示范 解三角形的進(jìn)一步討論

1、1.1.3解三角形的進(jìn)一步討論從容說(shuō)課本節(jié)課中，應(yīng)先通過(guò)分析典型例題，幫助學(xué)生理解并掌握正弦定理和余弦定理；應(yīng)指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然但解題的時(shí)候，應(yīng)有最佳選擇教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)，列表如下：解斜三角形時(shí)可用的定理和公式適用類(lèi)型備注余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=b2+a2-2bacosC（1）已知三邊（2）已知兩邊及其夾角類(lèi)型（1）（2）有解時(shí)只有一解正弦定理（3）已知兩角和一邊（4）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角類(lèi)型（3）在有解時(shí)只有

2、一解，類(lèi)型（4）可有兩解、一解或無(wú)解三角形面積公式（5）已知兩邊及其夾角同時(shí)應(yīng)指出，在解斜三角形問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要利用正弦、余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化的主要途徑有兩條：（1）化邊為角，然后通過(guò)三角變換找出角與角之間的關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題；（2）化角為邊，將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題加以解決一般地，當(dāng)已知三角形三邊或三邊數(shù)量關(guān)系時(shí)，常用余弦定理；若既有角的條件，又有邊的條件，通常利用正弦定理或余弦定理，將邊化為角的關(guān)系，利用三角函數(shù)公式求解較為簡(jiǎn)便總之，關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用定理及公式教學(xué)重點(diǎn)1.在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積

3、定理的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)1.利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向;2.三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的尋求；3.正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用教具準(zhǔn)備 投影儀、幻燈片第一張:課題引入圖片(記作113A)正弦定理:；余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC，, ,.第二張:例3、例4(記作113B) 例3已知ABC, BD為角B的平分線(xiàn),求證: ABBCADDC. 例4在ABC中,求證:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.第三張:例5(記作113C) 例5在ABC中,bcosA=acosB,試判斷

4、三角形的形狀.三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應(yīng)用二、過(guò)程與方法通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個(gè)典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問(wèn)題三、情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)正、余弦定理，在解三角形問(wèn)題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課師 前面兩節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的內(nèi)容,并且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關(guān)題型.下面,

5、我們先來(lái)回顧一下正、余弦定理的內(nèi)容 (給出幻燈片1.1.3A).從幻燈片大體可以看出,正弦定理、余弦定理實(shí)質(zhì)上反映了三角形內(nèi)的邊角關(guān)系,運(yùn)用定理可以進(jìn)行邊與角之間的轉(zhuǎn)換,這一節(jié),我們將通過(guò)例題分析來(lái)學(xué)習(xí)正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在判斷三角形形狀和證明三角恒等式時(shí)的應(yīng)用.推進(jìn)新課思考：在ABC中，已知A=22cm，B=25cm,A=133°，解三角形（由學(xué)生閱讀課本第9頁(yè)解答過(guò)程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形下面進(jìn)一步來(lái)研究這種情形下解三角形的問(wèn)題【例1】在ABC中，已知A,B,A，討論三角形解的情況.師 分析：先由可

6、進(jìn)一步求出B；則C =180°-(A+B),從而.一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，有兩解、一解、無(wú)解三種情況1.當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須ab才能有且只有一解；否則無(wú)解2.當(dāng)A為銳角時(shí)，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來(lái)討論：（1）若absinA，則有兩解；（2）若a=bsinA，則只有一解；（3）若absinA，則無(wú)解（以上解答過(guò)程詳見(jiàn)課本第9到第10頁(yè)）師 注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且bsinAab時(shí)，有兩解；其他情況時(shí)則只有一解或無(wú)解（1）A為直角或鈍角（2）A為銳角【例2】在ABC中，已知a =7,b=5,

7、c =3，判斷ABC的類(lèi)型分析：由余弦定理可知a2=b2+c2A是直角ABC是直角三角形，a2b2+c2A是鈍角ABC是鈍角三角形，a2b2+cA是銳角/ABC是銳角三角形。（注意：A是銳角/ ABC是銳角三角形 ）解：7252+32,即a2b2+c2，ABC是鈍角三角形 教師精講1利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類(lèi)解斜三角形問(wèn)題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）2正弦定理，可以用來(lái)判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化例如：在判斷三角形形狀時(shí)，經(jīng)常把a(bǔ)、b、c分別用2RsinA、2RsinB、

