一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、§ 3.4一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)復(fù)習(xí)目標(biāo)1 掌握一元二次函數(shù)圖象的畫法及圖象的特征2 掌握一元二次函數(shù)的性質(zhì)，能利用性質(zhì)解決實(shí)際問題3 會(huì)求二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最大（?。┲? 掌握一元二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系。知識(shí)回顧1函數(shù)叫做一元二次函數(shù)。2. 一元二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。3任何一個(gè)二次函數(shù)都可把它的解析式配方為頂點(diǎn)式：，性質(zhì)如下：（1）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線。（2）最大（?。┲?當(dāng)，函數(shù)圖象開口向上，有最小值，無最大值。 當(dāng)，函數(shù)圖象開口向下，有最大值，無最小值。（3）當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。 【說明】

2、1.我們研究二次函數(shù)的性質(zhì)常用的方法有兩種：配方法和公式法。 2無論是利用公式法還是配方法我們都可以直接得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸； 但我們討論函數(shù)的最值以及它的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要考慮它的開口方向。例題精解一、一元二次函數(shù)的圖象的畫法【例1】求作函數(shù)的圖象【解】 以為中間值，取的一些值，列表如下：-7-6-5-4-3-2-10-20【例2】求作函數(shù)的圖象?！窘狻肯犬嫵鰣D角在對(duì)稱軸的右邊部分，列表-2-101276543 【點(diǎn)評(píng)】畫二次函數(shù)圖象步驟： (1)配方； (2)列表； (3)描點(diǎn)成圖； 也可利用圖象的對(duì)稱性，先畫出函數(shù)的左（右）邊部分圖象，再利用對(duì)稱性描出右（左）部分就可。二、一元二

3、次函數(shù)性質(zhì)【例3】求函數(shù)的最小值及圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求它的單調(diào)區(qū)間?！窘狻?由配方結(jié)果可知：頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為； 當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)。【例4】求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值及它的單調(diào)區(qū)間。 ， 函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)?！军c(diǎn)評(píng)】要研究二次函數(shù)頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時(shí)，方法有兩個(gè)：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：適用于不容易配方題目(二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù))如例4，可避免出錯(cuò)。任何一個(gè)函數(shù)都可配方成如下形式：三、二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例5】(1)如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，那么

4、（ ）（A）（B） （C）（D） 【解】對(duì)于一切的均成立的圖像關(guān)于對(duì)稱又 拋物線開口向上。是的最小值。 ， (2)如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，則 。(用“”或“”填空)【解】對(duì)于一切的均成立的圖像關(guān)于對(duì)稱又 拋物線開口向下。， 【點(diǎn)評(píng)】1.當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸通過它的最低點(diǎn)(此時(shí)函數(shù)有最小值)，如果這時(shí)有一個(gè)點(diǎn)離圖象對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就越大。如例5(1)中當(dāng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)比當(dāng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，所以時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也比較大。 21.當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸通過它的最高點(diǎn)(此時(shí)函數(shù)有最大值)，如果這時(shí)有一個(gè)點(diǎn)離圖象對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就越小。如例5(2)中當(dāng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)比當(dāng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，所以對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也

5、比較小?！纠?】求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值?！窘狻浚?）原函數(shù)化為 當(dāng)時(shí)，又 當(dāng)時(shí)，（2）原函數(shù)可化為：，圖象的對(duì)稱軸是直線注意到當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)【例7】已知函數(shù)是偶函數(shù)，試比較，的大小?！窘狻拷夥ㄒ唬菏桥己瘮?shù)， , 可知函數(shù)的對(duì)稱軸為直線 又， 解法二：是偶函數(shù)， , 可知在上單調(diào)遞減 又是偶函數(shù)， 而 三、一元二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系?！纠?】求當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)的圖象與軸(1)只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn).【解】令，則的判別式 (1)當(dāng)，即，時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，這時(shí)圖象與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)； (2) 當(dāng)，即，時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，這時(shí)圖象與軸有兩個(gè)公共

6、點(diǎn)； (3) 當(dāng)，即，時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，這時(shí)圖象與軸無公共點(diǎn)；同步訓(xùn)練一選擇題1二次函數(shù)的值域是（ ） ( 2如果二次函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則（ ） 2 -210 -103如果二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的聚值范圍是（ ） 0 4函數(shù)的最小值是（ ）-3. 3 5函數(shù)具有性質(zhì)（ ）開口方向向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0） 開口方向向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0） 開口方向向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0） 開口方向向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0） 6下列命題正確的是（ ）函數(shù)的最小值是 函數(shù)的最小值是 函數(shù)的最小值為7 函數(shù)的最大值為77函數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）中，對(duì)稱軸是直線的是（ ）（1）與（2） （2）與（3） （1）與（3） （2）與（4）8對(duì)于二次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）當(dāng) 時(shí)，有最大值8 當(dāng) 時(shí)，有最大值8當(dāng) 時(shí)，有最小值8 當(dāng) 時(shí)，有最小值8 9如果函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，那么下列選項(xiàng)中正確的是（ ） 10若二次函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)（ ） 二填空1若函數(shù)，則的對(duì)稱軸是直線 2若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間是增函數(shù)，則3函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是、4已知，則有最值為5已知，則有最值為三解答題1已知二次函數(shù)，（1）指出函數(shù)圖象的開口方向；（2）當(dāng)為何值時(shí)；（3）