第九章重積分與曲線積分

1、第九章 重積分與曲線積分講授內(nèi)容：§9.1 二重積分的概念與性質教學目的與要求：1、理解曲頂柱體的概念，二重積分的定義和幾何意義2、熟練掌握二重積分的幾何意義和性質的應用3、了解二重積分的對稱性定理教學重難點： 重點二重積分的定義及性質的應用難點二重積分的對稱性定理的應用教學方法: 講授法教學建議：1、 借助幾何圖形引入曲頂柱體的概念，同時引入二重積分的定義2、 借助幾何圖形講清二重積分的涵義及二重積分的對稱性的實質學時：2學時教學過程：在一元函數(shù)積分學中我們知道，定積分是某種確定形式的和的極限，將這種極限的概念推廣到定義在區(qū)域上的多元函數(shù)的情形，便得到了重積分一、曲頂柱體的體積1

2、定義：設有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側面是以的邊界曲線為準線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面。當時,在上連續(xù)且,以后稱這種立體為曲頂柱體。2求曲頂柱體的體積：(1)用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個小區(qū)域 ,以這些小區(qū)域的邊界曲線為準線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成個小曲頂柱體 。（假設所對應的小曲頂柱體為,這里既代表第個小區(qū)域,又表示它的面積值,既代表第個小曲頂柱體,又代表它的體積值。)從而 (將化整為零)(2) 由于連續(xù),對于同一個小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大。因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是(以不變之高代替變高, 求的近似值)(3) 整

3、個曲頂柱體的體積近似值為(積零為整, 得曲頂柱體體積之近似值)(4) 為得到的精確值,只需讓這個小區(qū)域越來越小,即讓每個小區(qū)域向某點收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設個小區(qū)域直徑中的最大者為, 則(取極限讓近似值向精確值轉化)二、二重積分的定義1定義：設是閉區(qū)域上的有界函數(shù), 將區(qū)域分成n個小區(qū)域, 其中:既表示第個小區(qū)域, 也表示它的面積,表示它的直徑。作乘積作和式若極限 存在,則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分,記作 。即其中: 稱之為被積函數(shù),稱之為被積表達式,稱之為面積元素,稱

4、之為積分變量,稱之為積分區(qū)域,稱之為積分和式。2幾個事實(1)二重積分的存在定理若在閉區(qū)域上連續(xù), 則在上的二重積分存在。聲明:在以后的討論中,我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在。(2)中的面積元素象征著積分和式中的。由于二重積分的定義中對區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標軸的直線來劃分區(qū)域,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形,因此,可以將記作(并稱為直角坐標系下的面積元素),二重積分也可表示成為 。(3)、幾何意義：若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體的體積。若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體體積的負值。若f(x,y)在D上有正,有負,二重積分表

5、示以為曲頂,以為底的曲頂柱體體積的代數(shù)和.三、二重積分的性質二重積分與定積分有相類似的性質1線性性其中:是常數(shù)。2對區(qū)域的可加性若區(qū)域分為兩個部分區(qū)域,則3若在上,為區(qū)域的面積,則幾何意義: 高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。4若在上,則有不等式特別地,由于，有5估值不等式設與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值,是的面積,則6二重積分的中值定理設函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù),是的面積,則在上至少存在一點,使得例1估計二重積分 的值,是圓域。解: 求被積函數(shù) f(x,y)=x2+4y2+9 在區(qū)域上可能的最值是駐點,且 ；在邊界上,作業(yè)布置于是有例2設域是，則（ ）解：關于軸對稱，關于為奇函數(shù)，

6、則, 4例3設是，則、的大小順序如何？解：在上，由此得.作業(yè)：高等數(shù)學C類練習冊習題四十八教學后記：教學參考書： 高等數(shù)學 北京大學數(shù)學科學部編 高等數(shù)學典型題精解 陳蘭祥編 高等數(shù)學 黃立宏 廖基定主編 復旦大學出版社 高等數(shù)學 同濟大學應用數(shù)學系主編 高等數(shù)學 同濟大學應用數(shù)學系主編（本科少學時類型）復習思考題：將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同之處.講授內(nèi)容：§9.2 二重積分的計算教學目的與要求：1.區(qū)分區(qū)域的四種類型，掌握它們之間的關系2.熟練掌握二重積分的兩種計算方法：直角坐標法和極坐標法3.了解將二重積分化為二次積分的過程4.掌握區(qū)域的對稱性與

