“數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

1、博學(xué)而篤志，切問(wèn)而近思 “數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用一、以數(shù)助形“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，而這兩個(gè)方面是緊密聯(lián)系的體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中， 包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個(gè)方面“數(shù)”與“形”好比數(shù)學(xué)的“左右腿”全面理解數(shù)與形的關(guān)系，就要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩個(gè)方面來(lái)體會(huì)此外還應(yīng)該注意體會(huì)“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢(shì)與局限性，相互補(bǔ)充“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非”華羅庚的這四句詩(shī)很好地總結(jié)了“數(shù)形結(jié)合、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”的精要，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位要在解題中有

2、效地實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見(jiàn)的結(jié)合點(diǎn)，從“以數(shù)助形”角度來(lái)看，主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)：（1）利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問(wèn)題代數(shù)化（在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問(wèn)題代數(shù)化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來(lái)解決幾何問(wèn)題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等 例1已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)和之間的距離可以用公式計(jì)算利用這個(gè)公式計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離解：設(shè)是直線上的任意一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離是當(dāng)時(shí)，所以原點(diǎn)到直線的距離為【說(shuō)明】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)及相關(guān)公式處理一些幾何問(wèn)題，有時(shí)可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點(diǎn)）在高中“解析

3、幾何”里，我們將專(zhuān)門(mén)學(xué)習(xí)利用坐標(biāo)將幾何問(wèn)題代數(shù)化例2已知的三邊長(zhǎng)分別為、和（m、n為正整數(shù)，且）求的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）【分析】已知三角形三邊求面積一般稱(chēng)為“三斜求積”問(wèn)題，可用“海倫公式”計(jì)算，但運(yùn)用“海倫公式”一般計(jì)算比較繁，能避免最好不用本題能不能避免用“海倫公式”，這要看所給的三角形有沒(méi)有特殊之處代數(shù)運(yùn)算比較過(guò)硬的人可能利用平方差公式就可以心算出來(lái)：，也就是說(shuō)，的三邊滿(mǎn)足勾股定理，即是一個(gè)直角三角形“海倫公式”：三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c，p為周長(zhǎng)的一半，則三角形的面積S為：解：由三邊的關(guān)系：所以是直角三角形所以的面積【說(shuō)明】利用勾股定理證明垂直關(guān)系是比較常用的“以數(shù)助形”的手

4、法另外，熟練的代數(shù)運(yùn)算在這道題中起到了比較重要的作用代數(shù)運(yùn)算是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)基本功，就像武俠小說(shuō)中所說(shuō)的“內(nèi)功”，沒(méi)有一定的內(nèi)功，單單依靠所謂的“武林秘笈”是起不了多少作用的例3直線與拋物線相交，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為求證：【分析】本題是研究拋物線和直線相交的相關(guān)問(wèn)題，只是由于a、b、c的符號(hào)不確定，導(dǎo)致拋物線和直線在坐標(biāo)系中位置不確定，考慮問(wèn)題需要進(jìn)行分類(lèi)討論，比較麻煩如果將問(wèn)題代數(shù)化，看成有關(guān)方程的問(wèn)題，進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，就省去了分類(lèi)的麻煩解：直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，、為關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根，例4將如圖的五個(gè)邊

5、長(zhǎng)為1的正方形組成的十字形剪拼成一個(gè)正方形【分析】這是一類(lèi)很常見(jiàn)的問(wèn)題如果單單從“形”的角度來(lái)思考，恐怕除了試驗(yàn)，沒(méi)有其它更好的辦法了但是如果我們先不忙考慮怎樣剪裁，而是先從“數(shù)”的角度來(lái)算一下，我們不難利用面積算出剪拼出來(lái)的正方形邊長(zhǎng)應(yīng)該是現(xiàn)在我們只需要在圖中找出來(lái)一段邊長(zhǎng)為的線段，以此為一邊作一個(gè)正方形（如圖），我們就不難設(shè)計(jì)出各種剪裁方法了【說(shuō)明】有人把這種方法叫做“面積法”，其實(shí)“面積法”這個(gè)名字并沒(méi)有揭示這類(lèi)方法的所有本質(zhì)“面積”是剪拼問(wèn)題中的一個(gè)“不變量”，幾乎所有的剪拼問(wèn)題，都可以先抓住“面積”這個(gè)不變量來(lái)進(jìn)行“數(shù)”的計(jì)算另一方面，“面積”本身就是從“數(shù)”的角度來(lái)刻畫(huà)“圖形”的大

