高中數(shù)學(xué)（萬(wàn)祥富）

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在中學(xué)教學(xué)中的作用城關(guān)中學(xué) 萬(wàn) 祥 富關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)；概率論；數(shù)理統(tǒng)計(jì)（一）概率統(tǒng)計(jì)在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)在概率論發(fā)展的早期階段，研究的主要是古典概率。在早期階段所針對(duì)的是基本事件數(shù)有限的情況，為確定事件概率，只需計(jì)算各種可能出現(xiàn)的情況便可。然而隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，以及對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的強(qiáng)烈需求，一些數(shù)學(xué)家在一開始就注意到把等可能思想推廣到含有無(wú)限多個(gè)可能性事件的情況，從而產(chǎn)生了幾何概率。從古典概率發(fā)展到幾何概率，體現(xiàn)出從有限到無(wú)限的極限過程。筆者在教學(xué)過程中，深刻地認(rèn)識(shí)到高中概率統(tǒng)計(jì)中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)思想，如：比例思想；補(bǔ)集思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類討論思想；數(shù)學(xué)模型思想。不管

2、是這其中的那種數(shù)學(xué)思想，其實(shí)質(zhì)均為隨機(jī)性數(shù)學(xué)思想。教師在授課課程中注重概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生隨機(jī)性思維品質(zhì)，且這種品質(zhì)不同于以前的那種類似于“書呆子”式的一成不變。學(xué)生在長(zhǎng)期的確定性數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，習(xí)慣于用純粹的、確定性的方法來(lái)描述和解決問題，習(xí)慣于任何數(shù)學(xué)問題只有唯一的準(zhǔn)確答案，一旦遇到不確定性的問題并束手無(wú)策。本質(zhì)上我們所能夠遇到的問題絕大多數(shù)為隨機(jī)性情形，隨即現(xiàn)象是概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)方，通過重復(fù)試驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象。新編高中數(shù)學(xué)教材在講述概率時(shí)是通過給出若干個(gè)事件引導(dǎo)學(xué)生分析其特點(diǎn)然后自然引出隨即事件的定義后逐步展開的。結(jié)合筆者實(shí)際的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這種編排有利于

3、打破傳統(tǒng)教學(xué)中給予學(xué)生的思維定勢(shì)，培養(yǎng)隨機(jī)性的發(fā)散思維，能夠更為靈活地解決愈加復(fù)雜的問題。教學(xué)中，教師可充分利用這一有利時(shí)機(jī)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從身邊的實(shí)際入手，各抒己見，列舉出更多的事件，讓學(xué)生自覺、能動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)的全過程。這樣通過師生互動(dòng)，理清“隨機(jī)”的內(nèi)涵，真正認(rèn)識(shí)到廣泛存在于現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)概率事件。同時(shí)這一過程中，可讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的必要性，增強(qiáng)培養(yǎng)隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維學(xué)好概率統(tǒng)計(jì)的自覺意識(shí)。（二）概率統(tǒng)計(jì)有利于高中生開展研究性學(xué)習(xí)由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解決的是一類隨機(jī)性問題，而隨機(jī)性問題往往需學(xué)生投入更多時(shí)間來(lái)思考，而這種思考常會(huì)激發(fā)學(xué)生積極地開展研究性學(xué)習(xí)，加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的把握和客

4、觀世界的理解。解決概率統(tǒng)計(jì)問題，便沒有一成不變的解決方法和問題答案，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)只是把知識(shí)點(diǎn)弄清楚，而概率統(tǒng)計(jì)不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，是要求采取適當(dāng)?shù)姆椒?，在老師的引?dǎo)下積極發(fā)揮學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)他們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題中的探索精神。結(jié)合筆者的實(shí)際教學(xué)情況，數(shù)學(xué)開放性問題一般都具有一定的挑戰(zhàn)性，而這種開放性更多地蘊(yùn)涵于概率統(tǒng)計(jì)中，并側(cè)重于學(xué)生解決問題的思路和策略，而不是問題的答案，這能夠誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力，調(diào)動(dòng)和發(fā)揮學(xué)生的非智力因素，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力、創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí)，這些都與“新教改”的目標(biāo)和要求是吻合一致的。因此針對(duì)眾多的含概率統(tǒng)計(jì)思想的數(shù)學(xué)開放問題非常

