第三章中值定理

1、第三章 中值定理問題1：下面解題方法對(duì)嗎？（1）；（2）不存在. 答： 均為錯(cuò)誤.（1） 因?yàn)椴皇俏炊ㄊ?，不能用洛必達(dá)法則，正確解法應(yīng)為，（2） 不滿足洛必達(dá)法則的條件。正確解法應(yīng)為（）.說明：洛必達(dá)法則只是充分條件，它不是萬能的.問題2：用下述方法證明柯西定理，對(duì)嗎？證：因?yàn)榫谏蠞M足拉格定理中值定理?xiàng)l件，故存在，使得，且，兩式相除，得答：不正確.因?yàn)榉謩e對(duì)，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理得到的未必是同一個(gè)，應(yīng)為不同的，分別設(shè)為，則得到的等式應(yīng)該是 而得不到上述結(jié)論.問題3：如果在取得極值，是否必有？分析 不一定.因?yàn)楹瘮?shù)還可以在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)取得極值.問題4：如果可導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時(shí)，有，則當(dāng)，有，該結(jié)

2、論正確嗎？答：不對(duì).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，只能說明當(dāng)時(shí)是單調(diào)增加的，不能保證，例如，當(dāng)時(shí)，但當(dāng)時(shí)，.問題5 ：證明方程根的存在性和唯一性的常用方法有哪些？ 答：證明方程的根的存在問題，可轉(zhuǎn)化為以下兩種情況： 構(gòu)造函數(shù)，求的零點(diǎn)問題，借助于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理.（見例3） 構(gòu)造函數(shù)，使，借助于羅爾定理證明根的存在性（例4）.證明根的惟一性，常用函數(shù)的單調(diào)性或用反證法利用中值定理完成.問題6：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法有哪些？答：常用的有：（1） 利用拉格朗日中值定理，（2） 利用函數(shù)的單調(diào)性，（3） 利用泰勒公式， （4） 利用函數(shù)的最大最小值，（5） 利用函數(shù)圖形的凹凸性.其中利用單調(diào)性證明的方法

3、用得較多.利用上述方法證明不等式，首先要對(duì)不等式做適當(dāng)?shù)淖冃?，并選擇輔助函數(shù).例1利用拉格朗日中值定理證明不等式 分析 把不等式變形為可見中項(xiàng)是函數(shù)在區(qū)間上的增量，而是該區(qū)間的長(zhǎng)度，于是可對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理.證明 設(shè)則，在上應(yīng)用于拉格朗日中值定理，有因?yàn)椋?，同乘，得? 利用函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng)時(shí)，.證 令，則在上連續(xù)，且，當(dāng)時(shí)，故 所以在內(nèi)單調(diào)增加，因此，.即（）例3 利用泰勒公式，證明：當(dāng)時(shí)，分析 如果不等式是一個(gè)復(fù)雜函數(shù)與多項(xiàng)式的大小關(guān)系，可將這個(gè)復(fù)雜函數(shù)用泰勒公式表示，比較其大小.證明 設(shè)，則. ， ，所以有二階泰勒公式，有 當(dāng)時(shí)，余項(xiàng)所以 例4 利用函數(shù)的最值證明不等

4、式 分析 設(shè)是函數(shù)在區(qū)間上的最小值，則當(dāng)時(shí)，有，要證不等式，只需證明在區(qū)間上的最小值即可.證明 令 ，由得駐點(diǎn).又，所以，故是在內(nèi)惟一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故在內(nèi)有即 該題也可用如下其他方法證明.證法一 利用拉格朗日中值定理令，在上用拉格朗日中值定理，有，得 即在上用拉格朗日中值定理，有，但，得 即.證法二、利用單調(diào)性令，則 由得駐點(diǎn).當(dāng)時(shí)，知單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，知單調(diào)遞增.所以是最小值，又，即證法三、利用泰勒公式取，令，由一階泰勒公式，有，即.例5 利用圖形凹凸性證明：當(dāng)時(shí)，有不等式 等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立. 分析 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，若恒有稱在上圖形是凹的.若恒有稱在上圖形是凸的.將不等式兩邊同除以2，變形為 可以看出，左邊是函數(shù)在處的函數(shù)值，而右邊是它在兩