6、小特征的一個(gè)概念因此，所謂“面積法”，實(shí)際上就是“數(shù)形結(jié)合”這種數(shù)學(xué)思想的一種具體體現(xiàn)二、以形助數(shù)幾何圖形具有直觀易懂的特點(diǎn)，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題，常常會(huì)產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅幾何直觀運(yùn)用于代數(shù)主要有以下幾個(gè)方面：（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：正方形的分割圖可以用來(lái)記憶完全平方公式；將兩個(gè)全等的梯形拼成一個(gè)平行四邊形可以用來(lái)記憶梯形面積公式；等等（2）利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問(wèn)題，或者簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算比如：絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離；數(shù)

7、的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點(diǎn)的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實(shí)數(shù)的取值范圍；互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（更一般地：實(shí)數(shù)與在數(shù)軸上關(guān)于對(duì)稱(chēng)，換句話說(shuō)，數(shù)軸上實(shí)數(shù)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為）；利用函數(shù)圖像的特點(diǎn)把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口、判別式、兩根之間的距離，等等；一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)；函數(shù)解析式中常數(shù)項(xiàng)的幾何意義是函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)（函數(shù)在時(shí)有意義）；銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例例5已知正實(shí)數(shù)，求的最小值分析：可以把整理為，即看作是坐標(biāo)系中一動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)（0，2）和（2，1）的距離之和，于是本問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最短距離問(wèn)題

8、解：，令、A（0，2）和B（2，1），則作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則y的最小值為例6已知，求證：【分析】根據(jù)正切函數(shù)的意義不難構(gòu)造出滿(mǎn)足條件的角、（如圖），怎樣構(gòu)造這兩個(gè)角的和是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵將圖（1）中下面的圖翻轉(zhuǎn)到上圖的下面，就形成了如圖（2）的圖形，角也就構(gòu)成了證明：如圖（2），連接，易證：，從而是等腰直角三角形，于是： 圖（1） 圖（2）例7求函數(shù)的最小值【分析】如圖，設(shè)數(shù)軸上表示數(shù)1、2、3、x的點(diǎn)分別為A、B、C、P（P為動(dòng)點(diǎn)），則表示P到A、B、C三點(diǎn)之間的距離之和，即容易看出：當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，最小，所以例8若關(guān)于x的方程的兩根都在1和3之間，求k的取值范圍【分析】令

9、，其圖象與x軸的橫坐標(biāo)就是方程的解由的圖象可知，要使兩根都在1和3之間，只須：，同時(shí)成立，由此即可解得或其中，表示時(shí)的函數(shù)值解：令，由題意及二次函數(shù)的圖象可知：即解得：或【說(shuō)明】一元二次方程，一元二次不等式均與二次函數(shù)有密切的關(guān)系，有關(guān)二次方程、二次不等式中較繁難的問(wèn)題運(yùn)用二次函數(shù)的圖象來(lái)解決常常會(huì)起到意想不到的效果例9若，且，求證：方程有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根【分析】首先可以想到的思路當(dāng)然是證明，但這并不容易注意到二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，把“二次方程有兩個(gè)相異的實(shí)根”這個(gè)代數(shù)命題“翻譯”成幾何命題就是“二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”考慮到此時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，這個(gè)幾何命題可以進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化成“二

10、次函數(shù)的圖象有一部分位于x軸的下方，再把它翻譯成代數(shù)命題就是“二次函數(shù)至少在某一點(diǎn)上的函數(shù)值小于0”證明：考查函數(shù)，此拋物線開(kāi)口向上又，即，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值故拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不等實(shí)根例10已知：對(duì)于滿(mǎn)足的所有實(shí)數(shù)p，不等式恒成立，求x的取值范圍【分析】不等式可以變形為考查二次函數(shù)和一次函數(shù)原不等式的幾何意義是“二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上方”原題條件的幾何意義是“無(wú)論實(shí)數(shù)p取之內(nèi)的什么實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象總是在一次函數(shù)的圖象的上方”把原題所求的問(wèn)題重新表述一下，就是：當(dāng)x取那些實(shí)數(shù)時(shí)，可以保證“無(wú)論實(shí)數(shù)p取之內(nèi)的什么實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象總是在一次函數(shù)的圖象的上方”

