微積分在經(jīng)濟生活中的應用

1、微積分在經(jīng)濟生活中的應用人們面對著規(guī)模越來越大的經(jīng)濟和商業(yè)活動，逐漸轉(zhuǎn)向用數(shù)學方法來幫助自己進行分析和決策,而且正越來越廣泛地應用數(shù)學理論進行經(jīng)濟理論研究.在經(jīng)濟生活中經(jīng)常涉及成本、收入、利潤等 問題，解決這些問題與微積分有著緊密聯(lián)系.1導數(shù)及微分的應用導數(shù)及微分在經(jīng)濟生活中的應用主要有邊際分析與彈性分析等.1(P3 7)1.1 邊際問題1.1.1 邊際成本邊際成本是指在一定產(chǎn)量水平下，增加或減少一個單位產(chǎn)量所引起成本總額的變動數(shù).設成本函數(shù)為C C(x),產(chǎn)量從x改變到xx時，成本相應改變3C C(x x) C(x)成本的平均變化率為C C(x x) C(x)若當x 0時,xxlim 存在，

2、則這個極限值就可反映出產(chǎn)量有微小變化時，成本的變化情 x 0 x況.因此，產(chǎn)品在產(chǎn)量x時的邊際成本就是:dC C C(x x) C(x)C (x)lim lim - dx X 0 x x 0x如果生產(chǎn)某種產(chǎn)品100個單位時，總成本為 5000元，單位產(chǎn)品成本為 50元.若生產(chǎn)101個時,其總成本5040元，則所增加一個產(chǎn)品的成本為40元，即邊際成本為40元.在經(jīng)營決策分析中，邊際成本可以用來判斷產(chǎn)量的增減在經(jīng)濟上是否合算.當企業(yè)的生產(chǎn)能力 有剩余時，只要增加產(chǎn)量的銷售單位高于單位邊際成本，也會使得企業(yè)利潤增加或虧損減少.或者 說，只要邊際成本低于平均成本，也可降低單位成本.由上面知當產(chǎn)量 x

3、100時，這時候有-C(100)C (100) 40- 50100即邊際成本低于平均成本，此時提高產(chǎn)量，有利降低單位成本.1.1.2 邊際收入邊際收入是指在某一水平增加或減少銷售一個單位商品的收入增加或減少的量.實際上就是收 入函數(shù)的瞬時變化率.而從數(shù)學的角度來看，它是一個導數(shù)問題.設收入函數(shù)為R R(x),則邊際收入函數(shù)就是dR R(x x) R(x)R (x) lim dx x 0x如R(15) 14,其經(jīng)濟含義是，在產(chǎn)量為15這一水平上再增加或減少銷售一個單位，其收入增加或減少14.1.1.3 邊際利潤由于利潤函數(shù)是收入函數(shù)與成本函數(shù)的差，即P(x) R(x) C(x),因此邊際利潤函數(shù)

4、為P(x) R(x) C(x)由上面的分析我們可以得出：邊際成本函數(shù)就是總成本函數(shù)對產(chǎn)量的導數(shù)；邊際收入函數(shù)就是 總收入函數(shù)對銷量的導數(shù)；邊際利潤函數(shù)就是總利潤函數(shù)對銷量的導數(shù).例1 某企業(yè)每月生產(chǎn)的總成本 C (千元)是產(chǎn)量x (噸)的函數(shù)C(x) x2 10x 20如果每噸產(chǎn)品銷售價格 2萬元，求每月生產(chǎn)10噸、15噸、20噸時的邊際禾1J潤.解因為利潤函數(shù)為總收入減去總成本.即_ 2_ 2 P(x) R(x) C(x) 20x (x2 10x 20) x2 30x 20所以邊際利潤為于是P (x) 2x 30P(10)2 10 30 10 (千元/噸)P (15)2 15 30 0 (千

