勾股定理的逆定理(三)

1、18.2勾股定理的逆定理(三)教學時間第七課時三維目標一、知識與技能能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題.二、過程與方法1 經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為敷學模型的過程，體會用勾股定理的逆定理解決實際問題的 方法，發(fā)展學生的應(yīng)用章識.2. 在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，發(fā)展學生的實踐能力和創(chuàng)新精神.3在解決實際問題的過程中，學會與人合作，并能與他人交流思維過程和結(jié)果，形成 反思的意識.三、情感態(tài)度與價值觀1 在用勾股定理的逆定理探索解決實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難 的意志，建立學習數(shù)學的自信心.2在解決實際問題的過程中，形成實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考問題的習

2、慣.教學重點運用勾股定理的逆定理解決實際問題.教學難點將實際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學問題.教具準備多媒體課件.教學過程一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課活動1問題1:小紅和小軍周日去郊外放風箏，風箏飛得又高又遠，他倆很想知道風箏離地面 到底有多高，你能幫助他們嗎 ？問題2:如下圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測正面的AD邊和BC邊是否垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.DCA1B(1) 你能替他想想辦法完成任務(wù)嗎 ？(2) 李叔叔量得 AD的長是30厘米，AB的長是40厘米，BD的長是50厘米，AD邊垂 直于AB邊嗎？(3) 小明隨身只有一個長度為 20厘米的刻度尺，他能有辦法

3、檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？設(shè)計意圖：通過對兩個實際問題的探究，讓學生進一步體會到勾股定理和勾股定理的逆定理在實際 生活中的廣泛應(yīng)用，提高學生的應(yīng)用意識，發(fā)展學生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力.在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題時，肯定要有一定的困難， 教師要給學生充分的時間和空間去思考，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑.師生行為：先由學生自主獨立思考，然后分組討論，交流各自的想法.教師應(yīng)深入到學生的討論中去，對于學生出現(xiàn)的問題，教師急時給予引導.在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注學生， 能否獨立思考，尋找解決問題的途徑. 能否積極主動地參加小組活動，與小組成員充分交流，且能靜心聽取別人的想法. 能否由此活動

4、，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.生：對于問題 1我們組是這樣考慮的：小紅拉著風箏站在原地，小軍到風箏的正下方 也就是說小軍的頭頂就是風箏. 小紅放線，使線端到達他所站的位置， 然后在線端做一記號, 最后收回風箏，量出放出的風箏線的總長度AB，再量出小明和小軍所站位置的兩點間的距離BC,禾U用勾股定理便可以求出 AB的長度（如下圖所示）4（風箏）Q（小軍）B（小明）生：對于問題2,我們組是這樣考慮的： 李叔叔隨身只帶卷尺檢測 AD , BC是否與底邊 垂直，也就是要檢測/ DAB = 90°,/ CBA = 90 °,連接BD或AC ,也就是要檢測 DAB 和厶CBA是否為直角三角

5、形很顯然，這是一個需要用勾股定理的逆定理來解決的實際問 題.根據(jù)我們的分析，用勾股定理的逆定理來解決，要檢測厶DA月是否為直角三角形，即/ DAB = 90°,李叔叔只需用卷尺分別量出AB , BD、DA的長度，然后計算 AB2+ DA 2和BD2,看他們是否相等，若相等，則說明AD丄AB，同理可檢測 BC是否垂直于AB 師：很好，對于問題 2中的第個小問題，李叔叔已量得 AD , AB , BD的長度，根據(jù) 他量出的長度能說明 DA和AB垂直嗎？生：可以，因為 AD2+ AB2= 302+ 402 = 2500，而 BD2= 2500，所以 AD 2+ AB2 = BD2.可 得A

6、D與AB垂直.師：小明帶的刻度尺長度只有 20厘米，他有辦法檢驗 AD與AB邊的垂直嗎？ 生：可以利用分段相加的方法量出AD , AB , BD的長度.生：這樣做誤差太大，可以 AB , AD上各量一段較小的長度例如在 AB邊上量一小 段 AE = 8cm，在 AD 邊上量一小段 AF = 6cm，而 AE2+ AF2= 82+ 62= 64+ 36= 100= 102, 這時只要量一下 EF是否等于10cm即可.如果EF = 10cm, EF2= 100,則有AE2+ AF2= EF2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知厶 AEF 是直角三角形，/ EAF = 90°即/ DAB = 90&

