電磁感應(yīng)中滑軌問題歸類例析

1、電磁感應(yīng)中“滑軌”問題歸類例析馮德強(qiáng) （南菁高級中學(xué) 214400 江蘇）導(dǎo)體桿在磁場中運(yùn)動切割磁感線產(chǎn)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是歷年高考的一個熱點(diǎn)問題。因此在高三復(fù)習(xí)階段有必要對此類問題進(jìn)行歸類總結(jié)，使學(xué)生更好的掌握、理解它的內(nèi)涵。筆者作了一個粗淺的歸類，請讀者批評指正。通過研究各種題目，我認(rèn)為電磁感應(yīng)中“滑軌”問題，最后要探討的問題不外乎以下幾種：1、運(yùn)動分析：穩(wěn)定運(yùn)動的性質(zhì)（可能為靜止、勻速運(yùn)動、勻加速運(yùn)動）、求出穩(wěn)定的速度或加速度、求達(dá)到穩(wěn)定的過程中發(fā)生的位移或相對位移等2、分析運(yùn)動過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電流、討論某兩點(diǎn)間的電勢差等3、分析有關(guān)能量轉(zhuǎn)化的問題：如產(chǎn)生的電熱、機(jī)械功率等4、求通過回路的

2、電量 解題的方法、思路通常是首先進(jìn)行受力分析和運(yùn)動分析。然后運(yùn)用動量守恒或動量定理以及能量守恒建立方程。按照不同的情景模型，我分成單桿滑、雙桿滑以及軌道滑三種情況舉例分析。一、“單桿”滑切割磁感線型1、桿與電阻連接組成回路例1、如圖所示，MN、PQ是間距為L的平行金屬導(dǎo)軌，置于磁感強(qiáng)度為B、方向垂直導(dǎo)軌所在平面向里的勻強(qiáng)磁場中，M、P間接有一阻值為R的電阻一根與導(dǎo)軌接觸良好、阻值為R2的金屬導(dǎo)線ab垂直導(dǎo)軌放置（1）若在外力作用下以速度v向右勻速滑動，試求ab兩點(diǎn)間的電勢差。（2）若無外力作用，以初速度v向右滑動，試求運(yùn)動過程中產(chǎn)生的熱量、通過ab電量以及ab發(fā)生的位移x。解析：（1）ab運(yùn)動

3、切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢E，所以ab相當(dāng)于電源，與外電阻R構(gòu)成回路。Uab=（2）若無外力作用則ab在安培力作用下做減速運(yùn)動，最終靜止。動能全部轉(zhuǎn)化為電熱。由動量定理得：即，。，。例2、如右圖所示，一平面框架與水平面成37°角，寬L=0.4 m，上、下兩端各有一個電阻R01 ，框架的其他部分電阻不計(jì)，框架足夠長.垂直于框平面的方向存在向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B2T.ab為金屬桿，其長度為L0.4 m，質(zhì)量m0.8 kg，電阻r0.5，棒與框架的動摩擦因數(shù)0.5.由靜止開始下滑，直到速度達(dá)到最大的過程中，上端電阻R0產(chǎn)生的熱量Q00.375J(已知sin37°0.6，cos

4、37°=0.8；g取10ms2)求：(1)桿ab的最大速度；(2)從開始到速度最大的過程中ab桿沿斜面下滑的距離；在該過程中通過ab的電荷量.解析：該題是一道考察電磁感應(yīng)、安培力、閉合電路歐姆定律及力學(xué)有關(guān)知識的綜合題，解題的關(guān)鍵是要正確分析金屬桿的運(yùn)動及受力的變化情況。（1） 桿ab達(dá)到平衡時的速度即為最大速度v，這時mgsinF =0，N=mgcosF=mg（sincos）總電阻，得克服磁場力所做的功數(shù)值上等于產(chǎn)生的總電能即，由動能定理：通過ab的電荷量，代入數(shù)據(jù)得q2 C2、桿與電容器連接組成回路例3、如圖所示, 豎直放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌, 相距l(xiāng) , 導(dǎo)軌一端接有一個電容器

5、, 電容量為C, 勻強(qiáng)磁場垂直紙面向里, 磁感應(yīng)強(qiáng)度為B, 質(zhì)量為m的金屬棒ab可緊貼導(dǎo)軌自由滑動. 現(xiàn)讓ab由靜止下滑, 不考慮空氣阻力, 也不考慮任何部分的電阻和自感作用. 問金屬棒的做什么運(yùn)動？棒落地時的速度為多大？ 解析：ab在mg 作用下加速運(yùn)動，經(jīng)時間 t ，速度增為v，a =v / t產(chǎn)生感應(yīng)電動勢 E=Bl v 電容器帶電量 Q=CE=CBl v，感應(yīng)電流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a產(chǎn)生安培力F=BIl =CB2 l 2a，由牛頓運(yùn)動定律 mg-F=mama= mg - CB2 l 2a ，a= mg / (m+C B2 l 2)ab做初速為零的勻加直線運(yùn)動, 加速