5、元/噸)P(20)2 20 3010 (千元/噸)上述結(jié)果表明,當月產(chǎn)量為15噸時，邊際利潤為0,如果再增加產(chǎn)量，利潤不會增加反而減少, 所以該企業(yè)不能單獨依靠增加產(chǎn)量來提高利潤.1.2 彈性問題 2(P34 37)彈性原是物理學上的概念，意指某一物體對外界力量的反應力.經(jīng)濟活動中的彈性是指當經(jīng)濟變量存在函數(shù)關系時，因變量對自變量變動的反應程度.若兩個經(jīng)濟變量之間的函數(shù)關系為y f(x),設函數(shù)y f (x)在點x0處可導，以 x, y分別表示變量x, y的變動量，則把.y/y0 y xo x。lim lim f (x0)x 0 x/Xox 0 x y。f(x。)稱為函數(shù)y f (x)在點x0

6、處的彈性，記作Ey 或 Ef(x)ExxxoEx xxo若f(x)可導，則它在任意點處的彈性為：Ef(x)x,、f (x) Exf(x)式為點彈性，式為弧彈性.彈性的本質(zhì)是相對變化率，表現(xiàn)因變量對自變量的相對變化所做出的反應即靈敏度.彈性的經(jīng)濟意義為：當自變量變化為1%時，函數(shù)變化為且3%.Ex設 | x x0 a ,即y/ y。 dy x。 lim x。x/x。 dx y0若 x/x0 1% ,即 dx/x。 1% ,則 dy/y。當x在X0處變化(上升或下降)1%時，y變化Ex1dy/ y。adx/ x0a 1% ,而dy y ,故y/ y0 a% ,這就是說(上升或下降)a% .所以彈性

7、是f (x)對x變化反應的靈敏度.例2 設某種商品的需求量 Q與價格x之間的函數(shù)關系為x(8 3x)試求在x14916、2 (元)的價格水平時,9需求量對價格的彈性(簡稱需求價格彈性)EQExx(8 6x)x(8 3x)6x8 3x14故EQEx14-99-。.4,表明在3似91414元的價格水平時，價格上漲1%則需求量下降9940.4% .EQEx16 x 一1,表明在16元的價格水平時，價格上漲1%,則需求量下降1%.9EQEx2 ,表明在2元的價格水平時，價格上漲1% ,則需求量下降2% .EQEx1時，稱需求是dR .f (x) dxf(x) 1 e(x)在一般情況下，商品的需求量和價

8、格是成反方向變動的，即需求價格彈性EQ 1時，稱需求是彈性的，當 1 EQ 0時稱需求是低彈性的，當 EQExExEx有單位彈性的.利用需求價格彈性分析有助于作出正確的定價決策，當需求是彈性時，總收入將因價格的下調(diào) 而增加；當需求是低彈性時，總收入將因價格的上調(diào)而增加；當需求是有單位彈性時，總收入取得最 大值.設某商品的需求函數(shù)為 Q f(x),則總收入函數(shù)為 R Q x xf(x),因為xxf (x) f(x) 1 f (x) f(x)又f (x) 0,所以當EQ 1時dR 0,即當需求是低彈性時，總收入隨價格增加而增加，故此時可上調(diào)價格Ex dx而使收入增加.當EQ 1時dR 0 ,即當需

9、求是彈性的時候，總收入隨價格增加而減少，故此時可下調(diào)價Ex dx格而使收入增加.當EQ 1時dR 0 ,即當需求有單位彈性時，價格水平是收入函數(shù)的駐點，故R取得最大Ex dx值.1416例3 在上例中當x 14、16、2 (元)時，應如何調(diào)整價格 ，才能使收入增加？調(diào)整價格后99收入變化幅度有多大？_14解當x 一時，因為e(x) 0.4,即需求是低彈性的，應該上調(diào)價格，此時由于 9ER f) xf(x)Ex Exxf (x)1 f (x) f(x)1 -EQ 1 0.4 0.6Ex即價格上調(diào)1%后收入增加0.6%;當x 16時，EQ1 ,此時收入最大，應該維持原價；9 Ex當x 2時，EQ