7、被積函數(shù)的奇偶性對二重積分的影響5.掌握二重積分中直角坐標轉化為極坐標，并學會選取適當?shù)淖鴺讼祦碛嬎愣胤e分教學重難點：重點計算二重積分的方法和特點 難點利用極坐標計算二重積分及對稱性的應用教學方法:講授法教學建議： 借助幾何圖形分析二重積分化為二次積分的過程學時：2學時教學過程:利用二重積分的定義來計算二重積分顯然是不實際的,二重積分的計算是通過兩個定積分的計算(即二次積分)來實現(xiàn)的。一、利用直角坐標計算二重積分設f(,)0.1. X型區(qū)域：設區(qū)域D：1()2(),ab特點：穿過D的內(nèi)部且平行于Y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點.在,內(nèi)任取一點0,作平行于o的平面=x0,截曲頂柱體得一截面A

8、(x0),此截面是以區(qū)間1(x0),2(x0)為底,曲線=(0, )為曲邊的曲邊梯形,故截面積為：A(x0)=,由截面面積為已知的立體的體積計算方法知：曲頂柱體的體積為：(,)dd= A()d=此式右端稱為先對后對的二次積分 .具體求二重積分時,可以去掉限制條件：f(,)0.2. Y型區(qū)域：設區(qū)域D：1(y)2(y),cd.特點：穿過D的內(nèi)部且平行于X軸的直線與D的邊界相交不多于兩點.同理有：f(,)dd= 3. 既非X型,又非Y型區(qū)域：此時將D劃分成若干個小區(qū)域,使每個小區(qū)域或者為X型,或者為Y型區(qū)域,再利用區(qū)域的可加性分別計算.4. 既是X型,又是Y型區(qū)域：則有f(,)dd= =注：在上述

9、討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,導出了二重積分的計算公式(1)。但實際上,公式(1)并不受此條件限制,對一般的(在上連續(xù)),公式(1)總是成立的。小結I：二重積分化二次積分時應注意的問題1.積分區(qū)域的形狀前面所畫的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個共同點:對于X型(或Y型)區(qū)域, 用平行于軸(軸)的直線穿過區(qū)域內(nèi)部,直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點。如果積分區(qū)域不滿足這一條件時,可對區(qū)域進行剖分,化歸為X型(或Y型)區(qū)域的并集。2.積分限的確定將二重積分劃為二次積分時,確定積分限是關鍵.積分限由積分區(qū)域確定.首先劃出積分區(qū)域,假如積分區(qū)域為X-型,如下圖,在a,b內(nèi)任取一點,積分區(qū)域上以為橫坐標

10、的點在一直線段上,此直線段平行于軸,該直線段上點的縱坐標從1(x)變到2(x), 1(x)和2(x)就是公式中將看作常數(shù)而對積分時的下限和上限,對積分時,由于在a,b內(nèi)是任取的,因此的積分區(qū)間為a,b.例1. 計算：,其中由直線=1, =1, = 所圍成.圖(a)圖(b)解：如圖(a), 既是X-型區(qū)域，又是Y-型區(qū)域.若視為X-型區(qū)域：在-1,1內(nèi)任取點,則在以為橫坐標的直線段上的點,其縱坐標從= 變到=1,因此有：=說明：若把看作Y-型區(qū)域，如圖(b)：則有此時計算較繁瑣.因此選擇適當?shù)膮^(qū)域類型很重要.例2求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積.解： 設這兩個圓柱面的方程為：

