第5章 數(shù)字控制器的連續(xù)設(shè)計方法(改)

1、離散化設(shè)計方法（也稱為離散化設(shè)計方法（也稱為直接設(shè)計方法直接設(shè)計方法）：）：將被控將被控對象和保持器組成的連續(xù)部分離散化，直接應(yīng)用離對象和保持器組成的連續(xù)部分離散化，直接應(yīng)用離散控制理論的方法進(jìn)行分析和綜合，設(shè)計出滿足控散控制理論的方法進(jìn)行分析和綜合，設(shè)計出滿足控制指標(biāo)的離散控制器，由計算機實現(xiàn)。制指標(biāo)的離散控制器，由計算機實現(xiàn)。連續(xù)化設(shè)計方法連續(xù)化設(shè)計方法( (也稱也稱模擬化設(shè)計方法模擬化設(shè)計方法) )：忽略控制忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，在回路中所有的零階保持器和采樣器，在s s域中按連域中按連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行初步設(shè)計，求出連續(xù)控制器，再通過續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行初步設(shè)計，求出連續(xù)控制器，再通過

2、某某種近似種近似，將連續(xù)控制器變換為離散控制器，由計算，將連續(xù)控制器變換為離散控制器，由計算機去實現(xiàn)。機去實現(xiàn)。 將將D(s)離散成離散成D(z)的方法有多種，離散化的方法有多種，離散化的實質(zhì)是求得一個等效的控制器脈沖傳遞函數(shù)，的實質(zhì)是求得一個等效的控制器脈沖傳遞函數(shù)，使之與連續(xù)域的控制器傳遞函數(shù)在很多方面是使之與連續(xù)域的控制器傳遞函數(shù)在很多方面是相似的相似的 比如在脈沖響應(yīng)特性、階躍響應(yīng)特性、頻率特性、比如在脈沖響應(yīng)特性、階躍響應(yīng)特性、頻率特性、穩(wěn)態(tài)增益和零、極點分布等方面穩(wěn)態(tài)增益和零、極點分布等方面 一階一階差分變換法差分變換法（后向差分）（后向差分）（1）離散化公式）離散化公式11( )

3、( )szsTD zD sTs為采樣周期為采樣周期 后向差分的近似式是后向差分的近似式是： ( )( )(1)st kTsde te ke kdtT等式左邊取拉氏變換為：等式左邊取拉氏變換為： ( )sE s等式右邊取等式右邊取Z Z變換為：變換為： 11( )(1)1( )ssE zE zzzE zTT 這樣可以得到變換關(guān)系：這樣可以得到變換關(guān)系：11szsT結(jié)論：結(jié)論：11( )( )szsTD zD sjs平面0z平面0ImRe01-1后向差分法的映射關(guān)系S平面的虛軸映射為Z平面半徑為1/2的圓 22211Re( )Im ( )22zzS左半平面的映射 2211SszTT 特點：特點：0

4、2 2、后向差分變換在、后向差分變換在從從0 時，唯一映射到半徑為時，唯一映射到半徑為1/21/2的圓上，因此沒的圓上，因此沒有出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象，但是頻率被嚴(yán)重壓縮了，不能保證頻率特性不變，變有出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象，但是頻率被嚴(yán)重壓縮了，不能保證頻率特性不變，變換精度低，工程應(yīng)用上受限制。換精度低，工程應(yīng)用上受限制。優(yōu)點優(yōu)點是簡單易做。是簡單易做。圖5-10 后向差分法的映射關(guān)系 1 1、 ( (即表示即表示S S平面左半平面平面左半平面) )，|z|1,|z|1,說明映射到說明映射到Z Z平面的單位圓內(nèi)，平面的單位圓內(nèi)，因此因此D(s)D(s)是穩(wěn)定的，經(jīng)后向差分變換后，是穩(wěn)定的，經(jīng)后向差分變換

