fSD dSQ0300344ffQ RRRREQ RRRR04fRQE dlR00001144RffRRRQQE dlE dlE dlRR04fQR04fQR04PQR201020()()baRRRdcRRR束縛電荷在球上均勻分布，場有球?qū)ΨQ性，所以束縛電荷在球上均勻分布，場有球?qū)ΨQ性，所以11,00abRR 220,0Rcd有 限00012,R RR RbcR00120044,fR RR RfQRQRb00044ffQQcRR104fQR2001144ffQQRRp21R0z1fp2選擇球坐標(biāo)系，原點在球心?？紤]電荷分布在有限區(qū)選擇球坐標(biāo)系，原點在球心。考慮電荷分布在有限

9、區(qū)域，選擇無窮遠處為電勢零點。域，選擇無窮遠處為電勢零點。0314fpRR自由偶極子在介質(zhì)中產(chǎn)生的電勢自由偶極子在介質(zhì)中產(chǎn)生的電勢fp1121()(cos)()(cos)nnnnnnnnnnnnba RPRdc RPR 221,0,(cos )0nnnnndRPRc 110,(c0os )nnnnnRabR P有限 0012010,1nnnnR RR Rda RR 0012122211 13330100110220,2222311R RR RffnnnnRRppdaRRRndna RnR 01nnadn221131121120(1),(1)2(2)2(2)ffppadR 12103311120

10、1220333111212()42(2)()342(2)4 (2)fffffpRpRRRRRpRpRpRRRRRR 01(1)fpp00210210001231120()3 ()cos2(2)PnnR RR RfEERRpR 11012202,PEPE21()PnPP 五、拉普拉斯方程在其它坐標(biāo)系中解的形式五、拉普拉斯方程在其它坐標(biāo)系中解的形式02222222zyx1、直角坐標(biāo)直角坐標(biāo) )()()(),(zZyYxXzyx（1）令令 1122( )( )( )sincosk xk xXxAeBek yk yYyCeDeZ zEkzFkz000222222ZdzZdYdyYdXdxXd0222212221,kkkkk令令),(yx（2 2）若若 ( )( )sincoskxkxX xAeBeY yCkyDky )(xzy,（3 3）若）若 ，與與 無關(guān)。無關(guān)。 BAxdxd022002222YdyYdXdxXd022,kk01)(1222222zrrrrr 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo) )()(),(grfr令令 0)()(10)()(22222rfrdrdfrdrdrgdgd),(r0000(ln )()()(cossin)ABr CDA rB rCD0000(ln )()()(cossin)AB