立體幾何大題練習(xí)文科

1、立體幾何大題練習(xí)（文科）：1如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90，AD=SD，BC=CD=，側(cè)面SAD底面ABCD（1）求證：平面SBD平面SAD；（2）若SDA=120，且三棱錐SBCD的體積為，求側(cè)面SAB的面積【分析】（1）由梯形ABCD，設(shè)BC=a，則CD=a，AB=2a，運用勾股定理和余弦定理，可得AD，由線面垂直的判定定理可得BD平面SAD，運用面面垂直的判定定理即可得證；（2）運用面面垂直的性質(zhì)定理，以及三棱錐的體積公式，求得BC=1，運用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，運用三角形的面積公式，即可得到所求值【解答】（1）證明：在梯形ABCD中

2、，ABDC，ABC=90，BC=CD=，設(shè)BC=a，則CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，BCD=90，可得BD=a，CBD=45，ABD=45，由余弦定理可得AD=a，則BDAD，由面SAD底面ABCD可得BD平面SAD，又BD平面SBD，可得平面SBD平面SAD；（2）解：SDA=120，且三棱錐SBCD的體積為，由AD=SD=a，在SAD中，可得SA=2SDsin60=a，SAD的邊AD上的高SH=SDsin60=a，由SH平面BCD，可得aa2=，解得a=1，由BD平面SAD，可得BDSD，SB=2a，又AB=2a，在等腰三角形SBA中，邊SA上的高為=a，則SAB的面積為SA

3、a=a=【點評】本題考查面面垂直的判定定理的運用，注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查三棱錐的體積公式的運用，以及推理能力和空間想象能力，屬于中檔題2如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EFAD求證：（1）EF平面ABC；（2）ADAC【分析】（1）利用ABEF及線面平行判定定理可得結(jié)論；（2）通過取線段CD上點G，連結(jié)FG、EG使得FGBC，則EGAC，利用線面垂直的性質(zhì)定理可知FGAD，結(jié)合線面垂直的判定定理可知AD平面EFG，從而可得結(jié)論【解答】證明：（1）因為ABAD，EFAD，且A、B、E、F四點共面，所以ABEF

4、，又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以由線面平行判定定理可知：EF平面ABC；（2）在線段CD上取點G，連結(jié)FG、EG使得FGBC，則EGAC，因為BCBD，F(xiàn)GBC，所以FGBD，又因為平面ABD平面BCD，所以FG平面ABD，所以FGAD，又因為ADEF，且EFFG=F，所以AD平面EFG，所以ADEG，故ADAC【點評】本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化思想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題3如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，ACCB，點M和N分別是B1C1和BC的中點（1）求證：MB平面A

5、C1N；（2）求證：ACMB【分析】（1）證明MC1NB為平行四邊形，所以C1NMB，即可證明MB平面AC1N；（2）證明AC平面BCC1B1，即可證明ACMB【解答】證明：（1）證明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因為點M，N分別是B1C1，BC的中點，所以C1MBN，C1M=BN所以MC1NB為平行四邊形所以C1NMB因為C1N平面AC1N，MB平面AC1N，所以MB平面AC1N；（2）因為CC1底面ABC，所以ACCC1因為ACBC，BCCC1=C，所以AC平面BCC1B1因為MB平面BCC1B1，所以ACMB【點評】本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題

6、的能力，屬于中檔題4如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD|BC，PD底面ABCD，ADC=90，AD=2BC，Q為AD的中點，M為棱PC的中點（）證明：PA平面BMQ；（）已知PD=DC=AD=2，求點P到平面BMQ的距離【分析】（1）連結(jié)AC交BQ于N，連結(jié)MN，只要證明MNPA，利用線面平行的判定定理可證；（2）由（1）可知，PA平面BMQ，所以點P到平面BMQ的距離等于點A到平面BMQ的距離【解答】解：（1）連結(jié)AC交BQ于N，連結(jié)MN，因為ADC=90，Q為AD的中點，所以N為AC的中點（2分）當(dāng)M為PC的中點，即PM=MC時，MN為PAC的中位線，故MNPA，又M

7、N平面BMQ，所以PA平面BMQ（5分）（2）由（1）可知，PA平面BMQ，所以點P到平面BMQ的距離等于點A到平面BMQ的距離，所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ，取CD的中點K，連結(jié)MK，所以MKPD，（7分）又PD底面ABCD，所以MK底面ABCD又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，（10分）所以VPBMQ=VABMQ=VMABQ=.，（11分）則點P到平面BMQ的距離d=（12分）【點評】本題考查了線面平行的判定定理的運用以及利用三棱錐的體積求點到直線的距離5如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分別是AB，AC的中點（1）求證：B1C1平面A1DE；（2）

8、求證：平面A1DE平面ACC1A1【分析】（1）證明B1C1DE，即可證明B1C1平面A1DE；（2）證明DE平面ACC1A1，即可證明平面A1DE平面ACC1A1【解答】證明：（1）因為D，E分別是AB，AC的中點，所以DEBC，（2分）又因為在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE（4分）又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE（6分）（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE（8分）又BCAC，DEBC，所以DEAC，（10分）又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1AC=C，所以DE平面ACC1

