高中數(shù)學好題速遞400題（351—400）

1、好題速遞351題對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為 解：令則當且僅當，即時取得等號。故，即點評：本題因為分母比較復雜不整潔，所以將分母進行換元是常見的方法。好題速遞352題若向量滿足，則的最大值為 。解：由極化恒等變形得，故即即故好題速遞353題已知函數(shù)，且。對恒成立，則的最小值為 。解法一：齊次化思想根據(jù)條件有，則因此令，則解法二：由題意可知，即此時已經(jīng)轉成齊次式了，所以分子分母同除則當且僅當及時，即時取得。解法三：根據(jù)條件有，則故令得當且僅當及時取得最小值，即時取得。解法四：令，得，代入得解法五：待定系數(shù)法假設，化簡為又故比對系數(shù)得，得因為，所以因為，所以好題速遞354題空間四點滿

2、足，則的值為 。解：ABCD2347點評：這里用到了向量點積的余弦定理形式，即好題速遞355題已知圓，直線，在圓上，在直線上，滿足，則的最大值為 解：設，所以因為，故知就是繞著順時針或逆時針旋轉得到所以或即或在圓上，所以或即或兩個方程中有一個有解即可，所以或綜上， 好題速遞356題已知實數(shù)滿足關系式，則的最小值是 解法一：題干中出現(xiàn)的全是兩數(shù)的和、平方和與乘積，所以考慮用均值不等式鏈條。由或所以點評：這里注意因為題干中沒有告訴我們的正負性，所以不能直接用來求的取值范圍，所以改為用重要不等式來來做。雖然答案正好一樣，但做法要注意。解法二：遇到結構，所以用代數(shù)的極化恒等式變形。令，則問題轉變?yōu)橐阎?/p>

3、，求的最小值。因為所以還需要計算定義域，即所以解法三：設，則視為的兩根所以所以或當且僅當時取得最小值。好題速遞357題已知點為圓與圓的公共點，圓，圓，若，則點與直線上任意一點之間的距離的最小值為 解：設，則，所以，即同理所以是方程的兩個實根所以所以點的軌跡方程為所以點到直線的最短距離為好題速遞358題已知向量滿足，則的取值范圍是 解：（一）幾何角度由和可以畫圖，找到向量模長的幾何意義。OABCDba-2b31解法一：基底法因為因為三者都未知，屬于一問三不知問題，所以考慮轉基底做。那么題目中哪些向量適合做基底呢？顯然兩個向量長度已知，適合做基底。（這里夾角未知是應該的，不然整個圖就確定下來，就不

4、會是求最小值了。）所以由三點共線，且，可知所以OABCDba-2b31解法二：解三角形設，則在與中運用余弦定理得解得又在中，利用三角形兩邊之和大于等于第三邊得，即所以（二）代數(shù)角度解法三：換元思想令，則反解得，且所以這個做法本質上其實就是轉基底，只是不是從幾何圖形出發(fā)，采用換元法。解法四：平方角度我們常說：“向量的模長一次想幾何，二次想代數(shù)運算”，所以本題的兩個條件也可以平方。即，這里將解得三者視為整體，那么就屬于“三個字母，兩個方程，少一個，求取值范圍，合情合理！”的問題所以用要求的表示得所以由題干知，即即即所以故解法五：在解法四的基礎上，也可解得所以要求的最小值，只需要求的最小值即可這里用

5、代數(shù)中的三角不等式“”來解決。由，即，所以所以好題速遞359題（2015天津文科第14題）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調遞增，且函數(shù)的圖像關于直線對稱，則的值為 解：由在區(qū)間內(nèi)單調遞增，且函數(shù)的圖像關于直線對稱，可得，且，得所以，得好題速遞360題若橢圓過橢圓中心的直線交橢圓于兩點，是橢圓右焦點，則的周長的最小值為 ，的面積的最大值為 解：連接，則由橢圓的中心對稱性可得好題速遞361題（2015湖北理科第10題）設，表示不超過的最大整數(shù). 若存在實數(shù)，使得，同時成立，則正整數(shù)的最大值是 解：由得由得由得，所以由得，所以由得與矛盾，故正整數(shù)的最大值是4好題速遞362題過點的直線交圓于點，為坐標原點

