笛卡兒坐標(biāo)系

1、 笛卡兒坐標(biāo)系維基百科，自由的百科全書圖 1 - 紅色的圓圈，半徑是 2 ，圓心位于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。圓圈的公式為 。在數(shù)學(xué)里，笛卡兒坐標(biāo)系，也稱直角坐標(biāo)系，是一種正交坐標(biāo)系。參閱圖 1 ，二維的直角坐標(biāo)系是由兩條相互垂直、0 點(diǎn)重合的數(shù)軸構(gòu)成的。在平面內(nèi)，任何一點(diǎn)的坐標(biāo) 是根據(jù)數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)定的。在平面內(nèi)，任何一點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，類似于數(shù)軸上點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系。采用直角坐標(biāo)，幾何形狀可以用代數(shù)公式明確的表達(dá)出來。幾何形狀的每一個點(diǎn)的直角坐標(biāo)必須遵守這代數(shù)公式。例如，一個圓圈，半徑是 2 ，圓心位于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。圓圈可以用公式表達(dá)為 。歷史笛卡兒坐標(biāo)系是由法國數(shù)學(xué)家笛卡

2、兒創(chuàng)建的。1637年，笛卡兒發(fā)表了巨作方法論(Discours de la méthode) 。這本專門研究與討論西方治學(xué)方法的書，提供了許多正確的見解與良好的建議，對于未來的西方學(xué)術(shù)發(fā)展，有很大的貢獻(xiàn)。為了顯示新方法的優(yōu)點(diǎn)與果效，以及對他個人在科學(xué)研究方面的幫助，在方法論的附錄中，他增添了另外一本書幾何。有關(guān)笛卡兒坐標(biāo)系的研究，就是出現(xiàn)于幾何這本書內(nèi)。笛卡兒在坐標(biāo)系這方面的研究結(jié)合了代數(shù)與歐幾里德幾何，對于后來解析幾何、微積分、與地圖學(xué)的建樹，具有關(guān)鍵的開導(dǎo)力。二維坐標(biāo)系統(tǒng)圖 2 - 直角坐標(biāo)系。圖中四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，綠點(diǎn)： ，紅點(diǎn)： ，藍(lán)點(diǎn)： ，紫點(diǎn)： 。圖 3 - 直角坐標(biāo)系的

3、四個象限，按照逆時針方向，從象限 到象限 。坐標(biāo)軸的頭部象征著，往所指的方向，無限的延伸。參閱圖 2 ，二維的直角坐標(biāo)系通常由兩個互相垂直的坐標(biāo)軸設(shè)定。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的坐標(biāo)軸，決定了一個平面，稱為 xy-平面，又稱為笛卡兒平面。通常，橫軸稱為 x-軸?？v軸稱為 y-軸。兩個坐標(biāo)軸的相交點(diǎn)，稱為原點(diǎn)，通常標(biāo)記為 O 。為了要知道坐標(biāo)軸的任何一點(diǎn)，離原點(diǎn)的距離。假設(shè)，我們可以刻畫數(shù)值于坐標(biāo)軸。那么，從原點(diǎn)開始，往坐標(biāo)軸所指的方向，每隔一個單位長度，就刻畫數(shù)值于坐標(biāo)軸。這數(shù)值是刻畫的次數(shù)，也是離原點(diǎn)的正值整數(shù)距離；同樣地，背著坐標(biāo)軸所指的方向，我們也可以刻畫出離原點(diǎn)的負(fù)值

4、整數(shù)距離。稱 x-軸刻畫的數(shù)值為 x-坐標(biāo)，又稱橫坐標(biāo)，稱 y-軸刻畫的數(shù)值為 y-坐標(biāo)，又稱縱坐標(biāo)。雖然，在這里，這兩個坐標(biāo)都是整數(shù)，對應(yīng)于坐標(biāo)軸特定的點(diǎn)。按照比例，我們可以推廣至實(shí)數(shù)坐標(biāo)和其所對應(yīng)的坐標(biāo)軸的每一個點(diǎn)。這兩個坐標(biāo)就是直角坐標(biāo)系的直角坐標(biāo)，標(biāo)記為 。任何一個點(diǎn) P 在平面的位置，可以用直角坐標(biāo)來獨(dú)特表達(dá)。只要從點(diǎn) P 畫一條垂直于 x-軸的直線。從這條直線與 x-軸的相交點(diǎn)，可以找到點(diǎn) P 的 x-坐標(biāo)。同樣地，可以找到點(diǎn) P 的 y-坐標(biāo)。這樣，我們可以得到點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)。例如，參閱圖 3 ，點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)是 。直角坐標(biāo)系也可以推廣至三維空間與高維空間 (higher