10、2,即需求是彈性的，此時應該下調(diào)價格，因為ExER i eq i 2 iEx Ex故價格下調(diào)1%時，收入增加1%.1.3偏彈性在經(jīng)濟函數(shù)中，影響一個經(jīng)濟量的因素是多種多樣的，例如，商品的需求量受到商品價格、消 費者的愛好、每個人的收入等因素的影響.也就是說，商品的需求量是一個多元函數(shù).又如，產(chǎn)出 量與投入的勞力、資本、土地、能源等因素有關，或者說產(chǎn)出是諸多元素的多元函數(shù).與一元函數(shù)的導數(shù)類似，多元函數(shù)的偏導數(shù)在經(jīng)濟學中表示邊際經(jīng)濟量.邊際經(jīng)濟量的經(jīng)濟含 義是：當其中一個的經(jīng)濟量變化一個微小單位時，（其他經(jīng)濟量需保持不變），總經(jīng)濟量的變化量.我們以生產(chǎn)函數(shù) G f（K,L）（其中K表示資本，L表

11、示勞力）為例引入偏彈性的概念.稱比G值 上為產(chǎn)出G對資本K的偏彈性.它的經(jīng)濟意義是：當資本 K增加1%時，產(chǎn)品增加的百分數(shù)；GKG稱比值 為產(chǎn)出G對勞力L的偏彈性，它的經(jīng)濟意義是：當勞力 L增加1%時，產(chǎn)品增加的百分 GL例4 證明C D生產(chǎn)函數(shù)中的參數(shù)是產(chǎn)出G對勞力L的偏彈性，參數(shù) 是產(chǎn)出G對資本K的偏彈性.證明 由C D生產(chǎn)函數(shù)G AL K/曰G1 G1得 ALK; A L K LKG1 , 于是，產(chǎn)出G對勞力L的偏彈性為 一L A L K L ,G AL K LG1產(chǎn)出G對資本K的偏彈性為-K A L K- K . G AL KK1.4最大利潤與最小成本3（ P50 56）15利潤取得最

12、大值的必要條件是:P(x)充分條件是:P (x)如果生產(chǎn)原料有兩種，總利潤為P(x, y),其中x,y分別表示兩種原料的數(shù)量.則取得最大值的必要條件是:充分條件是:2P設一x(xo，y0)A, 2Px y(xo，yo)B, 2Py(N.y。)滿足A例5 設某企業(yè)生產(chǎn)q個單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是 ：C(q) q3 10q2 50q ,求使得平均成本C(q)為最小的產(chǎn)量；算出最小平均成本C(q) q-10q50q q2 10q 50,那么 C (q) 2q 10,令 C (q) 0, q又C(5) 2 0,所以C(q)在q 5取得極小值點，所以理論上C(q)的最小值是存在的，q5時平均成本C(q)為

13、最小.最小平均成本C min (5) 52 105 50 25.例6某公司在生產(chǎn)中使用和兩種原料，已知 和 兩種原料分別使用 x單位和y單位可生產(chǎn)u單位的產(chǎn)品，且有：u(x, y)2-28xy 32x 40y 4x 6y ,并且第一種原料每單位的價值為10美元，第二種原料每單位的價值為4美元，產(chǎn)品每單位的售價為 40美元啊，求該公司的最大利潤？解 生產(chǎn)u(x, y)單位的產(chǎn)品的總成本為10x 4y ,總收入為40u(x, y),從而利潤函數(shù)為P(x, y)40u(x, y) 10x 4y 320xy 1270x1596y 160x2 240y2,再由 xP 320y 1270 320x 0,

