高中數(shù)學(xué)好題速遞400題（351—400）

1、好題速遞351題對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為 解：令則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)。故，即點(diǎn)評(píng)：本題因?yàn)榉帜副容^復(fù)雜不整潔，所以將分母進(jìn)行換元是常見(jiàn)的方法。好題速遞352題若向量滿足，則的最大值為 。解：由極化恒等變形得，故即即故好題速遞353題已知函數(shù)，且。對(duì)恒成立，則的最小值為 。解法一：齊次化思想根據(jù)條件有，則因此令，則解法二：由題意可知，即此時(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)成齊次式了，所以分子分母同除則當(dāng)且僅當(dāng)及時(shí)，即時(shí)取得。解法三：根據(jù)條件有，則故令得當(dāng)且僅當(dāng)及時(shí)取得最小值，即時(shí)取得。解法四：令，得，代入得解法五：待定系數(shù)法假設(shè)，化簡(jiǎn)為又故比對(duì)系數(shù)得，得因?yàn)?，所以因?yàn)椋院妙}速遞354題空間四點(diǎn)滿

2、足，則的值為 。解：ABCD2347點(diǎn)評(píng)：這里用到了向量點(diǎn)積的余弦定理形式，即好題速遞355題已知圓，直線，在圓上，在直線上，滿足，則的最大值為 解：設(shè)，所以因?yàn)?，故知就是繞著順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到所以或即或在圓上，所以或即或兩個(gè)方程中有一個(gè)有解即可，所以或綜上， 好題速遞356題已知實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式，則的最小值是 解法一：題干中出現(xiàn)的全是兩數(shù)的和、平方和與乘積，所以考慮用均值不等式鏈條。由或所以點(diǎn)評(píng)：這里注意因?yàn)轭}干中沒(méi)有告訴我們的正負(fù)性，所以不能直接用來(lái)求的取值范圍，所以改為用重要不等式來(lái)來(lái)做。雖然答案正好一樣，但做法要注意。解法二：遇到結(jié)構(gòu)，所以用代數(shù)的極化恒等式變形。令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎?/p>

3、，求的最小值。因?yàn)樗赃€需要計(jì)算定義域，即所以解法三：設(shè)，則視為的兩根所以所以或當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值。好題速遞357題已知點(diǎn)為圓與圓的公共點(diǎn)，圓，圓，若，則點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)之間的距離的最小值為 解：設(shè)，則，所以，即同理所以是方程的兩個(gè)實(shí)根所以所以點(diǎn)的軌跡方程為所以點(diǎn)到直線的最短距離為好題速遞358題已知向量滿足，則的取值范圍是 解：（一）幾何角度由和可以畫圖，找到向量模長(zhǎng)的幾何意義。OABCDba-2b31解法一：基底法因?yàn)橐驗(yàn)槿叨嘉粗?，屬于一?wèn)三不知問(wèn)題，所以考慮轉(zhuǎn)基底做。那么題目中哪些向量適合做基底呢？顯然兩個(gè)向量長(zhǎng)度已知，適合做基底。（這里夾角未知是應(yīng)該的，不然整個(gè)圖就確定下來(lái)，就不

4、會(huì)是求最小值了。）所以由三點(diǎn)共線，且，可知所以O(shè)ABCDba-2b31解法二：解三角形設(shè)，則在與中運(yùn)用余弦定理得解得又在中，利用三角形兩邊之和大于等于第三邊得，即所以（二）代數(shù)角度解法三：換元思想令，則反解得，且所以這個(gè)做法本質(zhì)上其實(shí)就是轉(zhuǎn)基底，只是不是從幾何圖形出發(fā)，采用換元法。解法四：平方角度我們常說(shuō)：“向量的模長(zhǎng)一次想幾何，二次想代數(shù)運(yùn)算”，所以本題的兩個(gè)條件也可以平方。即，這里將解得三者視為整體，那么就屬于“三個(gè)字母，兩個(gè)方程，少一個(gè)，求取值范圍，合情合理！”的問(wèn)題所以用要求的表示得所以由題干知，即即即所以故解法五：在解法四的基礎(chǔ)上，也可解得所以要求的最小值，只需要求的最小值即可這里用

5、代數(shù)中的三角不等式“”來(lái)解決。由，即，所以所以好題速遞359題（2015天津文科第14題）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為 解：由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，可得，且，得所以，得好題速遞360題若橢圓過(guò)橢圓中心的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為 ，的面積的最大值為 解：連接，則由橢圓的中心對(duì)稱性可得好題速遞361題（2015湖北理科第10題）設(shè)，表示不超過(guò)的最大整數(shù). 若存在實(shí)數(shù)，使得，同時(shí)成立，則正整數(shù)的最大值是 解：由得由得由得，所以由得，所以由得與矛盾，故正整數(shù)的最大值是4好題速遞362題過(guò)點(diǎn)的直線交圓于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)

