五年級(jí)奧數(shù)專題圖形的計(jì)數(shù)

1、九圖形的計(jì)數(shù)（A）年級(jí)班姓名得分OA,這樣圖AAAACAB rC/八B6.在下圖中,所有正方形的個(gè)數(shù)是_一、填空題1. 下圖中一共有（）條線段2. 如右上圖,O為三角形AIAA12的邊AA2上的一點(diǎn),分別連結(jié)0中共有三角形3. 下圖中有個(gè)三角形.4. 右上圖中共有梯形.5. 數(shù)一數(shù)（1） 一共有（）個(gè)長方形. 一共有（）個(gè)三角形.7. 在一塊畫有4 4方格網(wǎng)木板上釘上了 最多可以圍出個(gè).25顆鐵釘（如下圖）,如果用線繩圍正方形，8. 一塊相鄰的橫豎兩排距離都相等的釘板,上面有4 4個(gè)釘（如右圖）.以每個(gè)釘為PQ1OXNWRYVVVSTUFG5 H1 I頂點(diǎn)，你能用皮筋套出正方形和長方形共 個(gè).

2、9. 如下圖,方格紙上放了 20枚棋子,以棋子為頂點(diǎn)的正方形共有個(gè).個(gè)小立方體堆成的10.數(shù)一數(shù),下圖是由.要注意那些看不見的.二、解答題11.右圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個(gè)數(shù)與黑色小三角形的個(gè)數(shù)之比下圖中，AB CDyE現(xiàn)在都是由邊312.13.厘米、8厘米、9厘: 是涂有紅顏色的小正 不同的正方形，總共14. 將四邊形？MNS相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少? 殳的紅色、白色兩種正方形分別組成）方形、它們的特點(diǎn)都是正方形的都是涂有白色的小正方形，要組成這樣?白色正方形多少個(gè)？點(diǎn)作邊的平行線，C的厘米、4小正方形都個(gè)大小在所得下圖中有M/九圖形的計(jì)數(shù)（B）年級(jí)班姓名得

3、分一、填空題1. 下圖中長方形（包括正方形）總個(gè)數(shù)是 .2.右上圖中有正方形 個(gè),三角形個(gè),平行四邊形個(gè),梯形個(gè).7. 下圖是由小立方體碼放起來的,其中有一些小方體看不見圖中共有 小立方體8. 右上圖中共有正方形.9. 有九張同樣大小的圓形紙片，其中標(biāo)有數(shù)碼“1”的有1張；標(biāo)有數(shù)碼“ 2”的有2 張；標(biāo)有數(shù)碼“ 3”的有3張，標(biāo)有數(shù)碼“ 4”的也有3張。把這九張圓形紙片如下圖所 示放置在一起，但標(biāo)有相同數(shù)碼的紙片不許靠在一起，問：如果M位上放置標(biāo)有數(shù)碼“ 3”的紙片，一共有 中不同的放置方法.10. 如下圖，在2×2方格中，畫一條直線最多可穿過3個(gè)方格，在3×3方格中，畫一

4、條直線最多可穿過5個(gè)方格. 那么10×10方格中,畫一條直線最多可穿過 方格.二、解答題心11. 把一條長15cm的線段截為三段，使每條線段的長度是整數(shù)，用這三條線段可以 組成多少個(gè)不同的三角形？（當(dāng)且僅當(dāng)兩三角形的三條邊可以對(duì)應(yīng)相等時(shí)，我們稱這兩 個(gè)三角形是相同的.）12. 有一批長度分別為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 和11厘米的細(xì)木條,它們的數(shù)量都足 夠多,從中適當(dāng)選取3根木條作為三條邊.可圍成一個(gè)三角形，如果規(guī)定底邊是11厘米長, 你能圍成多少個(gè)不同的三角形？13. 下圖中的正方形被分成9個(gè)相同的小正方形，它們一共有16個(gè)頂點(diǎn)（共同的頂點(diǎn) 算一個(gè)）,以其中不在一條