14、320x y1596 480y 0解得駐點為:P(x0,y0) (21.9,17.9),又2P2 x(x0,V0)2P 320x y (x。、。)2P320,2y (%，0)480,A C B2 51200 0 故P在此點達到最大值，即該公司的最大利潤為P（21.9,17.6）28189（美元）.2 連續(xù)復利e 的應用4( P159 164)利息是銀行對儲蓄（或借款）所支付（或收?。┏窘鹨酝獾呢泿陪y行支付（或收?。├⒌亩嗌?，以利率的高低來表示：單位時間的利率=單位時間的利息/存入本金例如，存入1000元，年利息是80元，則年利率為8% 一般地，單位時間取年或月2.1 單利設本金為A0 （可

15、指投資、存款等） ，年利率是r ，所謂單利是指僅按本金來計算利息例如A0的投資時間為t年，那么t年后可得單利IA0rt本利和是A A0 IA0 A0rtA0（1 rt ）例 71000元投資 5年，年利率6% ，于是 5年后共得單利I 1000 0.06 5 300 （元）本利和是A 1000 300 1300 （元）2.2 復利所謂復利是指經(jīng)過一年時間，將所生成利息加入本金再生利息，逐期滾算假定本金為A0 元，年利率為 r ， 那么一年后的利息是A0r ， 此時本金就成了A0 A0 rA（0 1+r） 再經(jīng)過一年又得復利r A（0 1+t） ，本金成了A（0 1+r） +rA（0 1+r）

16、=A（0 1+r）2以此類推， t 年后本金 A（t） 就成了A（t）=A（0 1+r）t例 8 如果例 7 按年計算復利，那么 5 年后本金就成了5A（5）=1000 （1+0.06 ）5 1000 1.33823 1338.23（元）利息是338.23元.設年利率為r ,如果一年計算 m次復利(m是正整數(shù))，那么t年就計算tm次，每次的利率算作 rm設本金為Ao元，年利率為r ,每年計算 m次，那么t年后本金為A(t)=A 0( 1+ )mt m 例9 如果例7每年計算復利4次，那么5年后本金是 0.06 4 520-.A(5)=1000(1 +)1000 1.0151000 1.3468

17、6 1346.86(兀)4利息是346.86元.2.3 連續(xù)復利從上面例子可以看出，計算復利的次數(shù)越多，既周期越短，利息就越高，我們自然會問，如果 利息按連續(xù)復利計算，既計算復利的次數(shù)m趨于無窮大時，t年后本金(既本利和)是多少？此時可按如下公式計算m rtA(t) = lim A(1 + ) mt A0 lim (1+二)rArtmm m m這種計利方法稱為連續(xù)復利.例10 如果例7按連續(xù)復利計算，那么 5年后本金是A(5) 1000 e0.065 1000 e0.3 1349.86 (元)連續(xù)復利的計算公式在其他許多問題中也常有應用.例如細胞分裂、樹木生長等問題.3定積分的應用5(P23

18、27)3.1 由經(jīng)濟函數(shù)的邊際，求經(jīng)濟函數(shù)在區(qū)間上的增量根據(jù)邊際收入，邊際成本，邊際利潤以及產(chǎn)量x的變動區(qū)間a,b上的改變量(增量)就等于它們各自邊際在區(qū)間a,b上的定積分：bR(b) R(a) R(x)dx(1)a bC(b) C(a) C (x)dx(2)a bP(b) P(a) P (x)dx(3)a例11 已知某商品邊際收入為0.08x 25 (萬元/噸)，邊際成本為5 (萬元/噸)，求產(chǎn)量x從250噸增力口至iJ 300噸時銷售收入 R(x),總成本C(x),利潤P(x)的改變量(增量).解首先求邊際利潤P(x) R(x) C(x)0.08x 25 50.08x 20所以根據(jù)式（1）