5、 dimension) 。參閱圖 3 ，直角坐標(biāo)系的兩個坐標(biāo)軸將平面分成了四個部分，稱為象限，分別用羅馬數(shù)字編號為 ， ， ， 。依照慣例，象限 的兩個坐標(biāo)都是正值；象限 的 x-坐標(biāo)是負(fù)值， y-坐標(biāo)是正值；象限 的兩個坐標(biāo)都是負(fù)值的；象限 的 x-坐標(biāo)是正值， y-坐標(biāo)是負(fù)值。所以，象限的編號是按照逆時針方向，從象限 編到象限 。三維坐標(biāo)系統(tǒng)圖 4 - 直角坐標(biāo)系的幾個坐標(biāo)曲面。紅色平面的 。黃色平面的 。藍(lán)色平面的 。z-軸是垂直的，以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標(biāo)曲面相交于點(diǎn) P （以黑色的圓球表示），直角坐標(biāo)大約為 。圖 5 - 三維直角坐標(biāo)系。y-軸的方向是遠(yuǎn)離讀者。圖 6

6、- 三維直角坐標(biāo)系。x-軸的方向是親近讀者。在原本的二維直角坐標(biāo)系，再添加一個垂直于 x-軸，y-軸的坐標(biāo)軸，稱為 z-軸。假若，這三個坐標(biāo)軸滿足右手定則，則可得到三維的直角坐標(biāo)系。這 z-軸與 x-軸，y-軸相互正交于原點(diǎn)。在三維空間的任何一點(diǎn) P ，可以用直角坐標(biāo) 來表達(dá)其位置。例如，參閱圖 5 ，兩個點(diǎn) P 與 Q 的直角坐標(biāo)分別為 與 。三個平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，將三維空間分成了八個部分，稱為卦限 (octant) 。與二維空間的四個象限不同，只有一個卦限有編號。第一號卦限的每一個點(diǎn)的三個坐標(biāo)都是正值的。取向二維空間直角坐標(biāo)系的 x-軸與 y-軸必須相互垂直。稱包含

7、 y-軸的直線為 y-線。在二維空間里，當(dāng)我們設(shè)定了 x-軸的位置與方向的同時，我們也設(shè)定了 y-線的方向?？墒?，我們?nèi)耘f必須選擇，在 y-線的以原點(diǎn)為共同點(diǎn)的兩條半線中，那一條半線的點(diǎn)的坐標(biāo)是正值的，那一條是負(fù)值的？任何一種選擇決定了 xy-平面的取向。參閱圖 1 。通常，我們選擇的取向是，正值的 x-軸橫地指向右方，正值的 y-軸縱地指向上方。這種取向稱為正值取向，標(biāo)準(zhǔn)取向，或右手取向。右手定則是一種常用的記憶方法，專門用來辨認(rèn)正值取向：將一只半握拳的右手放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都從 x-軸指向 y-軸。另外一種取向，采用左手定則，專門用來辨認(rèn)負(fù)值取向，或左手取向：將一只

8、半握拳的左手放在 xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都從 y-軸指向 x-軸。不論坐標(biāo)軸是何種取向，將坐標(biāo)系統(tǒng)做任何角度的旋轉(zhuǎn)，取向仍舊會保持不變。三維空間圖 7 - 右手定則。圖 8 左邊是左手取向，右邊是右手取向。直角坐標(biāo)系的 x-軸，y-軸，與 z-軸必須相互垂直。稱包含 z-軸的直線為 z-線。在三維空間里，當(dāng)我們設(shè)定了 x-軸，y-軸的位置與方向的同時，我們也設(shè)定了 z-線的方向?？墒?，我們?nèi)耘f必須選擇，在 z-線以原點(diǎn)為共同點(diǎn)的兩條半線中，那一條半線的點(diǎn)的坐標(biāo)是正值的，那一條是負(fù)值的？這兩種不同的坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為右手坐標(biāo)系與左手坐標(biāo)系。右手坐標(biāo)系又稱為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，或正值坐標(biāo)系。右手坐標(biāo)系這名詞是由右手定則而來的。先將右手的手掌與手指伸直。然后，將中指指向往手掌的掌面半空間，與食指呈直角關(guān)系。再將大拇指往上指去，與中指，食指都呈直角關(guān)系。則大拇指，食指，與中指分別表示了右手坐標(biāo)系的 x-軸，y-軸，與 z-軸。同樣地，用左手也可以表示出左手坐標(biāo)系。圖 8 試著展示出一個左手坐標(biāo)系與一個右手坐標(biāo)系。因?yàn)槲覀冇枚S畫面來展示三維物體，會造成扭曲或模棱兩可的圖形。指向下方與右方的軸，也有指向讀者的意思；而位置居于中間的軸，也有指向讀者正在看的方向的意思。平行于 xy-平面的紅色圓形曲箭，其紅色箭頭從 z-軸前面經(jīng)過，表示從