5、直線上的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成三角形.在這些三角形中，與陰 影三角形有同樣大小面積的有多少個(gè)？14. 有同樣大小的立方體27個(gè),把它們豎3個(gè),橫3個(gè),高3個(gè),緊密地沒有縫隙地搭 成一個(gè)大的立方體（見圖）.如果用1根很直的細(xì)鐵絲扎進(jìn)這個(gè)大立方體的話，最多可以穿 透幾個(gè)小立方體？J-答案1.30由例1注可知圖形中每邊有3+2+仁6（條）線段，因此整個(gè)圖形中共有 6 5=30條線 段2. 37將-AAA12分解成以O(shè)A為公共邊的兩個(gè)三角形.OAA6中共有5+4+3+2+仁15個(gè)）三 角形,OAA2中共有6+5+4+3+2_+1=21（個(gè)）三角形,這樣,圖中共有15+21+仁37（個(gè)）三角形.3. 1

6、5DC有有6 3=18（個(gè)）梯形.這樣的問題應(yīng)該通過分類計(jì)數(shù)求解.此題中的三角形可先分成含頂點(diǎn) C的和不含頂點(diǎn) C的兩大類含頂點(diǎn)C的又可分成另外兩頂點(diǎn)在線段 AB上的和在線段BD上的兩小類分類 圖解如下：所以原圖有(3+2+1)+(3 =15(B4. 18B梯形一共有三行5. B08,36（1）因?yàn)殚L方形是由長和寬組成的，因此可分別考慮所有長方形的長和寬的可能種數(shù) 按照前面所介紹的線段的計(jì)數(shù)方法可分別求出長和寬的線段條數(shù)，將它們相乘就是所有 長方形的個(gè)數(shù)因?yàn)锳B邊上有8+7+6+ +2+1=-8 =36條線段，AD邊上有2+1=3條線段，所以圖中 2一共有36 3=108個(gè)長方形. 三角形一共

7、有6行，每行都有3+2+1=6（個(gè)）,所以一共有6 6=36（個(gè)）三角形.6. 30由例5注可知整個(gè)圖形中共有12+22+32+42=30個(gè)正方形.7. 50此類問題一般用分類方法計(jì)數(shù).對(duì)正方形的邊長分八類計(jì)數(shù)如下： 邊長為AB的正方形有16個(gè)；邊長為AC的正方形有9個(gè)；邊長為AD的正方形有4個(gè)；邊長為AE的正方形有1個(gè)；邊長為DF的正方形有9個(gè)；邊長為CF的正方形有8個(gè)；邊長為BF的正方形有2個(gè)； 邊長為CG的正方形有1個(gè).所以,最多可圍出50個(gè)正方形.8. 44因?yàn)檎叫问翘厥獾拈L方形，所以可以把正方形看成長方形，這樣就不必分別求正方形和長方形的個(gè)數(shù)，仍用分類計(jì)數(shù)的方法求解先考慮有一組對(duì)邊

8、平行于BC的長方形有多少個(gè).這一類按其水平邊的位置可分為 6 小類,即位置在BR FE、EC FC BE BG同樣,其豎直邊也分為6類.所以這一類有6 6=36 個(gè)長方形另一類是沒有邊平彳!于BC的.這一類又分類兩小類,分解圖如下頁圖所示,其中分別 有6個(gè)和2個(gè)長方形.所以,9. 2F方形的面積大小分類計(jì)數(shù)./八、:目鄰兩點(diǎn)的距離為1,則正方形面積為1的有9個(gè)；方形和長方形設(shè)面積為2的有4個(gè)； 面積為5的有2個(gè)； 面積為面積為 .所以，共有9+4+2+4+2=21個(gè)正方形.10. 30將原立體圖形從左至右分類計(jì)算，共有11+7+5+7=30個(gè).11. 白色小三角形個(gè)數(shù)=1+2+3+6=(I 6

9、) 6 =21,2黑色小三角形個(gè)數(shù)=1+2+3+7= (I 7) 7 =28,2勺有U有所以它們的比=21=3.28412. 解法一本圖中三角形的個(gè)數(shù)為(1+2+3+4) 4=40(個(gè)).下面求梯形的個(gè)數(shù).梯形由兩底唯一確 定.首先在ABCDEF,MN中,考慮兩底所在的線段,共有(4 3) 2=6(種)選法；對(duì)上述四條 線段中確定的兩條線段，共有10 (10=4+3+2+1)個(gè)梯形.共60個(gè)梯形.故所求差為20.解法二在圖中可數(shù)出4個(gè)三角形,6個(gè)梯形，梯形比三角圖形圖形多2個(gè).而在題圖中，這 種恰有10個(gè).故題圖中，梯形個(gè)數(shù)與三角形的個(gè)數(shù)之差為 2 10=20(個(gè)).13. 邊長2厘米的正方形