19、、式（2）、式（3）,依次求出:R(300)R(250)300250 R(x)dx300250 ( 0.08x 25)dx150 (萬元)C(300)C(250)300250 c 3dx300250 5dx 250 (萬元)P(300)P(250)300250 P (x)dx300250 ( 0.08x 20)dx100 (萬元)3.2 由經(jīng)濟函數(shù)的變化率，求經(jīng)濟函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率設某經(jīng)濟函數(shù)的變化率為f （t）,則稱t2,”t)dtt2tl為該經(jīng)濟函數(shù)在時間間隔t2,t1內(nèi)的平均變化率.例12 某銀行的利息連續(xù)計算，利息率是時間 t （單位：年）的函數(shù):r(t) 0.08 0.015、

20、t求它在開始2年，即時間間隔 0,2內(nèi)的平均利息率.解由于0.01t t0 0.16 0.02亞，02r(t)dt02(0.08 0.015、, t)dt 0.16所以開始2年的平均利息率為2r（t）dt_r 0.08 0.01V20.094 （年）.2 0例13 某公司運行t （年）所獲利潤為 P（t）（元）利潤的年變化率為P（t） 3 105J（元/年）求利潤從第4年初到第8年末，即時間間隔 3,8內(nèi)年平均變化率.解由于8P dt 83 10%/t-7dt 2 105 （t 1m 3 38 105 （元/年） 33所以從第4年初到第8年末，利潤的年平均變化率為83 P (t)dt57.6

21、10 (兀/年)即在這5年內(nèi)公司平均每年平均獲利7.6 105元.4條件極值6( P5 8)如果在極值問題中自變量 x與y之間還要滿足一定的約束條件g(x, y) c ,這種在g(x, y) c條件下函數(shù)f (x,y)的極值稱為條件極值.求條件極值的問題需用到拉格朗日乘數(shù)法.例14 某工廠集資 元，擬建一個長方體無蓋水池，已知側(cè)面的單位面積造價為a元，底面的單位面積造價為b元，如何選擇水池的尺寸，能使水池的容積最大？解 設水池的長、寬、高分別為x, y,z依題意就是求函數(shù)V xyz (x 0, y 0,z 0)在條件約束a (2 xy 2yz) b xy下的條件極值.根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，作輔助

22、函數(shù)F x, y, z, xyz 2axz 2ayz bxy由Fxyz2azby0Fyxz2azbx0Fzxy2ax2ay 0F 2axz 2ayz bxy 0一(先移項)得 x y一(先移項)得 2az bx將它們代入式，得 x/一 x J一舍去、3b. 3b又有 y J, z 3b 3b 6a根據(jù)具體問題本身知道，水池容積的最大值是存在的，且最小值為零.所以，當水池的長、寬、1 1 1 :局分別為x 一、3b , y 田3b , z ，3b 時，水池的容積最大，最大容積為3b3b6avSb- .18ab由上例可以看出，求解條件極值的關鍵是通過拉格朗日乘數(shù)法作輔助函數(shù)F x,y,z,，條件極

23、值存在的必要條件就是函數(shù)F x,y,z,取得極值的必要條件.5級數(shù)的應用7( P11 15)隨著住房的私有化，個人住房抵押貸款成了人們生活中的一項重要的經(jīng)濟生活.下面用級數(shù)的 知識來討論個人住房貸款中人們常選擇的按月還款方式的月還款額.設貸款額為B。，月還款為m ,貸款后第k個月時欠款余額為Bk,則由第k個月到第k月中，除月還款 m外還有什么因素參與？無疑是月息,設月利率為r,則有:0,1,2,3,即：Bk (1 r)Bk1 m,1,2,3,由式減去式,得遞推公式:Bk 1Bk(1 r)(BkBk 1)1,2,3,令 Ak (BkBk1),1,2,3,(4)則式變?yōu)?Ak1 (1 r)4,1,2,3,于是有Ak(1、k 1 *r)A1,1,2,3,(6)Bk1 (1 r