11、2+2=R2, 2+2=R2,.由對稱性可知,只須計算立體在第一卦限的體積,然后乘以8即得.此時, =(,)|0 ,0R,于是,所求體積為：V=8dd=8=例3交換下列二次積分的積分次序：解：積分區(qū)域為：12，2. 如左圖. 若視為Y-型區(qū)域，如右圖，則有：=二、利用極坐標計算二重積分按照二重積分的定義有，現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標中的形式。1變換公式設從極點O出發(fā)且穿過區(qū)域D的內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點.用一族同心圓：=常數(shù);一族射線=常數(shù)劃分D,則面積元素：d=dd.于是由x=cos,y=sin得:f(x,y)d=f(cos,sin)dd.i =(+)2i-2i=(2+)2i=

12、+(+)i=i這里, 表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值.在圓弧=任取一點(,),設此點的直角坐標為(i,i),由i=cos,i=sin知：(i,i) i=(cos,sin)i即：(x,y)d=(cos,sin)由于(x,y)d也常記作(x,y)dxdy, 因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發(fā)性的形式(x,y)dxdy=(cos,sin)(1)(1)式稱之為二重積分由直角坐標變量變換成極坐標變量的變換公式,其中,就是極坐標中的面積元素。2 區(qū)域D與極點的位置關系1） 設D：1()2(),.則(cos,sin)=(cos,sin);2） 設D：0(),.則(cos,sin)= (cos,sin);3

13、） 設D：0(),02.則(cos,sin)= (cos,sin);由上面的討論不難發(fā)現(xiàn), 將二重積分化為極坐標形式進行計算, 其關鍵之處在于: 將積分區(qū)域用極坐標變量表示成如下形式，1()2()下面通過例子來介紹如何將區(qū)域用極坐標變量來表示。例4計算:其中D:x2+y2a2. 解：D：0a,02.=注：利用直角坐標計算不出來.例6化二次積分為極坐標系下的二次積分.解：由于D：xyx,0x2所以：=小結II：1用極坐標變換計算二重積分的方法：(1)先畫出區(qū)域的簡圖, 據(jù)圖確定極角的最大變化范圍；(2)再過內(nèi)任一點作射線穿過區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩交點,將它們用極坐標表示,這樣就得到了極徑的變化范

14、圍。2使用極坐標變換計算二重積分的原則(1)、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表示(含圓弧,直線段 )；(2)、被積函數(shù)表示式用極坐標變量表示較簡單(含, 為實數(shù))。作業(yè):高等數(shù)學C類練習冊習題四十九、五十教學后記：教學參考書： 高等數(shù)學 北京大學數(shù)學科學部編 高等數(shù)學典型題精解 陳蘭祥編 高等數(shù)學 黃立宏 廖基定主編 復旦大學出版社 高等數(shù)學 同濟大學應用數(shù)學系主編 高等數(shù)學 同濟大學應用數(shù)學系主編（本科少學時類型）思考題：1.證明：1) =(< ，ÎC,)2)2.計算：I=(|+|)dd，其中D為：|+|1.3.計算：,其中D：-11,02.講授內(nèi)容: §9.3

15、 二重積分的應用教學目的與要求：1.掌握曲面面積的計算方法2.理解公式的含義，幫助記憶公式3.學會應用二重積分計算質心、轉動慣性教學重難點： 重點利用二重積分計算曲面面積 難點二重積分的物理應用教學方法:講授法教學建議： 利用多媒體進行圖形分析學時：2學時教學過程:一、曲面的面積設曲面S的方程為：z=f(x,y). D為S在xoy面上的投影區(qū)域.fx(x,y),fy(x,y)在D上連續(xù).在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域d(此閉區(qū)域的面積也記作d).在d上取一點P(x,y),對應曲面上的點為M(x,y,f(x,y).點M在xoy上的投影為點P,點M在曲面S的切平面為T.以小閉區(qū)域d的邊界為準線

16、作母線平行于z軸的柱面,此柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面dA.由于d很小,從而可以用切平面上的小片平面dA代替曲面上的小片曲面.設點M在S上的法線(指向向上)與z軸所成的角為,則有:dA =由于cos=所以dA=d.此為曲面S的面積元素.于是曲面S的面積為:A =d或A =dxdy.例1. 求半徑為a的球的表面積.解: 取上半球面方程為z=,則其在xoy面上的投影區(qū)域為:D=(x,y)|x2+y2a2.由=得=于是上半球面的面積為:S=dxdy.此為反常二重積分.先取區(qū)域D1=(x,y)|x2+y2b2,0<b<a為積分區(qū)域,再令baS1=dxdy=dd a