10、：2 2=4(個(gè))紅色邊長4厘米的正方形(4-1)4=12 (個(gè))紅色(4-2)(4-2)=4(個(gè))白色邊長8厘米的正方形(8-1)4=28(個(gè))紅色(8-2)(8-2)=36(個(gè))白色邊長9厘米的正方形(9-1)4=32 (個(gè))紅色(9-2)(9-2)=49(個(gè))白色所以,紅色小正方形共有4+12+28+32=76個(gè))白色小正方形共有4+36+49=89(個(gè))注本題的要求是由邊長為1厘米的紅色和白色兩種正方形，分別組成邊長是2厘 米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形，可以看作方陣問題來解.四周的小正方形 是涂紅色的，可看成是空心方陣，因此,涂紅色正方形的個(gè)數(shù)等于4 (n-1).其他小

11、正方形 是涂白色的，可當(dāng)作實(shí)心方陣，所以，涂白色的正方形的個(gè)數(shù)等于(n-2) (n-2).比如，由邊長為1厘米的正方形組成邊長為9厘米的正方形，涂紅色的小正方形的個(gè)數(shù)是:4 (9-1)=32(個(gè))，涂白色的小正方形的個(gè)數(shù)是:(9-2)(9-2)=49(個(gè)).14. 將平行四邊形分為三類：尖角在上、下方；尖角在左下、右上方；尖角 在左上、右下方.就第類而言：0型6個(gè)；7型3個(gè)，與其對(duì)稱的3個(gè)；一 型1個(gè)，與其對(duì)稱的1個(gè)型1個(gè)；共15個(gè).同理,第、類也分別含 15個(gè)，故上述三類平行四邊形共 45個(gè).注這樣數(shù)平行四邊行，很麻煩,又易出錯(cuò).我們?cè)噲D找到一種對(duì)應(yīng)關(guān)系:先考慮任一邊不與BC平行的平行四邊形

12、，延長各邊必與BC有4個(gè)交點(diǎn)，特殊情況下，第二個(gè)交點(diǎn)與第三個(gè)交點(diǎn)重合；反過來，BC上的任意四點(diǎn)或三點(diǎn)決定一個(gè)平行四邊形，也就是說，邊不與BC平行的平行四邊形的個(gè)數(shù)與BC上的四交點(diǎn)組和三交點(diǎn)組的數(shù)目一樣多。由于BC上有5個(gè)交點(diǎn)，其中可構(gòu)成5個(gè)4點(diǎn)組；10個(gè)3點(diǎn)組，即邊不平行于BC的平行四邊形有15個(gè)。同理分別考慮邊不平行 AB CD的平行四邊行。由此可知，共有45個(gè)平行四邊形。 答案1. 90利用例1和例4公式可直接計(jì)算:(5+4+3+2+1) × (3+2+1)=15×6=90(個(gè))注注意，由長方形、正方形的意義可知，正方形一定是長方形，但反之不然 故求長方形個(gè)數(shù)時(shí)，不必把

13、正方形分幵考慮2. 3個(gè)正方形;18個(gè)三角形；6個(gè)平行四邊形；8個(gè)梯形.3. 18根據(jù)這個(gè)圖形的特點(diǎn),我們先數(shù)出下圖中長方形的個(gè)數(shù)為(2+1) × (2+1)=9個(gè)；然 后在圖 的內(nèi)部添上一個(gè)長方形得到圖(2).這時(shí)新產(chǎn)生的長方形有(2+1) × (2+1)=9個(gè). 至此已將圖(1)還原為題圖，同時(shí)題圖中的長方形已全部數(shù)完因此，原圖中共有長方形(2+1) × (2+1)+ (2+1) × (2+1)=18 (個(gè)).(1) (2)4. 16具體分法如下圖所示.基中小三角形有8個(gè),由兩個(gè)小三角形組成的三角形有4個(gè),由 四個(gè)小三角形組成的三角形有4個(gè),所以共有

