第六章常微分方程

1、第六章 常微分方程（Chap 9 Constant differential equation）教學(xué)內(nèi)容：微分方程概念，一階、二階微分方程的概念及求解方法 教學(xué)要求：理解微分方程一階概念，二階微分方程解的結(jié)構(gòu)掌握可分離變量的微分方程的解法，齊次方程及一階線性微分方程，二階常系數(shù)線性微分方程的解法會(huì)求，的解教學(xué)重點(diǎn)：一階線性微分方程；二階常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)難點(diǎn)：常數(shù)變易法；高階方程求解及二階常系數(shù)齊次線性方程解的情況的討論學(xué)時(shí)分配：講授8學(xué)時(shí)，習(xí)題課2學(xué)時(shí)，共計(jì)10學(xué)時(shí)§6.1 微分方程的基本概念（Fundamental concept of differential equa

2、tion）一、兩個(gè)實(shí)例1曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）且該曲線上任意點(diǎn)處的切線斜率為，求該曲線的方程。解：設(shè)曲線方程為，由題意知或 又 ，則 2一汽車(chē)在公路上以10米/秒的速度行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)汽車(chē)前方20米有一小孩在地上玩耍，司機(jī)立即剎車(chē)，已知汽車(chē)剎車(chē)后獲得加速度為-4米/秒2，問(wèn)汽車(chē)能否撞傷小孩？解：設(shè)，由題意得 且 兩端積分一次得 又 得 又 即 得二、微分方程的概念1微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。如：（代數(shù)方程）2階：方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)叫做微分方程的階。n階微分方程的一般形式 ： 在一般形式中，未知函數(shù)y及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，則此方程為線性

3、微分方程。其形式為：3常微分方程：如果一個(gè)微分方程中只含有一個(gè)自變量。（偏微分方程）：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量，4解：若將一個(gè)函數(shù)代入微分方程 能使兩端相等，則稱這個(gè)函數(shù)為微分方程的解。（1）通解：含有任意常數(shù)且個(gè)數(shù)與方程階數(shù)相同的解。（2）特解：從通解中確定了任意常數(shù)的解，稱為特解。定解條件：（初始條件）5、解的幾何意義： §6.2 一階微分方程（Differential equation）一、可分離變量的微分方程（Differential equation of separated variables）1定義：若一個(gè)一階微分方程，能化成的形式則有，則此方程稱為可分離變量的微分方程

4、。2特點(diǎn)：一邊只含y的函數(shù)與y的微分，而另一邊只含x的函數(shù)與x的微分。3如何求解：方程兩邊同時(shí)對(duì)x，y積分得通解 4例：（1）求微分方程的通解（2）求初值問(wèn)題 的特解（3）求微分方程的通解注：為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，在求通解的時(shí)候只要出現(xiàn)，c就寫(xiě)成。二、 齊次方程（Homogeneous differential equation）1定義：如果一階微分方程中的函數(shù)可寫(xiě)成關(guān)于的函數(shù)，即，則該方程稱為齊次方程，是連續(xù)函數(shù)。2如何求解： 令 則 于是上式方程變?yōu)椋海煞蛛x變量微分方程）3例：（1）求方程滿足初始條件的特解（2）求微分方程的通解 （3）求方程的通解三、線性方程及伯努利方程（Linear diff

5、erential equation of first order and Bernoulli equation）1、一階線性方程（Linear differential equation of first order）1定義：形如： （是x的已知連續(xù)函數(shù)）的方程叫一階線性微分方程。（1）當(dāng)時(shí)，變?yōu)?一階線性齊次微分方程（2）當(dāng)時(shí)，變?yōu)?一階線性非齊次微分方程2如何求解：（1）（可分離變量微分方程）通解 （2）分析齊與非齊方程的特點(diǎn)得出解有相同和不同之處，引出常數(shù)變易法。解：令代入原方程化解、整理得 兩邊積分得 因此所求通解為（通解公式可直接用）分析通解結(jié)構(gòu)，得出非齊通解為齊次通解與非齊特解之和

6、，以后還會(huì)用到。3例（1）求微分方程的通解（兩種方法目的讓學(xué)生熟悉常數(shù)變易法）。（2）求微分方程的通解。（3）求方程在初始條件下的特解。（4）求方程的通解。二、貝努利方程（Bernoullie quation）1定義：方程叫做伯努利方程。2如何求解：方程： 兩端同除以，得 令 則即 代入 得即 （關(guān)于z的一階線性微分方程）求出通解，并將代入即得原方程的通解。3例：（1）求方程的通解（2）求方程：的通解（3）求方程：的通解。§6.3 可微階的高階微分方程（Differential equation that can be reduced order）高階微分方程，二階及二階以上的微分方

7、程求解方法：降階化為一階微分方程，具體有三種類(lèi)型：一、型的微分方程1微分方程的右端僅含有自變量x。2方法：兩邊連續(xù)積分n次，求得通解（含有n個(gè)常數(shù)）3例：求微分方程的通解二、型的微分方程1方程的右端不顯含y（特點(diǎn)）2求解方法：令代入原方程，得（關(guān)于變量x，p的一階線性微分方程）可求通解為，即求積分得通解為：3例：（1）求微分方程的通解。（2）求方程滿足初始條件的特解（3）滿足的特解三、型的微分方程1方程右端不顯含x（ 特點(diǎn)）2如何求解：令（與前面相區(qū)別）將其代入原方程得此方程是關(guān)于y和p的一階線性微分方程通解為分離變量得 兩邊積分得3例（1）求微分方程的通解（2）求方程滿足初始條件 的特解&#

8、167;6.4 二階常系數(shù)齊次線性微分方程（Homogeneous linear differential equation with second）1形如的方程叫二階常系數(shù)線性微分方程（其中均為常數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，變?yōu)?叫二階常系數(shù)齊次線性微分方程（2）當(dāng)時(shí)，叫二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)（1）定理1 如果函數(shù)是的兩個(gè)解則也是解，（是任意常數(shù)）線性相關(guān)、無(wú)關(guān)概念（簡(jiǎn)單做一介紹）（2）定理2 如果是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則就是方程的通解。3如何求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解分析方程的特點(diǎn)，得該方程的解的一階、二階導(dǎo)數(shù)僅差一個(gè)常數(shù)因子，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可設(shè)通解為，代入原方程得（特征方程）二次方程的兩個(gè)根稱為特征根，特征根有以下三種情形：（1）當(dāng)時(shí)， 通解為（2）時(shí)，此時(shí)為一個(gè)特解，為尋求與線性關(guān)系的特解，可令代入原方程得 通解為（3）時(shí)， （化為實(shí)數(shù)根）利用歐拉公式 化復(fù)數(shù)形式為實(shí)數(shù)解形式 通解為4總結(jié)求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步