7、#176;所以AD丄AB ;如果EF豐10cm,貝U EF2m 100, 所以AE2+ AF2工EF2 , AEF不是直角三角形，即 AD不垂直于 AB .師：看來，同學們方法還真多，沒有被困難嚇倒，祝賀你們.接下來，我們繼續(xù)用勾股定理的逆定理解決幾個問題.二、講授新課活動 2問題： 例 1判斷由線段 a、b、c 組成的三角形是不是直角三角形(1) a= 15, b= 8, c= 17;(2) a= 13, b= 14, c= 15;(3) 求證：m2 n2, m2+ n2, 2mn(m >n, m, n是正整數(shù))是直角三角形的三條邊長. 設(shè)計意圖：進一步讓學生體會用勾股定理的逆定理,實

8、現(xiàn)數(shù)和形的統(tǒng)一,第(3)題又讓學生從一次從一般形式上去認識勾股數(shù),如果能讓學生熟記幾組勾股數(shù),我們在判斷三角形的形狀時, 就可以避開很麻煩的運算師生行為：先由學生獨立完成,然后小組交流 教師應(yīng)巡視學生解決問題的過程,對成績較差的同學給予指導 在此活動中,教師應(yīng)重點關(guān)注學生： 能否用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。 能否發(fā)現(xiàn)問題，反思后及時糾正. 能否積極主動地與同學交流意見生：根據(jù)勾股定理的逆定理, 判斷一個三角形是不是直角三角形, 只要看兩條較小邊長 的平方和是否等于最大邊長的平方解： (1)因為 15282= 225 64= 289,172= 289,所以 15282=172,這個三角形

9、是直角三角形(2) 因為 132142= 169196= 365152= 225所以132 + 142工152 這個三角形不是直角三角形.生：要證明它們是直角三角形的三邊, 首先應(yīng)判斷這三條線段是否組成三角形, 然后再 根據(jù)勾股定理的逆定理來判斷它們是否是直角三角形的三邊長.(3) 證明： m> n、m、n 是正整數(shù)2 2 2 2 2(m n )(m n )= 2m >2mn,2 2 2 2即(m n)+ (m + n)> 2mn又因為 (m2 n2)2mn= m2n(2m n),而 2m n= m(m n)>0,o oo o所以 (m2 n2)2mn> m2n2

10、這三條線段能組成三角形.22 2442 2又因為 (m2 n2)2= m4n4 2m2n2(m2n2)2= m4 n42m2n2oo o(2mn)2= 4m2n2,所以 (m2 n2)2 (2mn)2= m4n4 2m2n24m2n2= m4n42m2n229=(m + n )2所以,此三角形是直角三角形,m2 n2、2mn、m2n2(m>n、m、n 是正整數(shù) )這三邊是直角三角形的三邊.師：我們把像15、& 7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù). 而且我們不難發(fā)現(xiàn) m2 n2、 m2 n2、 2mn 也是一組勾股數(shù),而且這組勾股數(shù)由于 m 可 取值的不同會得到

11、不同的勾股數(shù)，例如 m= 2, n= 1 時，m2 n2= 22 12= 3, m2+ n2= 22 + 12= 5, 2mn= 2X 2x 1 = 4,而3、4、5就是一組勾股數(shù).你還能找到不同的勾股數(shù)嗎 ？生：當 m = 3, n = 2 時，m2 n2= 32 22= 5, m2+ n2= 13, 2mn = 2x 3x 2= 12,所以 5、 12、13也是一組勾股數(shù)，當 m= 4, n= 2 時，m2 n2= 42 22= 12 , m2+ n2= 20, 2mn = 2x 4 x 2 = 16,所以 12、 16、20也是一組勾股數(shù).師：由此我們發(fā)現(xiàn)，勾股數(shù)組有無數(shù)個，而上面介紹的

12、就是尋找勾股數(shù)組的一種方法.17世紀，法國數(shù)學家費馬也研究了勾股數(shù)組的問題，并且在這個問題的啟發(fā)下，想到 了一個更一般的問題，1637年，他提出了數(shù)學史上的一個著名猜想一一費馬大定理，即當n>2時，找不到任何的正整數(shù)組，使等式xn+ yn= zn成立，費馬大定理公布以后，引起了各國優(yōu)秀數(shù)學家的關(guān)注，他們圍繞著這個定理頑強地探索著，試圖來證明它.1995年，英籍數(shù)學家懷爾斯終于證明了費馬大定理，解開了這個困惑世間無數(shù)智者300多年的謎.活動3問題：例2 “遠航”號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行 12海里，它們離開港口一