17、= 2a=2a(a-)S=S1=2a2.所求面積為A=4a2.二、平面薄片的質心設在xoy面上有n個質點,分別位于(x1,y1), (x2,y2),(xn,yn)處, 質量分別為m1,m2,mn,則此質點系的質心坐標為:=;=其中M=為質點系的總質量，My=, Mx=分別為質點系對x軸和y軸的靜矩.設有平面薄片,占有閉區(qū)域D,在(x,y)點處具有面密度(x,y).設(x,y)在D上連續(xù).現(xiàn)求其質心坐標.在D內(nèi)取一小閉區(qū)域d,(同時表示其面積),當d的直徑很小時,其質量近似為:(x,y)d.靜矩元素分別為:dMy= x(x,y)d, dMx= y(x,y)d.于是My=x(x,y)d;Mx=y(

18、x,y)d=;=其中,M=(x,y)d.為平面薄片的質量.當(x,y)為常數(shù)時,平面薄片的質心成為平面圖形的形心.于是形心公式為:=xd;=yd;其中A為D的面積.例2. 求位于兩圓=2sin和= 4sin之間的均勻薄片的質心.解:由于閉區(qū)域D關于y軸對稱,因此=0.yd=2sindd=7.=7/3=7/3.所求質心為(0,7/3)三、平面薄片的轉動慣量設在xoy面上有n個質點,分別位于(x1,y1), (x2,y2),(xn,yn)處.質量分別為m1,m2,mn,則此質點系的轉動慣量為:Ix=;Iy=設有平面薄片,占有閉區(qū)域D,在(x,y)點處具有面密度(x,y).設(x,y)在D上連續(xù).現(xiàn)

19、求其對x軸和對y軸的轉動慣量：在D內(nèi)取一小閉區(qū)域d,(同時表示其面積),當d的直徑很小時,其質量近似為:(x,y)d.對x軸和y軸的轉動慣量元素分別為:dIx=y2(x,y)d, dIy=x2(x,y)d.于是平面薄片對x軸和y軸的轉動慣量分別為:Ix=y2(x,y)d;Iy=x2(x,y)d例3. 求半徑為a的均勻半圓薄片(面密度為常數(shù))對于其直徑邊的轉動慣量.解: 建立圖示坐標系.則D=(x,y)|x2+y2a2,y0.所求轉動慣量為D對x軸的轉動慣量: I x = y2d=3sin2dd= =a4/8=Ma2/4其中M=a2/2為半圓薄片的質量.作業(yè): 復習這節(jié)的知識點,對以往做錯的題進

20、行復習教學后記：教學參考書： 高等數(shù)學 北京大學數(shù)學科學部編 高等數(shù)學典型題精解 陳蘭祥編 高等數(shù)學 黃立宏 廖基定主編 復旦大學出版社 高等數(shù)學 同濟大學應用數(shù)學系主編 高等數(shù)學 同濟大學應用數(shù)學系主編（本科少學時類型）復習思考題:已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)）的長和寬分別為和，計算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉動慣量.講授內(nèi)容: 第九章習題課教學目的與要求：1. 復習鞏固二重積分的概念、性質、以及幾何意義. 2. 熟練掌握二重積分的兩種計算方法：直角坐標法和極坐標法3. 掌握區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性對二重積分的影響4. 熟練掌握二重積分的幾何應用與物理應用. 教學重難點：重點二重積分的兩種計算方法難點積分限的確定以及計算二重積分的多種技巧教學方法:講授法教學建議： 重點講授積分限的確定以及計算二重積分的多種技巧學時：2學時教學過程:一、 主要內(nèi)容1.二重積分的定義.二重積分的幾何意義、二重積分的性質、二重積分的計算（）直角坐標系下X型(,)dd= A()d=Y型f(,)dd= （）極坐標系下D: ，1()2()(cos,sin)=(cos,sin)5、二重積分的應用(1) 體積：(2) 曲面積設S曲面的方程為：曲