6、，若在線段上的滿足，則 解：設(shè)，直線則，由得由得所以，所以所以整理得點(diǎn)滿足的軌跡方程為所以好題速遞363題如圖，已知點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，為邊上一列點(diǎn)，滿足，其中數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為 解：由可得又，且故即因?yàn)椴还簿€，故，兩式相除消去得，又，所以好題速遞364題若點(diǎn)在圓:上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng),則對(duì)定點(diǎn)而言,的最小值為 解法1：設(shè),則.若設(shè),則由題意可得.即,點(diǎn)在以為圓心,以為半徑的圓:上.由圓與圓有公共點(diǎn)可得,從而.解法2：設(shè),則.從而,.解法3：由點(diǎn)在圓上可設(shè),則.故.解法4：設(shè)為的中點(diǎn),則,過(guò)作軸的垂線,垂足分別為.由于,因此,即.解法5：設(shè)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則.由于點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在圓:上可

7、得.解法6：同解法5，設(shè)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),則.由于點(diǎn)在圓:上,點(diǎn)在軸上可得好題速遞365題設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為 解：可行域如圖所示，所以設(shè)點(diǎn)是可行域內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)既是關(guān)于的減函數(shù)，又是關(guān)于的減函數(shù)所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)取得最大值4，同時(shí)取得最大值2，此時(shí)取得最小值為對(duì)于每一個(gè)固定的的值，要使取得最大值，應(yīng)使取得最小值，即點(diǎn)應(yīng)位于線段上，此時(shí)所以，此時(shí)與點(diǎn)重合綜上所述，好題速遞366題已知點(diǎn)是雙曲線右支上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為 解法一：韋達(dá)定理當(dāng)存在時(shí)，設(shè)當(dāng)不存在是，則綜上，解法二：由于兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，故采取“一定一動(dòng)”的原則，不妨先在點(diǎn)確定的情況下，讓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最小值，

8、然后再讓點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，即取最小值的最小值。如圖，不妨設(shè)直線由，可得，故顯然點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，在點(diǎn)處的雙曲線的切線（即）與垂直時(shí)，此時(shí)在上的投影達(dá)到最小值此時(shí)切線的方程為故在上的投影等于點(diǎn)到直線的距離為故解法三：設(shè)又因?yàn)椋运越夥ㄋ模涸O(shè)，兩式相乘得即等式兩邊同時(shí)加上，得故解法五：三角換元設(shè)，所以解法六：前同解法五，令，則故故即故，又因?yàn)椋?，好題速遞367題設(shè)關(guān)于的方程和的實(shí)根分別為和，若，則的取值范圍是 解：在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出和的圖象如圖所示由，化簡(jiǎn)得顯然有根，故可因式分解為解得或或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由圖可知，好題速遞368題設(shè)，關(guān)于的方程的四個(gè)實(shí)根構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，若，則的取值范圍是 解：設(shè)等比

9、數(shù)列為，從而有由題意知令，故在上單調(diào)遞增，故好題速遞369題已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為 解法一：設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半短軸長(zhǎng)，離心率為，雙曲線的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半短軸長(zhǎng)，離心率為，共同的半焦距為則，則在中應(yīng)用余弦定理得化簡(jiǎn)得，即，問(wèn)題要求的取值范圍。設(shè)，則解法二：在中運(yùn)用正弦定理得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)。好題速遞370題已知函數(shù)，且，集合，則（ ）A，都有 B，都有C，使得 D，使得解：有題干條件可知于是函數(shù)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，由和知一個(gè)零點(diǎn)為1，另一個(gè)零點(diǎn)結(jié)合選項(xiàng)知問(wèn)題就是研究?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)間的距離與3的大小關(guān)系，即與的大小關(guān)系。因?yàn)楣十?/p>