5、后，D(z)D(z)也是穩(wěn)定的。也是穩(wěn)定的。前向差分的近似式是：前向差分的近似式是：( )(1)( )st kTsde te ke kdtT變換式為：變換式為：1szsT或者或者1szsT 結(jié)論：結(jié)論：1( )( )szsTD zD s js平面0z平面0ImRe01-1前向差分法的映射關(guān)系圖5-11前向差分變換法的映射關(guān)系 令sj則1szj T S平面的虛軸，映射到平面的虛軸，映射到Z Z平面是一平面是一條過實軸條過實軸1 1，平行于虛軸的直線，平行于虛軸的直線令sj221(1)()sssszTj TzTT 要使要使 除除 外，還要外，還要 較小時才行，較小時才行，可見這種變換會產(chǎn)生不穩(wěn)定的

6、可見這種變換會產(chǎn)生不穩(wěn)定的1z 0sT( )D z則 顯見，顯見，前向差分變換法中穩(wěn)定的前向差分變換法中穩(wěn)定的D(s)不能保證變換成穩(wěn)不能保證變換成穩(wěn)定的定的D(z)，要穩(wěn)定采樣周期縮小，要穩(wěn)定采樣周期縮小，且不能保證有相同的脈沖且不能保證有相同的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)。響應(yīng)和頻率響應(yīng)。用后向差分變換法離散用后向差分變換法離散21( )0.21D sss假設(shè)假設(shè)1sTs12111121( )( )110.210.455( )10.455( )szsTssD zD szzTTU zzzE z等效差分方程（控制算法）為：等效差分方程（控制算法）為：u(k)=0.455e(k)- u(k-1)+0.45

7、5u(k-2) 梯形面積公式逼近積分運算原理梯形面積公式逼近積分運算原理 定積分定積分 0( )( )tu te t dt兩邊求拉氏變換兩邊求拉氏變換 1( )( )U sE ss積分傳遞函數(shù)積分傳遞函數(shù) ( )1( )s)U sD sEs（ kK-1e(k-1)e(k)eu(k-1)梯形面積運算圖5-12 梯形面積運算( )(1) ( )(1)2sTu ku ke ke k求求Z變換變換 -11sTU(z)=z U(z)+ ( )( )2E zz E z積分積分Z的傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)1111( )1z1( )2 1 z( )2 1 z1zssTU zD zE zT離散化方法是：離散化方法是：

8、 1121 z1 z( )( )ssTD zD s *22ssTszTs變換式的另一種形式變換式的另一種形式設(shè)設(shè)sj則則222244()242sSSsSjTjTTzTjT 說明說明:從從0 z 的相角單調(diào)的從的相角單調(diào)的從0變換到變換到sj 2222(2)(2)ssTzTs平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z z平面的單位圓內(nèi)平面的單位圓內(nèi)結(jié)論：結(jié)論：從這樣的映射關(guān)系可以看出，如果從這樣的映射關(guān)系可以看出，如果 是穩(wěn)定的，是穩(wěn)定的，雙線性變換后雙線性變換后 也是穩(wěn)定的，并且不出現(xiàn)頻率的混疊現(xiàn)象也是穩(wěn)定的，并且不出現(xiàn)頻率的混疊現(xiàn)象( )D s( )D z設(shè)設(shè)則則 s平面的虛軸，唯一映射到平

9、面的虛軸，唯一映射到z z平面的單位圓上平面的單位圓上0,1sz21( )0.21D sss111122 1 z21 z11121211( )110.21(2)0.2(2)1110.185(12)(z)1 1.1110.852(z)ssTD zzzsszzzzUzzE等效差分方程（控制算法）為：等效差分方程（控制算法）為：u(k)=1.111u(k-1)-0.852u(k-2)+0.185e(k)+0.37e(k-1)+ 0.185e(k-2)結(jié)論：結(jié)論：連續(xù)控制器連續(xù)控制器 零點少于極點數(shù)，經(jīng)雙線性變換后，零點少于極點數(shù)，經(jīng)雙線性變換后，零、極點數(shù)相等，這點可以做如下解釋：由于雙線性變換將零