11、這個(gè)命題正確現(xiàn)在我們研究這兩個(gè)函數(shù)的圖象（如圖）：二次函數(shù)的圖象是一條固定不變的拋物線但是一次函數(shù)的圖象隨之p的變化繞（1，0）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，時(shí)，是與x軸重合的一條直線；當(dāng)，是一條截距為4的直線，它與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8）當(dāng)實(shí)數(shù)q取遍之內(nèi)的所有實(shí)數(shù)時(shí)，直線所過(guò)了圖中的陰影區(qū)域結(jié)合圖形，我們?cè)僖淮伟言瓎?wèn)題重新表述一下：當(dāng)x取哪些實(shí)數(shù)時(shí)，可以保證“二次函數(shù)的圖象總是在圖中的陰影區(qū)域的上方”觀察圖象，我們不難得到或，所以原問(wèn)題的結(jié)論就是：x的取值范圍是或【說(shuō)明】本題一開(kāi)始為什么要對(duì)不等式作這樣的變形？希望大家在完全理解這道題的解題思路后認(rèn)真思考一下這個(gè)問(wèn)題，習(xí)慣對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的反思在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常

12、重要利用函數(shù)圖象解決不等式問(wèn)題是一種比較常見(jiàn)的數(shù)形結(jié)合的方法，這種方法的要點(diǎn)是把不等式變形成兩個(gè)可以畫(huà)出圖象的函數(shù)（值）比較初三數(shù)學(xué) “數(shù)形結(jié)合”習(xí)題（1）1已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)和之間的距離可以用公式計(jì)算利用這個(gè)公式計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離2已知的三邊長(zhǎng)分別為、和（m、n為正整數(shù)，且）求的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）3直線與拋物線相交，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，直線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為求證：4將如圖的五個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的十字形剪拼成一個(gè)正方形5已知正實(shí)數(shù)，求的最小值6已知，求證：7求函數(shù)的最小值8若關(guān)于x的方程的兩根都在1和3之間，求k的取值范圍9若，且，求證：方程有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根

13、 初三數(shù)學(xué) “數(shù)形結(jié)合”習(xí)題（2）1設(shè)，則直線與拋物線的位置關(guān)系是（ ）A有兩個(gè)不重合的交點(diǎn) B有且只有一個(gè)公共點(diǎn)C沒(méi)有公共點(diǎn) D無(wú)法確定2在下列長(zhǎng)度的四組線段中，不能組成直角三角形的是（ ）A3、3、 B、C8、15、17 D3.5、4.5、5.53文具店、書(shū)店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書(shū)店西邊20米處，玩具店位于書(shū)店?yáng)|邊100米處，小明從書(shū)店沿街向東走了40米，接著又向東走了60米，此時(shí)小明的位置在（ ）A玩具店 B文具店 C文具店西邊40米 D玩具店?yáng)|邊60米4已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次在原點(diǎn)的右邊和左邊，那么（ ）A B C D5函數(shù)的最小值為（ ）A8

14、B5 C3 D26已知函數(shù)和的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）A B C D 6題圖 7題圖7如圖所示，在中，點(diǎn)D在BC上，則 ， 8在數(shù)軸上數(shù)a和3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為1.5，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是 9有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面4米，橋下的水深為2米為保證過(guò)往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18米問(wèn)水深超過(guò)多少米時(shí)就會(huì)影響過(guò)往船只在橋下順利航行？10如圖，已知內(nèi)接于圓O，AD是圓O直徑交BC于E求證：11如圖所示，已知矩形AOBC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OA分別在x軸、y軸上，A（0，4），以AB為軸對(duì)稱(chēng)后，使C點(diǎn)落在D點(diǎn)處，求D點(diǎn)坐標(biāo)12已知兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)可用公式（，）計(jì)算現(xiàn)已知M（1，2），N（5，14）（1）計(jì)算MN中點(diǎn)的