10、出大致圖象知兩個(gè)零點(diǎn)間的距離小于3，故A選項(xiàng)正確。好題速遞371題若正數(shù)滿足，則的最小值為 解法一：分母復(fù)雜時(shí)采取換元。令，則問(wèn)題變?yōu)橐阎蟮淖钚≈?。?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號(hào)。解法二：齊次化記，視為線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率設(shè)，反思：這個(gè)解法計(jì)算量很大，主要是題目設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)不好，但齊次化思想還是清晰的。好題速遞372題在中，邊上的高與邊的長(zhǎng)相等，則的最大值為 解：由得則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)。同類題：在中，邊上的高與邊的長(zhǎng)相等，則的取值范圍是 解：，則由余弦定理有所以又，故好題速遞373題若沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個(gè)三棱錐，則稱這樣的為“和諧三角形”。設(shè)的三個(gè)內(nèi)角分別，則下列條件中

11、能夠確定為“和諧三角形”的有 ；解：本題是三角形翻折問(wèn)題，主要考查了一個(gè)結(jié)論：“三棱錐任意一個(gè)頂角引出的三條棱，兩兩構(gòu)成三個(gè)角，這三個(gè)角（三面角）有一個(gè)結(jié)論：任意兩個(gè)的和都大于第三個(gè)”PABCO先證明如下：如圖所示作面，作，則，作，則，因?yàn)?，所以，同理所以即三面角中的兩個(gè)之和大于第三個(gè)?；氐竭@道題目，形成的三棱錐的頂角的三面角恰好是原的三個(gè)內(nèi)角，又三面角中的兩個(gè)之和大于第三個(gè)，故這個(gè)為銳角三角形。故檢驗(yàn)四個(gè)條件，易知這三個(gè)條件構(gòu)成銳角三角形。好題速遞374題已知關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：看到本題時(shí)是不是第一反應(yīng)就是三次函數(shù)求導(dǎo)做呢？這確實(shí)是一個(gè)辦法，這里再?gòu)姆匠痰母?/p>

12、實(shí)就是函數(shù)的交點(diǎn)的角度，給出一個(gè)更妙的解法。既可以看成是關(guān)于的三次函數(shù)，也可以視為關(guān)于的二次函數(shù)即轉(zhuǎn)換主元得則所以，即或因?yàn)橐呀?jīng)有一個(gè)根，所以沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即，解得點(diǎn)評(píng)：這種轉(zhuǎn)換主元和方程根與函數(shù)交點(diǎn)互換的思想，在好題速遞367、286等題目中都有涉及。好題速遞375題已知是非零向量，則與的夾角為 解法一：幾何法如圖作則都是直角三角形是的中線，故是的中線，故所以是正三角形，所以與的夾角為解法二：代數(shù)法故，且，故與的夾角為好題速遞376題設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且它們成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合是 解：方程的根有且僅有三個(gè)，即左右兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)有且僅有三個(gè)，故考查函數(shù)與

13、的圖象這里要注意的圖象雖然隨著的變化在移動(dòng)，但是有規(guī)律的移動(dòng)，“V”型圖的尖底是沿著移動(dòng)的，而的圖象是確定不變的。由解得， 由解得，故畫出圖象只有兩種情況（兩個(gè)交點(diǎn)在第三象限，一個(gè)在第一象限（此時(shí)）或三個(gè)交點(diǎn)都在第一象限（此時(shí)）即（如左圖）或（如右圖）即或又因?yàn)榇藭r(shí)，故舍去綜上，好題速遞377題已知銳角的內(nèi)角，點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，若，則的取值范圍是 解法一：這是典型的求平面向量基本定理系數(shù)和問(wèn)題，常用“作三點(diǎn)共線”的辦法來(lái)解決。由，得，不妨如圖固定三點(diǎn)，因?yàn)槭卿J角三角形，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)為這樣就構(gòu)造出了系數(shù)和作直線與直線交于，于是作出了三點(diǎn)共線。因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以即，此處的由同向反

14、向決定顯然，當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，綜上，解法二：由，得，不妨如圖固定三點(diǎn)，因?yàn)槭卿J角三角形，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓半徑為1，建立坐標(biāo)系，則，由得，所以解法三：由，兩邊同時(shí)點(diǎn)積得即所以因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以好題速遞378題已知實(shí)數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：因?yàn)?，可將視為關(guān)于的方程的兩個(gè)大于的根故點(diǎn)評(píng)：本題是韋達(dá)定理的逆用和方程根的分布問(wèn)題。好題速遞379題已知中，點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，若，且，則面積的最大值為 解：取中點(diǎn)為，則又，所以三點(diǎn)共線又因?yàn)闉橄倚木啵怨?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)好題速遞380題若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，則 解：由是上的單調(diào)函數(shù)得存在唯一實(shí)數(shù)，