8、2RsinC來(lái)代替3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判斷三角形的形狀，它的主要功能是實(shí)現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化（1）已知三邊，求三個(gè)角（2）已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角4用方程的思想理解和運(yùn)用余弦定理，當(dāng)?shù)仁絘2=b2+c2-2bccosA中含有未知數(shù)時(shí)，這便成為方程，式中有四個(gè)量，知道三個(gè)，便可以解出另一個(gè)，運(yùn)用此式可以求A或B或C或cosA師 下面,我們來(lái)看幻燈片上的例題.(給出幻燈片B)例題剖析【例3】分析：前面接觸的解三角形問(wèn)題是在一個(gè)三角形內(nèi)研究問(wèn)題,而角B的平分線(xiàn)BD將ABC分成了兩個(gè)三角形：ABD與CBD,故要證結(jié)論成立,可證明它的等價(jià)形式: ABBCADDC,從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化

9、到兩個(gè)三角形內(nèi),而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比,故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為,再根據(jù)相等角正弦值相等,互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明:在ABD內(nèi),利用正弦定理得,即,在BCD內(nèi),利用正弦定理得,即,BD是角B的平分線(xiàn),ABD=DBCsinABD=sinDBC.ADB+BDC=180°,sinADB=sin(180°-BDC)=sinBDC.評(píng)述:此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用.例題剖析【例4】分析:此題所證結(jié)論包含關(guān)于ABC的邊角關(guān)系,證明時(shí)可以考慮兩種途徑:一是把角的關(guān)系通過(guò)正弦定理

10、轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,若是余弦形式則通過(guò)余弦定理;二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,一般是通過(guò)正弦定理.另外,此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式,如sin2B=2sinbcosB等,以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.證明一: (化為三角函數(shù))a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2·2sinB·COsB+(2RsinB)2·2sinA·cosA=8R2sinA·sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinasinbsinC =2·2RsinA·2RsinB·sinC=2absinC

11、.所以原式得證.證明二: (化為邊的等式)左邊=A2·2sinBcosB+B2·2sinAcosA= = 教師精講由邊向角轉(zhuǎn)化,通常利用正弦定理的變形式:A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后,要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用,在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA·cosA,正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinB;由角向邊轉(zhuǎn)化,要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.三角形的有關(guān)證明問(wèn)題,主要圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)展開(kāi),從某種意義上來(lái)看,這類(lèi)問(wèn)題就是有了目標(biāo)的含邊和角

12、的式子的化簡(jiǎn)問(wèn)題.【例5】分析:三角形形狀的判斷,可以根據(jù)角的關(guān)系,也可根據(jù)邊的關(guān)系,所以在已知條件的運(yùn)用上,可以考慮兩種途徑,將邊轉(zhuǎn)化為角,將角轉(zhuǎn)化為邊,下面,我們從這兩個(gè)角度進(jìn)行分析. 解法一:利用余弦定理將角化為邊.bcosA=acosB,.b2+c2-a2=a2+c2-b2.a2=b2.a=b.故此三角形是等腰三角形.解法二:利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.bcosA=acosB,又B=2RsinB，A=2RsinA,2RsinbcosA=2RsinAcosB.sinAcosB-cosAsinB=0.sin(A-B)=0.0A,B,-A-B.A-B=0,即A=B.故此三角形是等腰三角形.評(píng)述

13、: (1)在判定三角形形狀時(shí),一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形,一個(gè)方向是邊,走代數(shù)變形之路,通常是正、余弦定理結(jié)合使用;另一方向是角,走三角變形之路,通常是運(yùn)用正弦定理.要求學(xué)生要注重邊角轉(zhuǎn)化的橋梁正、余弦定理.(2)解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式,但應(yīng)注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí),一定要先確定角的范圍.另外,也可運(yùn)用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系,在等式sinBcosA=sinAcosB兩端同除以sinAsinB,得cotA=cotB,再由0A,B,而得A=B.課堂小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),我們熟悉了正、余弦定理在進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換時(shí)的橋梁作用,并利用正、余弦定理對(duì)三角恒等式進(jìn)行證明以及對(duì)三角形形狀進(jìn)行判斷,其中,要求大家重點(diǎn)體會(huì)正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能.（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；（2）三角形形狀的判定方法.布置作業(yè)1.在ABC中,已知,求證: a2、b2、c2成等差數(shù)列.證明: 由已知得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B),cos2B-cos2C=cos2A-cos2B,2cos2B=coOs2A+cos2C,2·=2sin2B=sin2A+sin2C.由正弦定理,可得2b2=a2+c2,即a2、b2、c2成等差數(shù)列.2.在ABC中,A=30°,cosB=2sinB-3sinC.(1