6、，若在線段上的滿足，則 解：設，直線則，由得由得所以，所以所以整理得點滿足的軌跡方程為所以好題速遞363題如圖，已知點為的邊上一點，為邊上一列點，滿足，其中數(shù)列滿足，則的通項公式為 解：由可得又，且故即因為不共線，故，兩式相除消去得，又，所以好題速遞364題若點在圓:上運動,點在軸上運動,則對定點而言,的最小值為 解法1：設,則.若設,則由題意可得.即,點在以為圓心,以為半徑的圓:上.由圓與圓有公共點可得,從而.解法2：設,則.從而,.解法3：由點在圓上可設,則.故.解法4：設為的中點,則,過作軸的垂線,垂足分別為.由于,因此,即.解法5：設為點關于點的對稱點，則.由于點在直線上,點在圓:上可

7、得.解法6：同解法5，設為點關于點的對稱點,則.由于點在圓:上,點在軸上可得好題速遞365題設實數(shù)滿足，則的取值范圍為 解：可行域如圖所示，所以設點是可行域內(nèi)一動點，目標函數(shù)既是關于的減函數(shù)，又是關于的減函數(shù)所以當點與點重合時，此時取得最大值4，同時取得最大值2，此時取得最小值為對于每一個固定的的值，要使取得最大值，應使取得最小值，即點應位于線段上，此時所以，此時與點重合綜上所述，好題速遞366題已知點是雙曲線右支上兩個不同的動點，為坐標原點，則的最小值為 解法一：韋達定理當存在時，設當不存在是，則綜上，解法二：由于兩點運動，故采取“一定一動”的原則，不妨先在點確定的情況下，讓點運動到最小值，

8、然后再讓點運動，即取最小值的最小值。如圖，不妨設直線由，可得，故顯然點運動到，在點處的雙曲線的切線（即）與垂直時，此時在上的投影達到最小值此時切線的方程為故在上的投影等于點到直線的距離為故解法三：設又因為，所以所以解法四：設，兩式相乘得即等式兩邊同時加上，得故解法五：三角換元設，所以解法六：前同解法五，令，則故故即故，又因為，所以，好題速遞367題設關于的方程和的實根分別為和，若，則的取值范圍是 解：在同一個坐標系中畫出和的圖象如圖所示由，化簡得顯然有根，故可因式分解為解得或或當時，；當時，由圖可知，好題速遞368題設，關于的方程的四個實根構成以為公比的等比數(shù)列，若，則的取值范圍是 解：設等比

9、數(shù)列為，從而有由題意知令，故在上單調遞增，故好題速遞369題已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為 解法一：設橢圓的半長軸長，半短軸長，離心率為，雙曲線的半長軸長，半短軸長，離心率為，共同的半焦距為則，則在中應用余弦定理得化簡得，即，問題要求的取值范圍。設，則解法二：在中運用正弦定理得當且僅當時取得等號。好題速遞370題已知函數(shù)，且，集合，則（ ）A，都有 B，都有C，使得 D，使得解：有題干條件可知于是函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，由和知一個零點為1，另一個零點結合選項知問題就是研究兩個零點間的距離與3的大小關系，即與的大小關系。因為故畫

10、出大致圖象知兩個零點間的距離小于3，故A選項正確。好題速遞371題若正數(shù)滿足，則的最小值為 解法一：分母復雜時采取換元。令，則問題變?yōu)橐阎蟮淖钚≈?。當且僅當，即，時取得等號。解法二：齊次化記，視為線段上的點與坐標原點連線的斜率設，反思：這個解法計算量很大，主要是題目設計的數(shù)據(jù)不好，但齊次化思想還是清晰的。好題速遞372題在中，邊上的高與邊的長相等，則的最大值為 解：由得則當且僅當時，取得等號。同類題：在中，邊上的高與邊的長相等，則的取值范圍是 解：，則由余弦定理有所以又，故好題速遞373題若沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個三棱錐，則稱這樣的為“和諧三角形”。設的三個內(nèi)角分別，則下列條件中