10、、極點數(shù)相等，這點可以做如下解釋：由于雙線性變換將整個整個S S平面一一對應(yīng)變換到平面一一對應(yīng)變換到Z Z平面，因此平面，因此 在無窮遠(yuǎn)處的在無窮遠(yuǎn)處的零點，經(jīng)雙線性變換后被變換到零點，經(jīng)雙線性變換后被變換到z=-1z=-1處。處。( )D s( )D s應(yīng)用：應(yīng)用：使用方便，有一定精度和好的特性，應(yīng)用較為普遍。使用方便，有一定精度和好的特性，應(yīng)用較為普遍。不需要校正穩(wěn)態(tài)增益。不需要校正穩(wěn)態(tài)增益。但高頻特性嚴(yán)重失真，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化。但高頻特性嚴(yán)重失真，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化。s 01( )( )zD sD zD(z)D(S)( ) t( ) th(t)th(kTs)t脈沖響應(yīng)不變法

11、圖圖5-8 5-8 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法()sh kT 所謂所謂脈沖響應(yīng)不變脈沖響應(yīng)不變是指所設(shè)計出的是指所設(shè)計出的D(z)其單位脈沖響應(yīng)其單位脈沖響應(yīng)與與D(s)的單位脈沖響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)h(t)的采樣值相等的采樣值相等 0( )1( )( )niiiU sD sAE ssa1111( )L inna tiiiiih tAAesa1()iSna kTsiih kTA e1101( )1iSiSnna kTkiia TikiAD zAezez ()sh kT對對D(z)求求Z Z反變換得到反變換得到 ，所以符合單位脈沖響應(yīng)不變的，所以符合單位脈沖響應(yīng)不變的條件，條件，D(z)是是D(

12、s)的離散化。這一方法實質(zhì)上是由的離散化。這一方法實質(zhì)上是由D(s)直接求直接求Z變換的方法，當(dāng)變換的方法，當(dāng)D(s)很簡單時，可以直接查很簡單時，可以直接查Z Z變換表，如果變換表，如果D(s)較復(fù)雜，則必須先用部分分式展開成可查表的形式較復(fù)雜，則必須先用部分分式展開成可查表的形式對上式求對上式求Z Z變換變換 （5-85-8）（5-75-7）21( )0.21D sss222111.005 0.995( )0.21(0.10.995 )(0.10.995 )(0.1)0.995D ssssj sjs0.110.10.222121.005sin0.9950.760.76( )( )2cos0

13、.9950.9850.8191 0.9850.819( )sssTsTTszeTzzU zD zzzeTezzzzE z查查Z變換表變換表等效差分方程（控制算法）：等效差分方程（控制算法）：u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.76e(k-1)22)(basbaTaTaTebTzezbTze22cos2sinasasD)(1( )( )( )1( )saTaU zD zD sezE z ( )( )(1)saTu kae keu k注意！兩種避免頻率混疊現(xiàn)象發(fā)生的方法注意！兩種避免頻率混疊現(xiàn)象發(fā)生的方法 采樣器前串聯(lián)低通濾波器，以衰減高頻分量 使用足夠高的采樣頻率 2

14、2特點及應(yīng)用范圍特點及應(yīng)用范圍sD(S)1sT sesD(S)1( )( )sT seDzZD ss加零階保持器的脈沖響應(yīng)不變法2.2.特點：特點：(1) D(s)是穩(wěn)定的，變換后D(z)也是穩(wěn)定的。(2) 由于零階保持器具有低通濾波特性，將使信號最大頻率低些，因此頻率混疊現(xiàn)象將比單純采用脈沖響應(yīng)不變法要有所改善。(3) 零階保持器的引入將帶來相位滯后，故穩(wěn)定裕度要差些。 圖圖5-9 加加零階保持器的脈沖響應(yīng)不變法零階保持器的脈沖響應(yīng)不變法21( )0.21D sss1222221111121212121110.10.995(z) Z (1)Z0.10.21(0.1)0.995(0.1)0.9

