勾股定理及其應用

1、第五次課 勾股定理及其應用本章知識要點A. 勾股定理及其逆定理。B. 驗證、證明勾股定理及其依據(jù)（面積法）。C. 勾股數(shù)組、基本勾股數(shù)組及勾股數(shù)的推算公式。D. 勾股定理及其逆定理的應用。E. 感受“方程”思想、“數(shù)形結合”思想、“化歸與轉化”思想等數(shù)學思想。內(nèi)容/概念表示方法/舉例勾股定理直角二角形兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方如果用a ,b表示直角三角形的兩直角邊，c表示斜邊， 那么a2 b2 c2勾股定理的逆定理如果一個三角形的三邊滿足：兩短邊的平方和等于最長邊的平 方，那么這個三角形是直角三角 形用a,b,c （ c為最長邊）表示 三角形的三邊，如果a2 b2 c2，那么這個三角形是

2、直角三角形勾股數(shù)滿足a2 b2 c2的三個正整數(shù)，稱為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)有：3,4,5 ；5,12,13 ； 6,8,10 ； 7,24,25 ；8,15,17 等基本勾股數(shù)組滿足a2 b2 c2且a,b,c互質(zhì)的三個正整數(shù)，稱為一組基本勾股數(shù)組常見的基本勾股數(shù)組有：3,4,5 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ；8,15,17 等重點知識勾股定理的驗證驗證方法驗證過程（美）伽菲爾德總統(tǒng)拼圖如右圖，直角梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和111c，所以a b ? a b 2_ab c,即卩2 2 22K2小2a b c67ub趙爽弦圖如右圖，用四個全等的直角三角形可得到一個以 b

3、a 的小止方形和一個邊長為 c的大止方形，因為大止方形的 為c，所以面積為c2，又因為大正方形被分割成了四個全 直角邊長分別為a, b的直角三角形和一個為邊長J邊長 等的K邊長為b a的正方形，所以其面積為4 =ab b a 2所以 c2 4 - ab b a 2 2從而 c2 a2 b2.2 劉徽：青朱出入圖如右圖，通過拼圖，以c為邊長的正方形面積等于分別以 邊長的兩個正方形的面積之和a,b為名師提示用拼圖法驗證勾股定理的思路：圖形經(jīng)過割補拼接后，只要 沒有重疊、沒有空隙，那么面積就不會改變；根據(jù)同一種圖 形面積的不同表示方法（簡稱面積法）列出等式，推導勾股定 理重點知識確定幾何體上的最短路

4、線描述示意圖將長方體相鄰側面展開，轉化成一個長方圓柱的側面展開圖是一個長方形9展開DE FB CAA 7J/5B名師提示例2 (1)在下列數(shù)組3, 4,40, 41;8, 15, 17; 10,勾股數(shù)組有。已知ABC中，B 90° ,(3)已知一直角三角形中有兩邊長分別為 3和4,第三邊的平方為 例 3 已知，如圖 1-1-2 ,四邊形 ABC中, AB=3cmAD=4cmBC=13cmCD=12cm 且/ A=90°,求四邊形ABCD勺面積例4如圖1-1-4，已知在厶ABC中，AB=1Q BC=21 AC=17求BC邊上的高 AD的長.例 5 (1)已知Rt ABC的兩直

5、角邊 AC=5 BC=12 D是BC的平分線時,求CD的長？(2)如圖1-1-5 , 一張長為8cm,寬為4cm的矩 形紙片ABCD沿 EF折疊, 圖 1-1-4點C恰好落在點A 上 ,求AE的長。(3)如圖1-1-6,將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上F點處,已知AB=3,BC=4,求圖中陰影部分的面積.»-一二亠311111114rV-4E圖 1-1-5-例6. (1)如圖1-2-9 (1),有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上,請問它飛行的最短路程是多少米？(先畫出示意圖，然后再求解)EF C圖 1-1 -6；上rI ¥(2)如圖 1-1-9部落在離旗桿底

6、上希望小學的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂 Uti,原長16 m，你能求出旗桿在離底部多少= -米的位置斷裂嗎？圖 1-2-9 (1)A、B兩個小鎮(zhèn)在河流CD同側，至府可的距離分別為 AC= 10千 現(xiàn)在要在河岸上修建一個自來水廠，分別向7如圖1-2- ，B丄30千米，且偉糾千米，B兩鎮(zhèn)供水/甫設設水管的費用為每千米3萬元，請你在河岸上選擇自來水廠的位置，使鋪設水管的總費用最低，并求出最低總費用 例8如圖1-2-7，一架長2.5 m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離 墻底0.7 m，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4 m，求梯子底端將向左滑動多少米?家庭作業(yè)圖 1-2-6A.三個角度之比為1 :3

7、的三角形是直角三角形;圖 1-2-7B.三條邊長之比為3 :5的三角形是直角三角形;1.下列結論錯誤的是（C. 三條邊長比為8 ： 16 ： 17的三角形是直角三角形;D. 三個角度之比為1 ： 1 ： 2的三角形是直角三角形。2.在Rt ABC中，斜邊AB=1,貝U式子AB2 BC2 AC 2的值為（）圖 1-1-15. ABC中，A吐25,BO20,C心15,CM和CH分別是中線和高。那么Sbc=,C十, M*6. 已知直角三角形兩邊的長為3和4,則此三角形的周長為 .7. ABC中, AB=AC=17m , BC=16sm , ADL BC于 D,貝U AD= .8. 如圖 1-1-2

8、, DABC的邊 BC上的一點，已知 AB=13 AD=12 AC=15,BD=5 ,則BC的長為 丿二、9. 如圖1-1-5 , A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側,分別到河的距離為'AC=10千 米,BD=30千米,且CD=30千米,現(xiàn)在要在河邊建也來水廠 向 A B兩鎮(zhèn)圖 1-1-2供水，鋪設水管的費用為每千米3萬元，請你在河流CD上選擇水廠的位置M 使鋪設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？b10. 如圖1-1-6 , 一架梯子的長度為25米，如圖斜靠在墻上，梯子頂端離墻底端 為7米。C 圖 1-1-5 D這個梯子頂端離地面有多高？如果梯子的頂端下滑了 4米，那么梯子的底部在水平方向滑動了幾米？圖1-11. 如圖1-2-11，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需是多少?圖 1-2-11(1)對于長方體相鄰兩個面的展開圖，一定要注意打開的是哪一個 側面，比較三種打開方式的路徑長度，得到最短路徑 (2)勾股定理是直角三角形的一個重要性質(zhì)，它把三角形有一個直 角的“形”的特征，轉化為三邊“數(shù)”的關系，是數(shù)形結合的一