5、適宜于學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)。教師在設(shè)計(jì)、選擇開放題時(shí)應(yīng)盡量做到貼近真實(shí)的生活環(huán)境，使學(xué)生能充分地意識(shí)到數(shù)學(xué)的有用之處和巧妙之處，而不是認(rèn)為數(shù)學(xué)是毫無(wú)用處的，因此來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，并激發(fā)學(xué)生的求知欲和進(jìn)取精神。（三） 概率統(tǒng)計(jì)有利于培養(yǎng)高中生的創(chuàng)新能力隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，世界正從傳統(tǒng)的工業(yè)時(shí)代向現(xiàn)代化的信息時(shí)代邁進(jìn)，知識(shí)經(jīng)濟(jì)已初見端倪，而知識(shí)經(jīng)濟(jì)的核心在于創(chuàng)新，這對(duì)高中教育和高中學(xué)生同時(shí)提出了更高的要求。高中數(shù)學(xué)教育只有不斷地適應(yīng)時(shí)代深化改革，培養(yǎng)出的學(xué)生才能具備相關(guān)的創(chuàng)新素質(zhì)與能力，以適應(yīng)知識(shí)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要。長(zhǎng)期以來(lái)，受傳統(tǒng)教學(xué)

6、思想的影響，數(shù)學(xué)教育習(xí)慣以傳授知識(shí)、訓(xùn)練解題技能為主要方式，以教學(xué)內(nèi)容的單一性和穩(wěn)定性為基本出發(fā)點(diǎn)，牢牢地束縛了學(xué)生的思維，只得被動(dòng)地接受標(biāo)準(zhǔn)而單一的答案，不允許自由發(fā)揮。在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)沒有得到足夠的重視，只是滿足于考試成績(jī)的合格，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力被忽略。對(duì)于現(xiàn)代教育來(lái)說，知識(shí)的獲取不再是教育的最終目的，而是認(rèn)識(shí)科學(xué)本質(zhì)、掌握學(xué)習(xí)方法、培養(yǎng)思維能力的手段，強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)和體驗(yàn)知識(shí)這一過程，而不是簡(jiǎn)單地重復(fù)知識(shí)或是完成考試。教育思想和教育觀念是教育改革的先導(dǎo)，而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力是適應(yīng)教育思想轉(zhuǎn)變的需要，其關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的方法和勇于探究實(shí)際問

7、題的精神。在這一教育改革過程中，學(xué)生的動(dòng)手和創(chuàng)新能力在解決實(shí)際問題中得到培養(yǎng)，這是傳統(tǒng)教育與現(xiàn)代教育最重要的區(qū)別。因此我們有必要讓學(xué)生樹立概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本數(shù)學(xué)理念，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)它的興趣，最后達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的理論與實(shí)踐創(chuàng)新能力。雖然概率統(tǒng)計(jì)對(duì)于培養(yǎng)高中生的創(chuàng)新能力有種重要的作用，但一般學(xué)生均會(huì)覺得概率統(tǒng)計(jì)學(xué)起來(lái)非常困難，但正是這一感覺困難的學(xué)習(xí)過程，便是培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)踐創(chuàng)新能力的過程。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)難學(xué)與難教的主要原因是這門課程的理念與其他的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的理念不同。學(xué)生從小學(xué)到初中再到高中，在頭腦中樹立的主要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課和專業(yè)課的理念是確定性的，比如：同性電荷相斥，異性電荷相吸引；太陽(yáng)必定