11、能夠確定為“和諧三角形”的有 ；解：本題是三角形翻折問題，主要考查了一個結論：“三棱錐任意一個頂角引出的三條棱，兩兩構成三個角，這三個角（三面角）有一個結論：任意兩個的和都大于第三個”PABCO先證明如下：如圖所示作面，作，則，作，則，因為，所以，同理所以即三面角中的兩個之和大于第三個?；氐竭@道題目，形成的三棱錐的頂角的三面角恰好是原的三個內(nèi)角，又三面角中的兩個之和大于第三個，故這個為銳角三角形。故檢驗四個條件，易知這三個條件構成銳角三角形。好題速遞374題已知關于的方程有且只有一個實根，則實數(shù)的取值范圍是 解：看到本題時是不是第一反應就是三次函數(shù)求導做呢？這確實是一個辦法，這里再從方程的根其

12、實就是函數(shù)的交點的角度，給出一個更妙的解法。既可以看成是關于的三次函數(shù)，也可以視為關于的二次函數(shù)即轉換主元得則所以，即或因為已經(jīng)有一個根，所以沒有實數(shù)根，即，解得點評：這種轉換主元和方程根與函數(shù)交點互換的思想，在好題速遞367、286等題目中都有涉及。好題速遞375題已知是非零向量，則與的夾角為 解法一：幾何法如圖作則都是直角三角形是的中線，故是的中線，故所以是正三角形，所以與的夾角為解法二：代數(shù)法故，且，故與的夾角為好題速遞376題設函數(shù)，若關于的方程有且僅有三個不同的實數(shù)根，且它們成等差數(shù)列，則實數(shù)的取值構成的集合是 解：方程的根有且僅有三個，即左右兩個函數(shù)的交點有且僅有三個，故考查函數(shù)與

13、的圖象這里要注意的圖象雖然隨著的變化在移動，但是有規(guī)律的移動，“V”型圖的尖底是沿著移動的，而的圖象是確定不變的。由解得， 由解得，故畫出圖象只有兩種情況（兩個交點在第三象限，一個在第一象限（此時）或三個交點都在第一象限（此時）即（如左圖）或（如右圖）即或又因為此時，故舍去綜上，好題速遞377題已知銳角的內(nèi)角，點為三角形外接圓的圓心，若，則的取值范圍是 解法一：這是典型的求平面向量基本定理系數(shù)和問題，常用“作三點共線”的辦法來解決。由，得，不妨如圖固定三點，因為是銳角三角形，所以點在上運動，取的中點為這樣就構造出了系數(shù)和作直線與直線交于，于是作出了三點共線。因為三點共線，所以即，此處的由同向反

14、向決定顯然，當點位于時，當點位于時，綜上，解法二：由，得，不妨如圖固定三點，因為是銳角三角形，所以點在上運動，設圓半徑為1，建立坐標系，則，由得，所以解法三：由，兩邊同時點積得即所以因為是銳角三角形，所以，所以好題速遞378題已知實數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是 解：因為，可將視為關于的方程的兩個大于的根故點評：本題是韋達定理的逆用和方程根的分布問題。好題速遞379題已知中，點為三角形外接圓的圓心，若，且，則面積的最大值為 解：取中點為，則又，所以三點共線又因為為弦心距，所以故，所以當且僅當時取得等號好題速遞380題若函數(shù)是上的單調函數(shù)，且對任意的實數(shù)都有，則 解：由是上的單調函數(shù)得存在唯一實數(shù)，

15、使得于是，即又，因為關于單調遞增，且所以必有，即故點評：本題的同類題有好題速遞318題好題速遞381題已知圓，點在直線上運動，若圓上存在兩點，使得成立，則點運動的軌跡長度為 解：對于圓外一定點，當都和圓相切時，最大當時，四邊形構成正方形，此時所以點在圓內(nèi)運動，點又在直線上運動，故點的軌跡就是在圓內(nèi)部分，可求得其長度為好題速遞382題已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，若集合，則實數(shù)的取值范圍是 解：兩個一次絕對值之和的圖象是平底鍋，且當時，顯然符合題意當時，畫出圖象如圖所示，等價于函數(shù)的圖象任何一點都不能在圖象的上方，而的圖象是將圖象向右平移一個單位得到的。故，即，綜上得好題速遞383題已知函數(shù)