6、度 a= mg / (m+C B2 l 2)落地速度為abCv0例4、光滑U型金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，左端連接有一電容為C的電容器，現(xiàn)給棒一個初速v0，使棒始終垂直框架并沿框架運(yùn)動，如圖所示。求導(dǎo)體棒的最終速度。解析：當(dāng)金屬棒ab做切割磁力線運(yùn)動時，要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當(dāng)ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運(yùn)動時，有：BLv=UC=q/C而對導(dǎo)體棒ab利用動量定理可得：-BLq=mv-mv0 由上述二式可求得： 3、桿與電源連接組成回路例5、如圖所示，長平行導(dǎo)軌PQ、MN光滑，相距m，處在同一水平面中，

7、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.8T的勻強(qiáng)磁場豎直向下穿過導(dǎo)軌面橫跨在導(dǎo)軌上的直導(dǎo)線ab的質(zhì)量m =0.1kg、電阻R =0.8，導(dǎo)軌電阻不計(jì)導(dǎo)軌間通過開關(guān)S將電動勢E =1.5V、內(nèi)電阻r =0.2的電池接在M、P兩端，試計(jì)算分析：（1）在開關(guān)S剛閉合的初始時刻，導(dǎo)線ab的加速度多大？隨后ab的加速度、速度如何變化？（2）在閉合開關(guān)S后，怎樣才能使ab以恒定的速度 =7.5m/s沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動？試描述這時電路中的能量轉(zhuǎn)化情況（通過具體的數(shù)據(jù)計(jì)算說明）解析（1）在S剛閉合的瞬間，導(dǎo)線ab速度為零，沒有電磁感應(yīng)現(xiàn)象，由a到b的電流，ab受安培力水平向右，此時瞬時加速度 ab運(yùn)動起來且將發(fā)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象ab向右

8、運(yùn)動的速度為時，感應(yīng)電動勢，根據(jù)右手定則，ab上的感應(yīng)電動勢（a端電勢比b端高）在閉合電路中與電池電動勢相反電路中的電流（順時針方向，）將減?。ㄐ∮贗0=1.5A），ab所受的向右的安培力隨之減小，加速度也減小盡管加速度減小，速度還是在增大，感應(yīng)電動勢E隨速度的增大而增大，電路中電流進(jìn)一步減小，安培力、加速度也隨之進(jìn)一步減小，當(dāng)感應(yīng)電動勢與電池電動勢E相等時，電路中電流為零，ab所受安培力、加速度也為零，這時ab的速度達(dá)到最大值，隨后則以最大速度繼續(xù)向右做勻速運(yùn)動設(shè)最終達(dá)到的最大速度為m，根據(jù)上述分析可知：所以m/s=3.75m/s（2）如果ab以恒定速度m/s向右沿導(dǎo)軌運(yùn)動，則ab中感應(yīng)電動

9、勢V=3V由于，這時閉合電路中電流方向?yàn)槟鏁r針方向，大小為：A=1.5A直導(dǎo)線ab中的電流由b到a，根據(jù)左手定則，磁場對ab有水平向左的安培力作用，大小為N=0.6N所以要使ab以恒定速度m/s向右運(yùn)動，必須有水平向右的恒力N作用于ab上述物理過程的能量轉(zhuǎn)化情況，可以概括為下列三點(diǎn)：作用于ab的恒力（F）的功率：W=4.5W電阻（R +r）產(chǎn)生焦耳熱的功率：W=2.25W逆時針方向的電流，從電池的正極流入，負(fù)極流出，電池處于“充電”狀態(tài)，吸收能量，以化學(xué)能的形式儲存起來電池吸收能量的功率：W=2.25W由上看出，符合能量轉(zhuǎn)化和守恒定律（沿水平面勻速運(yùn)動機(jī)械能不變）二、“雙桿”滑切割磁感線型1、

10、雙桿所在軌道寬度相同常用動量守恒求穩(wěn)定速度Bv0Lacdb例6、兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖所示兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計(jì)在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動中始終不接觸，求：（1）在運(yùn)動中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少（2）當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的加速度是多少？解析：ab棒向cd棒運(yùn)動時，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是

