正多邊形的有關(guān)計(jì)算

1、正多邊形的有關(guān)計(jì)算教學(xué)設(shè)計(jì)示例1教學(xué)目標(biāo)：（1）會(huì)將正多邊形的邊長(zhǎng)、半徑、邊心距和中心角、周長(zhǎng)、面積等有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題；（2）鞏固學(xué)生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力；（3）通過(guò)正多邊形有關(guān)計(jì)算公式的推導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新教學(xué)重點(diǎn):把正多邊形的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn):正確地將正多邊形的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題解決、綜合運(yùn)用幾何知識(shí)準(zhǔn)確計(jì)算教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì):（一）創(chuàng)設(shè)情境、觀察、分析、歸納結(jié)論1、情境一：給出圖形問(wèn)題1：正n邊形內(nèi)角的規(guī)律觀察：在圖形中，應(yīng)用以有的知識(shí)（多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等）得出新結(jié)論教師組織

2、學(xué)生自主觀察，學(xué)生回答（正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于 ）2、情境二：給出圖形問(wèn)題2：每個(gè)圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規(guī)律？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生回答觀察：三角形的形狀，三角形的個(gè)數(shù)歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個(gè)全等的等腰三角形3、情境三：給出圖形問(wèn)題3：作每個(gè)正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律？觀察、歸納：這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了個(gè)直角三角形，這些直角三角形也是全等的（二）定理、理解、應(yīng)用：1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個(gè)全等的直角三角形2、理解：定理的實(shí)質(zhì)是把正多邊形的問(wèn)題向直角三角形轉(zhuǎn)化由于這些直

3、角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長(zhǎng)an的一半，一個(gè)銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據(jù)上面定理就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸結(jié)為解直角三角形問(wèn)題3、應(yīng)用：例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)P6和面積S6教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路：n=6  =30°，又半徑為R a6 、r6 P6、S6學(xué)生完成解題過(guò)程，并關(guān)注學(xué)生解直角三角形的能力解：作半徑OA、OB；作OGAB，垂足為G，得RtOGBGOB= ，a6&#

4、160;=2·Rsin30°=R，P6=6·a6=6R，r6=Rcos30°= ， 歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長(zhǎng)，由例1可知，正n邊形的面積S6= Pn rn4、研究：（應(yīng)用例1的方法進(jìn)一步研究）問(wèn)題：已知圓的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長(zhǎng)、邊心距及面積學(xué)生以小組進(jìn)行研究，并初步歸納： ； ； ； ； ； 上述公式是運(yùn)用解直角三角形的方法得到的通過(guò)上式六公式看出，只要給定兩個(gè)條件，則正多邊形就完全確定了例如：(1)圓的半徑或邊數(shù)；(2)圓

5、的半徑和邊心距；(3)邊長(zhǎng)及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素（三）小節(jié)知識(shí)：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計(jì)算問(wèn)題思想：轉(zhuǎn)化思想能力：解直角三角形的能力、計(jì)算能力；觀察、分析、研究、歸納能力（四）作業(yè)歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關(guān)計(jì)算公式教學(xué)設(shè)計(jì)示例2教學(xué)目標(biāo)：（1）進(jìn)一步研究正多邊形的計(jì)算問(wèn)題，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；（2）通過(guò)正十邊形的邊長(zhǎng)a10與半徑R的關(guān)系的證明，學(xué)習(xí)邊計(jì)算邊推理的數(shù)學(xué)方法；（3）通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模能力；（4）培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)，滲透理論聯(lián)系實(shí)際、實(shí)踐論的觀點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):應(yīng)用正多邊形的基本計(jì)算圖解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題及代數(shù)計(jì)算的證

6、明方法教學(xué)難點(diǎn):例3的證明方法教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：（一）知識(shí)回顧（1）方法：運(yùn)用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題（2）知識(shí)：正三角形、正方形、正六邊形的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題，正多邊形的有關(guān)計(jì)算 ； ； ； ； ； 組織學(xué)生填寫(xiě)教材P165練習(xí)中第2題的表格（二）正多邊形的應(yīng)用正多邊形的有關(guān)計(jì)算方法是基本的幾何計(jì)算知識(shí)之一，掌握這些知識(shí)，一方面可以為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，另一方面，這些知識(shí)在生產(chǎn)和生活中常常會(huì)用到，掌握后對(duì)學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)具有實(shí)用意義例2、在一種聯(lián)合收割機(jī)上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形，測(cè)得這個(gè)正五

7、邊形的邊長(zhǎng)是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm)解：設(shè)正五邊形為ABCDE，它的中心為點(diǎn)O，連接OA，作OFAB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，AOF= AF= （cm），R5=  （cm）r5= （cm）答：這個(gè)正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm建議：組織學(xué)生，使學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)；滲透簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想和實(shí)際應(yīng)用意識(shí)；對(duì)與本題除解直角三角形知識(shí)外，還要主要學(xué)生的近似計(jì)算能力的培養(yǎng)以小組的學(xué)習(xí)形式，每個(gè)小組自己舉一個(gè)實(shí)際生活中的例子加以研究，班內(nèi)交流 例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：

8、它的邊長(zhǎng) 教師引導(dǎo)學(xué)生：（1）AOB=？（2）在OAB中，A與B的度數(shù)？（3）如果BM平分OBA交OA于M，你發(fā)現(xiàn)圖形中相等的線(xiàn)段有哪些？你發(fā)現(xiàn)圖中三角形有什么關(guān)系？（4）已知半徑為R，你能不通過(guò)解三角形的方法求出AB嗎？怎么計(jì)算？解：如圖，設(shè)AB=a10作OBA的平分線(xiàn)BM，交OA于點(diǎn)M，則AOB=1=2=36°，OAB=3=72°OM=MB=AB= a10 OABBAM OA:AB=BA:AM，即R :a10= a10:（R- a10），整理，得 ， （取正根）由例3的結(jié)論可得 回顧：黃金分割線(xiàn)段AD2=DC·AC，也就是說(shuō)點(diǎn)D將線(xiàn)段AC分為兩部分，其中較長(zhǎng)的線(xiàn)段AD是較小線(xiàn)段CD與全線(xiàn)段AC的比例中項(xiàng)頂角36°角的等腰三角形的底邊長(zhǎng)是它腰長(zhǎng)的黃金分割線(xiàn)段反思：解決方法在推導(dǎo)a10與R關(guān)系時(shí)，輔助線(xiàn)角平分線(xiàn)是怎么想出來(lái)的解決方法是復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有關(guān)知識(shí)練習(xí)P.165中練習(xí)1(三)總結(jié)（1）應(yīng)用正多邊形的有關(guān)計(jì)算