8、從東方升起，從西方落下，等等。而不同于原有的確定性原理，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，要想使學(xué)生學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，就必須讓學(xué)生具備概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思維理念，即如何揭示隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。而且有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展歷史豐富多彩，這一多彩的發(fā)展歷史在無(wú)形中培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。另外，概率統(tǒng)計(jì)的歷史故事隱約體現(xiàn)了一條哲理：不要把數(shù)學(xué)想得那么艱難晦澀，不可捉摸，它只不過是現(xiàn)實(shí)生活的升華而已。同時(shí)也驗(yàn)證了E. Knuth的話：我所知道的每一點(diǎn)數(shù)學(xué)都以這樣那樣的方式在實(shí)際應(yīng)用中幫了我的忙。在有關(guān)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)認(rèn)知和學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的創(chuàng)新能力得到逐步的培養(yǎng)，并具有了一

9、定的能力去解決實(shí)際生活中的科學(xué)問題。學(xué)生在這一過程中培養(yǎng)自身的創(chuàng)新能力，還需學(xué)校和老師在教學(xué)方法和手段上進(jìn)行創(chuàng)新，以提高學(xué)生自我學(xué)習(xí)和研究的興趣與精神。重視概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念和基本思想，幫助學(xué)生逐步加深理解和認(rèn)識(shí)概率統(tǒng)計(jì)，“與時(shí)俱進(jìn)”地重新審視基礎(chǔ)知識(shí)與技能。在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，我國(guó)各階段的數(shù)學(xué)教學(xué)均對(duì)“雙基”訓(xùn)練一直高度重視，但是隨著新標(biāo)準(zhǔn)的誕生，以及教學(xué)改革中存在的不足，仍然與發(fā)達(dá)國(guó)家存在著差距，導(dǎo)致學(xué)生有著很強(qiáng)的計(jì)算能力，卻在面對(duì)較為復(fù)雜的實(shí)際問題時(shí)往往束手無(wú)策。雖然通過加強(qiáng)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生處理實(shí)際問題的能力，但是如果學(xué)生在概率統(tǒng)計(jì)方面的基礎(chǔ)存在不足的話，那么也會(huì)影響他們運(yùn)

10、用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。所以我們有必要在傳統(tǒng)教學(xué)改革的基礎(chǔ)上，增強(qiáng)學(xué)生在概率統(tǒng)計(jì)方面的基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)他們隨機(jī)性思維品質(zhì)，提高處理復(fù)雜的實(shí)際問題的能力。雖然我們經(jīng)常呼吁理論聯(lián)系實(shí)際，但由于在鞏固知識(shí)與“雙基”訓(xùn)練上花費(fèi)了大量的時(shí)間，在這次改革中，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分力求顯示其數(shù)學(xué)思想，關(guān)注學(xué)生的整體認(rèn)識(shí)水平，使學(xué)生能使所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)能有效地揭示?？陀^世界事物的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律，能反映事物間的相互聯(lián)系，而概率統(tǒng)計(jì)的思想在中學(xué)貫穿于每一種場(chǎng)合，打好這一基礎(chǔ)，使學(xué)生體會(huì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在生活中的廣泛應(yīng)用。根據(jù)社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，以及學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的夜店和認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的變化，通過夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，能夠促進(jìn)

11、他們逐步上升。在具體的操作過程中，我們要本著數(shù)學(xué)思維品質(zhì)之上的原則，擯棄那些重復(fù)性和過于復(fù)雜的公式計(jì)算，在教學(xué)條件和環(huán)境許可的情形下，適當(dāng)?shù)卦鲈O(shè)一些探索性和開放性的數(shù)學(xué)問題，最好能夠達(dá)到寓教于樂的境界，并在這一過程中不知不覺地促進(jìn)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的提高。這種改革與變化的出現(xiàn)，可以減少學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而將剩余的時(shí)間轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)問題的思考上來(lái)，而不是死記硬背和死板的公式計(jì)算。當(dāng)然，對(duì)一些有探索性的問題進(jìn)行引入時(shí)，應(yīng)以學(xué)生所學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)為起點(diǎn)，應(yīng)充分體現(xiàn)學(xué)生的自主性和合作交流的能力，避免因?yàn)閱栴}過難而打擊學(xué)生的積極性，削弱他們思考的積極性，否則會(huì)導(dǎo)致得不償失。這樣我們可以在真正意義上增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問

