第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯

1、第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度分布圖示 引例 數(shù)量場與向量場的概念 方向?qū)?shù)的概念 例1 例2 例3 例4 例5 梯度的概念 例6 例7 例8 梯度的運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用（例9） 例10 等高線及其畫法 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題97 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、場的概念： 數(shù)量場 向量場 穩(wěn)定場 不穩(wěn)定場 二、方向?qū)?shù) 定理1 如果函數(shù)在點(diǎn)是可微分的，則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在，且 （7.1）其中為x軸正向到方向l的轉(zhuǎn)角（圖8-7-2）. 三、梯度的概念：函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量, 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度運(yùn)算滿足以下運(yùn)算法則：設(shè)可微，為常數(shù)，則（1

2、） gradgrad grad ;（2） grad grad grad ;（3） grad grad . 四、等高線的概念例題選講 方向?qū)?shù)例1（E01）求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù).解 這里方向即為故軸到方向的轉(zhuǎn)角所求方向?qū)?shù)例2 求函數(shù)在點(diǎn)沿與軸方向夾角為的方向射線的方向?qū)?shù). 并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?解 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知故(1) 當(dāng)時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最大值(2) 當(dāng)時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最小值(3) 當(dāng)和時(shí)，方向?qū)?shù)等于0.例3（E02）求函數(shù)在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)A指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù).解 這里為的方向, 向量的方

3、向余弦為又所以 于是 例4 求在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù), 其中的方向角分別為60, 45, 60.解 與同向的單位向量因?yàn)楹瘮?shù)可微分,且故 例5（E03）設(shè)是曲面在處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在此處方向的方向?qū)?shù).解 令故 方向余弦為所以 例6（E04）(1) 求 (2) 設(shè), 求.解 (1)這里因?yàn)?所以 (2)于是 例7 求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度, 并問在哪些點(diǎn)處梯度為零?解 由梯度計(jì)算公式得故在處梯度為例8（E05）求函數(shù)在點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？最大值是多少.解 由得從而于是在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)最大,最大值是例9（E07） 設(shè)為可微函數(shù),求解 由上述公式(3)知grad grad 因?yàn)樗詆rad 注:利用場得概念，我們可以說向量函數(shù)grad確定了一個(gè)向量場梯度場，它是由數(shù)量場產(chǎn)生的. 通常稱函數(shù)為這個(gè)向量場的勢，而這個(gè)向量場又稱為勢場.必須注意，任意一個(gè)向量場不一定勢勢場，因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場.例10（E06）試求數(shù)量場所產(chǎn)生的梯度場, 其中常數(shù) 為原點(diǎn)O與點(diǎn)間的距離.解 同理從而 如果用表示與同方向的單位向量,則 上式右端在力學(xué)上可解析為, 位于原點(diǎn)而質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于點(diǎn)而質(zhì)量為 1 的質(zhì)點(diǎn)的引力.該引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距離平方成反比,該引力的方向由