16、，其中，若有實數(shù)使得且同時成立，則實數(shù)的取值范圍是 解：因為，開口向上，且且，所以滿足或因為是存在實數(shù)，故或好題速遞384題已知實數(shù)滿足，則的最小值是 解：要求的目標式可以視為點上半個橢圓上的點到點和到的距離之和注意到點恰好是橢圓的右焦點，設左焦點為所以當且僅當點三點共線時取得等號，此時點是直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點。點評：本題中出現(xiàn)平方加平方的式子，就要聯(lián)想幾何中的兩點間距離。解析幾何中遇到曲線上的一個點到一個焦點的距離出現(xiàn)時，不妨馬上連結輔助線。求雙變量代數(shù)式的最值問題，常見的轉化方式有：通過代換轉化為一元函數(shù)求最值問題；轉化為均值不等式求最值；轉化為線性規(guī)劃求最值；轉化為數(shù)形結合求最值

17、。好題速遞385題已知函數(shù)，若關于的不等式恰好有一個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 解：畫出的圖象如圖所示當時，得或此時化為，若，則此時有兩解或，違背題意，故此時若，則關于的不等式恰有一個整數(shù)解。結合圖象可知，可得若，則關于的不等式恰有一個整數(shù)解。結合圖象可知，可得綜上，或好題速遞386題在正方形中，分別是邊上的兩個動點，且，則的取值范圍是 解：因為為定值，所以優(yōu)先考慮使用極化恒等式設為的中點，則這來關鍵就要找到點的運動軌跡，注意到為直角三角形，是斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，故點在以為圓心，為半徑的圓弧上運動故，即所以好題速遞387題在中，分別表示角所對的邊長，為邊上的高，若，則的最大值是 解

18、法一：不妨設，則，這里求的最大值有技巧，我們注意到式子中有出現(xiàn)，因此考慮使用三角換元，設，則ABCD所以解法二：建系設點不妨設，則要使最大，顯然時更大則解法三：設，則即所以顯然是齊次化了，所以令，則解法四：，所以，令，則，即解得點評：這道解三角形的問題，無論是建系還是平面幾何，最終都將目標轉化為函數(shù)求值域的問題求解。因此求取值范圍問題轉函數(shù)求值域還是主流思想。好題速遞388題已知雙曲線的左右焦點分別為，為坐標原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線分別交雙曲線左、右支于另一點，若，且，則雙曲線的離心率為 解：由和，得如圖，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，故又因為，所以所以在，由余弦定理可得，即好題

19、速遞389題已知函數(shù)（其中為常數(shù)，若實數(shù)滿足：，則的值為 解：一般情況下，此函數(shù)可以合二為一為最小正周期是的周期函數(shù)，同時滿足條件和時，必有，與矛盾。所以只有一種特殊情況可以同時滿足三個條件，即兩個系數(shù)都為0，即，解得好題速遞390題已知向量，定義，其中，若，的取值范圍是 解法一：按條件，可如圖作出此時為圓的直徑，由且，可知在上的投影為即的終點落在的中垂線上（圖中虛線）又因為由知，的終點共線，又由于，所以的終點在之間故當運動到時，為臨界狀態(tài)，此時取得最大為1，當運動到時，此時取得最小為。解法二：如圖作矩形，所以因為，所以所以，即解法三：如圖建系設點，由得所以，所以，即好題速遞391題在平面直角坐標系中，為軸正半軸上兩個動點，點（異于原點）為軸上的定點，若以為直徑的圓與圓相外切，且的大小為定值，則線段的長為 解：設以為直徑的圓的圓心為，半徑為則由兩圓外切得而，因為的大小為定值，故上式與無關，則，此時為定值。點評