15、9511 0.49230.763(1)11 0.9850.8191 0.9850.8190.4310.403(1 0.9850.819sTsesDzsssssszzzzzzzzzzUzz )( )zE z等效差分方程（控制算法）等效差分方程（控制算法）: : u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.431e(k-1)+0.403e(k-2)經(jīng)雙線性變換后，模擬頻率與離散頻率兩者之間存在著非線性關(guān)系sjSjTZe將將 帶入雙線性變換式：帶入雙線性變換式：22222222222222222 121222.2sin22cos2TTTTjjjjsssssTTTTjjjjsssss

16、TTjjssTTjjssTTTTjjjjssssTjTjssssssseeeeejTeTeeeeeejeejTTeeeeTjTT22ssTjtgT與與之間的非線之間的非線性性關(guān)系式關(guān)系式22ssTtgT 2sT2sTsTw與w之間的非線性關(guān)系圖5-13 之間的非線性關(guān)系 22ssTtgTsT0sT假設(shè)假設(shè)0( )1sD s 當(dāng)考慮頻率響應(yīng)時，將當(dāng)考慮頻率響應(yīng)時，將sj代入代入0()1jD j在臨界頻率在臨界頻率0 處有處有()1D jj 將將( )D s中的中的0變換成變換成002*2SsTtgT則則0( )122SssD sTtgT再再實施實施雙線雙線性性變換，變換，代入代入112 1 z1

17、zssT0012 1()1212121222SSSjTjTjTSssSSsseD eTTetgTTtgTTtgT當(dāng)當(dāng)00()1SjTD ej保證了臨界頻率保證了臨界頻率0處處( )D s與與( )D z有相同的特性有相同的特性 將所期望的極點和零點（將所期望的極點和零點（s+a）,以以a代替代替as0s2*2*TatgTsasa2. 2. 將將D(s, a)變換成變換成D(z,a)D(z,a)112 1 z1 z( , )( , *)ssTD z aD s a3. 3. 調(diào)整增益，因為頻率預(yù)畸變之后。零極點挪動，直流調(diào)整增益，因為頻率預(yù)畸變之后。零極點挪動，直流增益發(fā)生了變化，所以必須保證變化

18、前后直流增益不變出增益發(fā)生了變化，所以必須保證變化前后直流增益不變出發(fā)，進(jìn)行增益調(diào)整。發(fā)，進(jìn)行增益調(diào)整。10( )( )zsD zD s例例4-5已知已知21( )0.21D sssTs=1s( )D s的臨界頻率的臨界頻率1/nrad s用頻率預(yù)畸變的雙線性變換法變換成用頻率預(yù)畸變的雙線性變換法變換成D(z)D(z) 1）進(jìn)行頻率預(yù)畸變進(jìn)行頻率預(yù)畸變s2*1.0932nnsTtgT2222211( )( ,*)20.2*10.2191.195nnnnnD sD sssssss2 2） 對對 進(jìn)行雙線性變換進(jìn)行雙線性變換( ,*)nD s11112 121111212( ,)( ,*)114(

19、)0.21921.195110.178 (1)10.9960.827snnzsTzkD zD szzzzkzzz令令10( )( )zsD zD s20.178 (1 1)11 0.9960.827k1.17k 等效差分方程等效差分方程( (控制算法控制算法):):( ) 0.996 (1) 0.827 (2) 0.208 ( ) 0.416 (1) 0.208 (2)u ku ku ke ke ke k 21212121827. 0996. 01208. 0416. 0208. 0827. 0996. 01)1 (178. 017. 1)(zzzzzzzkzD5.3.6 極點零點對應(yīng)法極點零點對應(yīng)法 將s平面的零點或極點用ssTze關(guān)系映射到Z平面上可以定義為下列變換關(guān)系：1s1( )( )aTs azeD z def D s 對于復(fù)數(shù)極點或零點ss212()()12cos()aTaTSSajb Sajbz ebTez 1 同一個同一個( )D s用極點零點對應(yīng)法和脈沖響應(yīng)不變法變換后的用極點零點對應(yīng)法和脈沖響應(yīng)不變法變換后的( )D z極點相同而零點不同。極點相同而零點不同。