11、產(chǎn)生感應(yīng)電流ab棒受到與運(yùn)動方向相反的安培力作用作減速運(yùn)動，cd棒則在安培力作用下作加速運(yùn)動在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應(yīng)電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速兩棒速度達(dá)到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度v作勻速運(yùn)動（1）從初始至兩棒達(dá)到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒，有根據(jù)能量守恒，整個過程中產(chǎn)生的總熱量 （2）設(shè)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的速度為v1，則由動量守恒可知：。此時回路中的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流分別為：，。此時棒所受的安培力：，所以棒的加速度為 由以上各式，可得。例7、如圖所示，兩根平行的金屬導(dǎo)軌，固定在同一水平

12、面上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.50T的勻強(qiáng)磁場與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌的電阻很小，可忽略不計(jì)。導(dǎo)軌間的距離l=0.20m。兩根質(zhì)量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50。在t=0時刻，兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動。經(jīng)過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？乙 甲F解析：設(shè)任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v1和v2，經(jīng)過很短的時間t，桿甲移動距離v1t，桿乙移動距離v2t，回路面積改變由法

13、拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢回路中的電流 ，桿甲的運(yùn)動方程由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量時為0）等于外力F的沖量。聯(lián)立以上各式解得 ，代入數(shù)據(jù)得2、雙桿所在軌道寬度不同常用動量定理找速度關(guān)系aa/bb/dd/cc/efgh例8、如圖所示，abcd和a/b/c/d/為水平放置的光滑平行導(dǎo)軌，區(qū)域內(nèi)充滿方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場。ab、a/b/間的寬度是cd、c/d/間寬度的2倍。設(shè)導(dǎo)軌足夠長，導(dǎo)體棒ef的質(zhì)量是棒gh的質(zhì)量的2倍?，F(xiàn)給導(dǎo)體棒ef一個初速度v0，沿導(dǎo)軌向左運(yùn)動，當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時，兩棒的速度分別是多少？解析：當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時，回路中的感應(yīng)電

14、流為零，設(shè)導(dǎo)體棒ef的速度減小到v1， 導(dǎo)體棒gh的速度增大到v2，則有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。對導(dǎo)體棒ef由動量定理得： 對導(dǎo)體棒gh由動量定理得：。由以上各式可得：。3、磁場方向與導(dǎo)軌平面不垂直FBabdcef12例9、如圖所示，ab和cd是固定在同一水平面內(nèi)的足夠長平行金屬導(dǎo)軌，ae和cf是平行的足夠長傾斜導(dǎo)軌，整個裝置放在豎直向上的勻強(qiáng)磁場中。在水平導(dǎo)軌上有與導(dǎo)軌垂直的導(dǎo)體棒1，在傾斜導(dǎo)軌上有與導(dǎo)軌垂直且水平的導(dǎo)體棒2，兩棒與導(dǎo)軌間接觸良好，構(gòu)成一個閉合回路。已知磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌間距為L，傾斜導(dǎo)軌與水平面夾角為，導(dǎo)體棒1和2質(zhì)量均為m，電阻均為R。不計(jì)導(dǎo)軌電

15、阻和一切摩擦?，F(xiàn)用一水平恒力F作用在棒1上，從靜止開始拉動棒1，同時由靜止開始釋放棒2，經(jīng)過一段時間，兩棒最終勻速運(yùn)動。忽略感應(yīng)電流之間的作用，試求：（1）水平拉力F的大??；（2）棒1最終勻速運(yùn)動的速度v1的大小。解析（1）1棒勻速：2棒勻速：解得：（2）兩棒同時達(dá)勻速狀態(tài)，設(shè)經(jīng)歷時間為t，過程中平均感應(yīng)電流為，據(jù)動量定理，對1棒：；對2棒：聯(lián)立解得：勻速運(yùn)動后，有：， 解得：三、軌道滑模型例10、如圖所示，abcd為質(zhì)量m的U形導(dǎo)軌，ab與cd平行，放在光滑絕緣的水平面上，另有一根質(zhì)量為m的金屬棒PQ平行bc放在水平導(dǎo)軌上，PQ棒右邊靠著絕緣豎直光滑且固定在絕緣水平面上的立柱e、f,U形導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中，磁場以通過e、f的O1O2為界，右側(cè)磁場方向豎直向上，左側(cè)磁場方向水平向左，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B，導(dǎo)軌的bc段長度為L,金屬棒PQ的電阻R，其余電阻均可不計(jì)，金屬棒PQ與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為，在導(dǎo)軌上作用一個方向向右，大小F=mg的水平拉力，讓U形導(dǎo)軌從靜止開始運(yùn)動設(shè)導(dǎo)軌足夠長求： (1)導(dǎo)軌在運(yùn)動過程中的最大速度m (2)若導(dǎo)軌從開始運(yùn)動到達(dá)到最大速度m的過程中，流