15、使得于是，即又，因?yàn)殛P(guān)于單調(diào)遞增，且所以必有，即故點(diǎn)評(píng)：本題的同類題有好題速遞318題好題速遞381題已知圓，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若圓上存在兩點(diǎn)，使得成立，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為 解：對(duì)于圓外一定點(diǎn)，當(dāng)都和圓相切時(shí)，最大當(dāng)時(shí)，四邊形構(gòu)成正方形，此時(shí)所以點(diǎn)在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)又在直線上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)的軌跡就是在圓內(nèi)部分，可求得其長(zhǎng)度為好題速遞382題已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：兩個(gè)一次絕對(duì)值之和的圖象是平底鍋，且當(dāng)時(shí)，顯然符合題意當(dāng)時(shí)，畫出圖象如圖所示，等價(jià)于函數(shù)的圖象任何一點(diǎn)都不能在圖象的上方，而的圖象是將圖象向右平移一個(gè)單位得到的。故，即，綜上得好題速遞383題已知函數(shù)

16、，其中，若有實(shí)數(shù)使得且同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：因?yàn)?，開(kāi)口向上，且且，所以滿足或因?yàn)槭谴嬖趯?shí)數(shù)，故或好題速遞384題已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 解：要求的目標(biāo)式可以視為點(diǎn)上半個(gè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)和到的距離之和注意到點(diǎn)恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)是直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：本題中出現(xiàn)平方加平方的式子，就要聯(lián)想幾何中的兩點(diǎn)間距離。解析幾何中遇到曲線上的一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離出現(xiàn)時(shí)，不妨馬上連結(jié)輔助線。求雙變量代數(shù)式的最值問(wèn)題，常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方式有：通過(guò)代換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值問(wèn)題；轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值；轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求最值；轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合求最值

17、。好題速遞385題已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰好有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：畫出的圖象如圖所示當(dāng)時(shí)，得或此時(shí)化為，若，則此時(shí)有兩解或，違背題意，故此時(shí)若，則關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解。結(jié)合圖象可知，可得若，則關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解。結(jié)合圖象可知，可得綜上，或好題速遞386題在正方形中，分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是 解：因?yàn)闉槎ㄖ担詢?yōu)先考慮使用極化恒等式設(shè)為的中點(diǎn)，則這來(lái)關(guān)鍵就要找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，注意到為直角三角形，是斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，故點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)故，即所以好題速遞387題在中，分別表示角所對(duì)的邊長(zhǎng)，為邊上的高，若，則的最大值是 解

18、法一：不妨設(shè)，則，這里求的最大值有技巧，我們注意到式子中有出現(xiàn)，因此考慮使用三角換元，設(shè)，則ABCD所以解法二：建系設(shè)點(diǎn)不妨設(shè)，則要使最大，顯然時(shí)更大則解法三：設(shè)，則即所以顯然是齊次化了，所以令，則解法四：，所以，令，則，即解得點(diǎn)評(píng)：這道解三角形的問(wèn)題，無(wú)論是建系還是平面幾何，最終都將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域的問(wèn)題求解。因此求取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)函數(shù)求值域還是主流思想。好題速遞388題已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線分別交雙曲線左、右支于另一點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為 解：由和，得如圖，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，故又因?yàn)?，所以所以在，由余弦定理可得，即好題

19、速遞389題已知函數(shù)（其中為常數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足：，則的值為 解：一般情況下，此函數(shù)可以合二為一為最小正周期是的周期函數(shù)，同時(shí)滿足條件和時(shí)，必有，與矛盾。所以只有一種特殊情況可以同時(shí)滿足三個(gè)條件，即兩個(gè)系數(shù)都為0，即，解得好題速遞390題已知向量，定義，其中，若，的取值范圍是 解法一：按條件，可如圖作出此時(shí)為圓的直徑，由且，可知在上的投影為即的終點(diǎn)落在的中垂線上（圖中虛線）又因?yàn)橛芍?，的終點(diǎn)共線，又由于，所以的終點(diǎn)在之間故當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，為臨界狀態(tài)，此時(shí)取得最大為1，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，此時(shí)取得最小為。解法二：如圖作矩形，所以因?yàn)?，所以所以，即解法三：如圖建系設(shè)點(diǎn)，由得所以，所以，即好題速遞391題在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)（異于原點(diǎn)）為軸上的定點(diǎn)，若以為直徑的圓與圓相外切，且的大小為定值，則線段的長(zhǎng)為 解：設(shè)以為直徑的圓的圓心為，半徑為則由兩圓外切得而，因?yàn)榈拇笮槎ㄖ?，故上式與無(wú)關(guān)，則，此時(shí)為定值。點(diǎn)評(píng)