等比數(shù)列的前n項和公式的幾種推導(dǎo)方法

1、賞析等比數(shù)列的前n項和公式的幾種推導(dǎo)方法山東 張吉林（山東省萊州五中 郵編261423）等比數(shù)列的前n項和公式是學(xué)習(xí)等比數(shù)列知識中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其公式：當(dāng)時， 或 當(dāng)q=1時，本身不僅蘊(yùn)涵著分類討論的數(shù)學(xué)思想，而且用以推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的方法-錯位相減法，更是在歷年高考題目中頻繁出現(xiàn)。本文變換視野、轉(zhuǎn)換思維，從不同的角度加以推導(dǎo)，以加深對公式的理解與應(yīng)用,希望能起到拋磚引玉的效果。一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項和是公式的推導(dǎo)方法一：當(dāng)時，由得 當(dāng)時， 或 當(dāng)q=1時，當(dāng)已知, q, n 時常用公式；當(dāng)已知, q, 時，常用公式.拓展延伸：若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，對形如的數(shù)列，可以用錯位

2、相減法求和。例題 數(shù)列的前項和，則的表達(dá)式為（）ABCD解析：由，可得，得，故選（D）點(diǎn)評：這個脫胎于課本中等比數(shù)列前項公式推導(dǎo)方法的求和法，是高考中命題率很高的地方，應(yīng)予以高度的重視。公式的推導(dǎo)方法二：當(dāng)時，由等比數(shù)列的定義得，根據(jù)等比的性質(zhì)，有即 當(dāng)時， 或 當(dāng)q=1時，該推導(dǎo)方法圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比的性質(zhì)，導(dǎo)出了公式，給我們以耳目一新的另類感覺。導(dǎo)后反思：定義是基礎(chǔ)，深刻理解定義，靈活地運(yùn)用好定義，往往能得到一些很有價值的結(jié)論和規(guī)律。例如等比數(shù)列的一個常用性質(zhì)：已知數(shù)列是等比數(shù)列（），是其前n項的和，則，仍成等比數(shù)列。其推導(dǎo)過程可有以下兩種常見的證明過程：證明一：

3、（1）當(dāng)q=1時，結(jié)論顯然成立；（2）當(dāng)q1時， =成等比數(shù)列.這一過程也可如下證明：證明二：=同理，= 成等比數(shù)列。對比以上兩種證明過程，我們不難看出，利用好定義在解決某些問題的過程中可以收到很簡捷的效果。公式的推導(dǎo)方法三： 當(dāng)時， 或 當(dāng)q=1時， “方程”在代數(shù)課程里占有重要的地位，是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)列一章的公式考察中常利用方程思想構(gòu)造方程（或方程組），在已知量和未知量之間搭起橋梁，來求解基本量，使問題得到解決。這種推導(dǎo)方法正是運(yùn)用了該思想，使我們的思維不拘泥于書本。. 以上三種推導(dǎo)方法，從不同的思維角度切入等比數(shù)列前n項和的表達(dá)式，著眼點(diǎn)不同，側(cè)重點(diǎn)各異，從而在推導(dǎo)方法的運(yùn)用上也各有千秋，推導(dǎo)方法一注重補(bǔ)因子后錯位相減；推導(dǎo)方法二則側(cè)重于前n項的和式與定義式的聯(lián)系；而推導(dǎo)方法三則是構(gòu)造了間的遞推關(guān)系式，充分利用了和首項及公比