9、A1（12分）又DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1（14分）【點評】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題6在四棱錐PABCD中，PC底面ABCD，M，N分別是PD，PA的中點，ACAD，ACD=ACB=60，PC=AC（1）求證：PA平面CMN；（2）求證：AM平面PBC【分析】（1）推導(dǎo)出MNAD，PCAD，ADAC，從而AD平面PAC，進而ADPA，MNPA，再由CNPA，能證明PA平面CMN（2）取CD的中點為Q，連結(jié)MQ、AQ，推導(dǎo)出MQPC，從而MQ平面PBC，再求出AQ平面，從而平面AMQ平面PCB，由此能證明AM平面P

10、BC【解答】證明：（1）M，N分別為PD、PA的中點，MN為PAD的中位線，MNAD，PC底面ABCD，AD平面ABCD，PCAD，又ADAC，PCAC=C，AD平面PAC，ADPA，MNPA，又PC=AC，N為PA的中點，CNPA，MNCN=N，MN平面CMN，CM平面CMN，PA平面CMN解（2）取CD的中點為Q，連結(jié)MQ、AQ，MQ是PCD的中位線，MQPC，又PC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC，ADAC，ACD=60，ADC=30DAQ=ADC=30，QAC=ACQ=60，ACB=60，AQBC，AQ平面PBC，BC平面PBC，AQ平面PBC，MQAQ=Q，平面AMQ平面P

11、CB，AM平面AMQ，AM平面PBC【點評】本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題7如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分別為PC、BD的中點（1）求證：EF平面PAD；（2）求證：面PAB平面PDC【分析】（1）連接AC，則F是AC的中點，E為PC 的中點，證明EFPA，利用直線與平面平行的判定定理證明EF平面PAD；（2）先證明CDPA，然后證明PAPD利用直線與平面垂直的判定定

12、理證明PA平面PCD，最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到面PAB面PDC【解答】證明：（1）連接AC，由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于BD的中點F，F(xiàn)也為AC中點，E為PC中點所以在CPA中，EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD；（2）平面PAD平面ABCD平面PAD面ABCD=ADCD平面PADCDPA正方形ABCD中CDADPA平面PADCD平面ABCD又，所以PA2+PD2=AD2所以PAD是等腰直角三角形，且，即PAPD因為CDPD=D，且CD、PD面PDC所以PA面PDC又PA面PAB，所以面PAB面PDC【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平

13、行的判定的應(yīng)用，考查邏輯推理能力8如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為菱形，且PA=AD=2，BD=2，E、F分別為AD、PC中點（1）求點F到平面PAB的距離；（2）求證：平面PCE平面PBC【分析】（1）取PB的中點G，連接FG、AG，證得底面ABCD為正方形再由中位線定理可得FGAE且FG=AE，四邊形AEFG是平行四邊形，則AGFE，運用線面平行的判定定理可得EF平面PAB，點F與點E到平面PAB的距離相等，運用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得AD平面PAB，即可得到所求距離；（2）運用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得BC平面PAB，EF平面PBC，再由面面垂直的判定定理，

14、即可得證【解答】（1）解：如圖，取PB的中點G，連接FG、AG，因為底面ABCD為菱形，且PA=AD=2，所以底面ABCD為正方形E、F分別為AD、PC中點，F(xiàn)GBC，AEBC，F(xiàn)GAE且FG=AE，四邊形AEFG是平行四邊形，AGFE，AG平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB，點F與點E到平面PAB的距離相等，由PA平面ABCD，可得PAAD，又ADAB，PAAB=A，AD平面PAB，則點F到平面PAB的距離為EA=1（2）證明：由（1）知AGPB，AGEF，PA平面ABCD，BCPA，BCAB，ABBC=B，BC平面PAB，由AG平面PAB，BCAG，又PBBC=B，AG平面PBC，

15、EF平面PBC，EF平面PCE，平面PCE平面PBC【點評】本題考查空間點到平面的距離，注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查線面平行和垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定，熟練掌握定理的條件和結(jié)論是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題9在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，BAD=ADC=90，DC=2AB=2AD，BCPD，E，F(xiàn)分別是PB，BC的中點求證：（1）PC平面DEF； （2）平面PBC平面PBD【分析】（1）由中位線定理可得PCEF，故而PC平面DEF；（2）由直角梯形可得BCBD，結(jié)合BCPD得出BC平面PBD，于是平面PBC平面PBD【解答】證明：（1）E，F(xiàn)分別是PB，BC的中點，PCEF，又

16、PC平面DEF，EF平面DEF，PC平面DEF（2）取CD的中點M，連結(jié)BM，則ABDM，又ADAB，AB=AD，四邊形ABMD是正方形，BMCD，BM=CM=DM=1，BD=，BC=，BD2+BC2=CD2，BCBD，又BCPD，BDPD=D，BC平面PBD，又BC平面PBC，平面PBC平面PBD【點評】本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題10如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，且BD平面AEF（1）求證：EF平ABD面；（2）若AE平面BCD，BDCD，求證：平面AEF平面ACD【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)可得BDEF，從而得出EF平面ABD；（2）由AE平