12、題的能力，加強(qiáng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，主要可以通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在討論問題的過程中學(xué)習(xí)有關(guān)材料的選取，都從實(shí)際問題出發(fā)，對(duì)概念的理解都放在現(xiàn)實(shí)情境中加以領(lǐng)會(huì)，應(yīng)盡量使學(xué)生熟悉事物的題材，鼓勵(lì)組織學(xué)生進(jìn)行調(diào)查研究，學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。（四）提供實(shí)踐機(jī)會(huì)，加深學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)解決實(shí)際問題的理解在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，只有給學(xué)生提供充足的實(shí)踐機(jī)會(huì)，這種實(shí)踐不一定是非要學(xué)生在生活中利用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決實(shí)際問題，也可讓學(xué)生在課堂中親自經(jīng)歷與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的活動(dòng)，有意識(shí)地培養(yǎng)他們從概率統(tǒng)計(jì)的角度地考慮有關(guān)問題，學(xué)會(huì)收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)，直正地投入到利用統(tǒng)計(jì)與概率解決實(shí)際問題的探索

13、活動(dòng)當(dāng)中，加深學(xué)生對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解決實(shí)際問題的理解。概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)主要用來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念，了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義，隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性。概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的目標(biāo)是要求學(xué)生對(duì)基本的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的掌握，發(fā)展隨機(jī)性思維能力，不應(yīng)過多地將時(shí)間應(yīng)用于計(jì)算，教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生盡可能運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)來(lái)處理數(shù)據(jù)，進(jìn)行模擬活動(dòng)，更好地體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想和概率的意義，如可以模擬擲硬幣的試驗(yàn)等。另外在實(shí)際的教學(xué)過程中，我們不應(yīng)該讓概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)同以往的“題海戰(zhàn)術(shù)”那樣淹沒在“數(shù)據(jù)計(jì)算”中，重點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生在真實(shí)環(huán)境下加深對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理解，進(jìn)而在這種基礎(chǔ)上解決實(shí)際問題。為達(dá)到這種目的，我們?cè)诟怕收撆c

14、數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中要有意識(shí)地靠編制事件、提出課題、處理實(shí)際問題，當(dāng)然如果能夠多利用生活中的案例進(jìn)行教學(xué)最好不過。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)所涉及到的是現(xiàn)實(shí)世界中一些對(duì)象，即是針對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的具體案例（該具體案例可能是虛構(gòu)的），運(yùn)用適當(dāng)?shù)氖侄闻c方法來(lái)解決這一問題，利用之前的有關(guān)知識(shí)來(lái)對(duì)相關(guān)結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，提供對(duì)方可供選擇和處理的可行性方案。如用某產(chǎn)品的銷售情況，預(yù)測(cè)未來(lái)的情況。也可以通過實(shí)驗(yàn)，人為地創(chuàng)設(shè)條件，將其與別的社會(huì)實(shí)際問題聯(lián)系起來(lái)，或者利用計(jì)算機(jī)（器）產(chǎn)生一些隨機(jī)數(shù)模擬實(shí)際問題，總之現(xiàn)實(shí)生活中有許許多多的事例可供研究。在新標(biāo)準(zhǔn)中有一條理念：倡導(dǎo)積極主動(dòng)，用于探索學(xué)習(xí)方式。在實(shí)際操作過程中，這種學(xué)習(xí)方式更多的是面對(duì)實(shí)際案例，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)只是來(lái)解決實(shí)際問題。這種方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。而統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容形式多樣，結(jié)合實(shí)際提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生形成主動(dòng)的，多樣的學(xué)習(xí)方式，養(yǎng)成獨(dú)立思考，積極探索的習(xí)慣。弗賴登塔爾關(guān)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育說過：“學(xué)校數(shù)學(xué)主要是活動(dòng)的、操作的”。前面所描述的一切，歸根結(jié)底在于要為學(xué)生多提供實(shí)踐機(jī)會(huì)，這種實(shí)踐機(jī)會(huì)可以是生活中的實(shí)際案例，也可以是教師在課堂上編造的切合實(shí)際的例題，在這種貼近實(shí)際生活的教