13、個半小時后相 距30海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？設(shè)計意圖：讓學生體會勾股定理的逆定理在航海中的應(yīng)用，從而樹立遠大理想， 更進一步體會數(shù)學的實用價值，師生行為：教師先鼓勵學生根據(jù)題意畫出圖形，然后小組內(nèi)交流討淪， 教師需巡視，對有困難的學生一個啟示，幫助他們尋找解題的途徑.在此活動中，教師應(yīng)重點關(guān)注： 學生能否根據(jù)題意畫出圖形. 學生能否積極主動地參與活動. 學生是否充滿信心解決問題.生：我們根據(jù)題意畫出圖形，（如下圖），可以看到，由于“遠航”號的航向已知，如果 求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號的航向了.解：根據(jù)題意畫出下圖N/K /

14、ERfPQ= 16X 1.5= 24,PR= 12X 1.5= 18, QA = 30.因為 242 + 182 = 302,即卩 PQ2+ PR2= QR2所以/ QPR = 90°由“遠航”號沿東北方向航行可知，/QPS= 45°，所以/ RPS= 45。，即“海天”號沿西北或東南方向航行.三、鞏固提高活動4問題：A、B、C三地兩兩距離如下圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？12 km設(shè)計意圖：進一步熟練掌握勾股定理的逆定理的應(yīng)用.師生行為：由學生獨立完成后，由一個學生板演，教師講解.解：BC2+ AB2= 52+ 122= 169,AC2= 132=

15、169,所以BC2+ AB2= AC2,即卩BC的方向與 BA方向成直角，/ ABC = 90°, C地應(yīng)在B 地的正北方向.四，課時小結(jié)活動5問題：談?wù)勥@節(jié)課的收獲有哪些？掌握勾股定理及逆定理，來解決簡單的應(yīng)用題，會判斷一個三角形是直角三角形.設(shè)計意圖：這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學生的主動參與意識，調(diào)動了學生的學習興趣，為每一位學生 都創(chuàng)造了在數(shù)學學習活動中獲得成功體驗的機會.師生行為：教師課前可準備一組小卡片，卡片上寫上針對這節(jié)課內(nèi)容不同形式的小問題，請同學們抽簽回答.板書設(shè)計18. 2勾股定理的逆定理（三）1勾股定理的逆定理一實際問題（判定直角三角形的形狀）2勾股數(shù)組3.在實際生活

16、中的應(yīng)用活動與探究一 一 1如下圖，在正方形 ABCD中.E是BC的中點，F(xiàn)為CD上一點，且 CF = 4 CD .求證： AEF是直角三角形.過程：要證 AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要證AE2+ EF2= AF2即可.利用代數(shù)方法(即勾股定理的逆定理)計算三角形的三邊長，看它們是否是勾股數(shù)，以判 斷三角形是否是直角三角形，這是解決幾何問題常用的方法之一.1 13結(jié)果：設(shè)正方形 ABCD 的邊長是 a,貝U BE = CE = ： a, CF= a, DF =a,在 Rt2 44 ABE中，由勾股定理得22221 x2 5 2AE = AB + BF = a + ( a) = 4

17、 a同理，在 Rt ADF 中，AF2= AD2+ DF2= a2+ (3 a)2 =黛 a2,115在 Rt CEF 中，EF2= CE2 + CF2 = (? a)2+ (- a)2= - a所以，AF2 = AE2+ EF2.所以， AEF是直角三角形.習題詳解習題18. 21. 解：(1)a2= 49, b2= 576, c2= 625a2+ b2= 49 + 576= 625. c2 = 625所以，a2 + b2= c2,根據(jù)勾股定理的逆定理，得由線段a= 7, b= 24, c= 25能組成直角三角形.(2) a2 = 2.25, b2= 4, c2 = 6.25,而 a2 +

18、b2= 2.25+ 4 = 6.25,所以，a2 + b2= c2,根據(jù)勾股定理的逆定理，得由線段a= 1.5, b = 2, c= 2.5可組成直角三角形.(3) a2 = 16 , b2= 1, c2=器,b2 + c2= 1 + 盒.即,a2= b2+ c2,53所以，以a= - , b = 1, c= 3 為邊可組成直角三角形.44(4) a2= 1600, b2= 2500, c2= 3600.而a2 + b2= 4100工3600,即a2 + b2工c2,不能構(gòu)成直角三角形.2, (1)逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.此逆命題成立.(2) 逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角走直角.此逆命題不成立.(3) 逆命題：如果兩個三角形三邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.此逆命題成立.(4) 逆命題：已知兩個數(shù)，如果它們的平方相等，則這兩個數(shù)也相等.此逆命題不成立.2 - 23. 解：根據(jù)題意，如下圖所示AB = 80m, BC = 60m, CA = 100m .因為，80 + 60 =1002,即AB2+ BC2=