14、三角形8+4+4=16(個(gè)).5. 72把圖中最小三角形作為基數(shù)，然后按含有幾個(gè)基數(shù)的三角形分類進(jìn)行解答.含一個(gè)基數(shù)的三角形，共有16個(gè)；含兩個(gè)基數(shù)的三角形，共有24個(gè)；含四個(gè)基數(shù)的 三角形，共有20個(gè)；含八個(gè)基數(shù)的三角形，共有 8個(gè)；含十六個(gè)基數(shù)的三角形，共有 4 個(gè).因此，整個(gè)圖形中共有16+24+20+8+4=72個(gè))三角形.6. 6圖中的三角形可分成兩種，一種是尖頭向上的，一種是尖頭向下的.從圖上可以看出， 每種三角形必須涂成同一顏色.為了使涂紅色的三角形比涂藍(lán)色的三角形多，尖頭向上的 三角形要涂紅色.每一橫排，尖頭向上的三角形要比尖頭向下的三角形多一個(gè)，共有6排，因此，涂紅色 的比涂

15、藍(lán)色的三角形多6個(gè).7. 38將原立體圖形從左至右分類計(jì)算,共有16+9+5+7+1=38個(gè).8. 115單獨(dú)的一個(gè)4×4的方格中有12+22+32+42=30個(gè)正方形，兩個(gè)4×4的方格如原圖重疊 后,重疊部分有5個(gè)正方形.所以原圖中一共有30×4-5× 3=115個(gè)正方形.9. 6根據(jù)標(biāo)有相同數(shù)碼的紙片不許靠在一起的條件，當(dāng)M位置上放標(biāo)有數(shù)碼“ 3”的紙片時(shí)，其余兩個(gè)標(biāo)有數(shù)碼“ 3”的紙片，只能放置在下面左右兩邊兩個(gè)圓圈內(nèi).如下圖所示.這樣圓圈繞M圓緊接著4M的六個(gè)圈旋轉(zhuǎn)一周，回到初始狀態(tài)，可知共有六種不同的放 置方法.MVATr10. 19如果直線與

16、大正方形的兩橫邊都有交點(diǎn),則與所有的橫邊產(chǎn)生11個(gè)交點(diǎn),與豎邊至多 9個(gè)交點(diǎn),共20個(gè)交點(diǎn)人4如果直線與大正方形的一橫邊和一豎邊有交點(diǎn)，則與橫邊至多產(chǎn)生10個(gè)交點(diǎn),與豎邊 至多產(chǎn)生10個(gè)交點(diǎn),共20個(gè)交點(diǎn).20個(gè)交點(diǎn)，將直線分成21部分,其中在大正方形有內(nèi)有19部分,故至多穿過19個(gè)方 格注穿過一個(gè)方格，在直線上截出一條線段，線段由直線上的交點(diǎn)決定，關(guān)鍵是求交點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)小學(xué)生來說，通?？偸菑暮唵吻闆r入手，即由1×1方格,2 ×2方格,3 ×3方格等的情況，歸納出一般的規(guī)律，從而得出10× 10方格的結(jié)果請(qǐng)同學(xué)們用歸納法11. 最大邊為7時(shí)，另兩邊之和為8,

17、可構(gòu)成4個(gè)(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形； 最大邊為6時(shí)，另兩邊之和為9,可構(gòu)成2個(gè)(3+6，4+5)不同的三角形；最大邊為5時(shí), 可構(gòu)成1個(gè)(5+5)不同的三角形.所以一共可組成7個(gè)不同的三角形.12. 由三角形的一邊為11厘米,及其他邊長必為1,2,.，11厘米，根據(jù)三角形兩 邊之和大于第三邊的性質(zhì)，可知兩邊之和應(yīng)介于 12厘米和22厘米之間(包含12厘米和 22厘米)這樣,共可圍成36個(gè)不同的三角形.12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；17:(6,11),(7,10),(8,9)；18:(7,11),(8,10),(9,9)；19:(8,11),(9,10)；20:(9,11),(10,10)；21:(10,11)；22:(11,11)所以，一共可以圍成36個(gè)不同的三角形.13. 為方便起見，不妨設(shè)原正方形