微積分在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用

1、微積分在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用人們面對著規(guī)模越來越大的經(jīng)濟(jì)和商業(yè)活動，逐漸轉(zhuǎn)向用數(shù)學(xué)方法來幫助自己進(jìn)行分析和決策,而且正越來越廣泛地應(yīng)用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行經(jīng)濟(jì)理論研究.在經(jīng)濟(jì)生活中經(jīng)常涉及成本、收入、利潤等 問題，解決這些問題與微積分有著緊密聯(lián)系.1導(dǎo)數(shù)及微分的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及微分在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用主要有邊際分析與彈性分析等.1(P3 7)1.1 邊際問題1.1.1 邊際成本邊際成本是指在一定產(chǎn)量水平下，增加或減少一個(gè)單位產(chǎn)量所引起成本總額的變動數(shù).設(shè)成本函數(shù)為C C(x),產(chǎn)量從x改變到xx時(shí)，成本相應(yīng)改變3C C(x x) C(x)成本的平均變化率為C C(x x) C(x)若當(dāng)x 0時(shí),xxlim 存在，

2、則這個(gè)極限值就可反映出產(chǎn)量有微小變化時(shí)，成本的變化情 x 0 x況.因此，產(chǎn)品在產(chǎn)量x時(shí)的邊際成本就是:dC C C(x x) C(x)C (x)lim lim - dx X 0 x x 0x如果生產(chǎn)某種產(chǎn)品100個(gè)單位時(shí)，總成本為 5000元，單位產(chǎn)品成本為 50元.若生產(chǎn)101個(gè)時(shí),其總成本5040元，則所增加一個(gè)產(chǎn)品的成本為40元，即邊際成本為40元.在經(jīng)營決策分析中，邊際成本可以用來判斷產(chǎn)量的增減在經(jīng)濟(jì)上是否合算.當(dāng)企業(yè)的生產(chǎn)能力 有剩余時(shí)，只要增加產(chǎn)量的銷售單位高于單位邊際成本，也會使得企業(yè)利潤增加或虧損減少.或者 說，只要邊際成本低于平均成本，也可降低單位成本.由上面知當(dāng)產(chǎn)量 x

3、100時(shí)，這時(shí)候有-C(100)C (100) 40- 50100即邊際成本低于平均成本，此時(shí)提高產(chǎn)量，有利降低單位成本.1.1.2 邊際收入邊際收入是指在某一水平增加或減少銷售一個(gè)單位商品的收入增加或減少的量.實(shí)際上就是收 入函數(shù)的瞬時(shí)變化率.而從數(shù)學(xué)的角度來看，它是一個(gè)導(dǎo)數(shù)問題.設(shè)收入函數(shù)為R R(x),則邊際收入函數(shù)就是dR R(x x) R(x)R (x) lim dx x 0x如R(15) 14,其經(jīng)濟(jì)含義是，在產(chǎn)量為15這一水平上再增加或減少銷售一個(gè)單位，其收入增加或減少14.1.1.3 邊際利潤由于利潤函數(shù)是收入函數(shù)與成本函數(shù)的差，即P(x) R(x) C(x),因此邊際利潤函數(shù)

4、為P(x) R(x) C(x)由上面的分析我們可以得出：邊際成本函數(shù)就是總成本函數(shù)對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)；邊際收入函數(shù)就是 總收入函數(shù)對銷量的導(dǎo)數(shù)；邊際利潤函數(shù)就是總利潤函數(shù)對銷量的導(dǎo)數(shù).例1 某企業(yè)每月生產(chǎn)的總成本 C (千元)是產(chǎn)量x (噸)的函數(shù)C(x) x2 10x 20如果每噸產(chǎn)品銷售價(jià)格 2萬元，求每月生產(chǎn)10噸、15噸、20噸時(shí)的邊際禾1J潤.解因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)為總收入減去總成本.即_ 2_ 2 P(x) R(x) C(x) 20x (x2 10x 20) x2 30x 20所以邊際利潤為于是P (x) 2x 30P(10)2 10 30 10 (千元/噸)P (15)2 15 30 0 (千

5、元/噸)P(20)2 20 3010 (千元/噸)上述結(jié)果表明,當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí)，邊際利潤為0,如果再增加產(chǎn)量，利潤不會增加反而減少, 所以該企業(yè)不能單獨(dú)依靠增加產(chǎn)量來提高利潤.1.2 彈性問題 2(P34 37)彈性原是物理學(xué)上的概念，意指某一物體對外界力量的反應(yīng)力.經(jīng)濟(jì)活動中的彈性是指當(dāng)經(jīng)濟(jì)變量存在函數(shù)關(guān)系時(shí)，因變量對自變量變動的反應(yīng)程度.若兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系為y f(x),設(shè)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，以 x, y分別表示變量x, y的變動量，則把.y/y0 y xo x。lim lim f (x0)x 0 x/Xox 0 x y。f(x。)稱為函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x0

6、處的彈性，記作Ey 或 Ef(x)ExxxoEx xxo若f(x)可導(dǎo)，則它在任意點(diǎn)處的彈性為：Ef(x)x,、f (x) Exf(x)式為點(diǎn)彈性，式為弧彈性.彈性的本質(zhì)是相對變化率，表現(xiàn)因變量對自變量的相對變化所做出的反應(yīng)即靈敏度.彈性的經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)自變量變化為1%時(shí)，函數(shù)變化為且3%.Ex設(shè) | x x0 a ,即y/ y。 dy x。 lim x。x/x。 dx y0若 x/x0 1% ,即 dx/x。 1% ,則 dy/y。當(dāng)x在X0處變化(上升或下降)1%時(shí)，y變化Ex1dy/ y。adx/ x0a 1% ,而dy y ,故y/ y0 a% ,這就是說(上升或下降)a% .所以彈性

7、是f (x)對x變化反應(yīng)的靈敏度.例2 設(shè)某種商品的需求量 Q與價(jià)格x之間的函數(shù)關(guān)系為x(8 3x)試求在x14916、2 (元)的價(jià)格水平時(shí),9需求量對價(jià)格的彈性(簡稱需求價(jià)格彈性)EQExx(8 6x)x(8 3x)6x8 3x14故EQEx14-99-。.4,表明在3似91414元的價(jià)格水平時(shí)，價(jià)格上漲1%則需求量下降9940.4% .EQEx16 x 一1,表明在16元的價(jià)格水平時(shí)，價(jià)格上漲1%,則需求量下降1%.9EQEx2 ,表明在2元的價(jià)格水平時(shí)，價(jià)格上漲1% ,則需求量下降2% .EQEx1時(shí)，稱需求是dR .f (x) dxf(x) 1 e(x)在一般情況下，商品的需求量和價(jià)

8、格是成反方向變動的，即需求價(jià)格彈性EQ 1時(shí)，稱需求是彈性的，當(dāng) 1 EQ 0時(shí)稱需求是低彈性的，當(dāng) EQExExEx有單位彈性的.利用需求價(jià)格彈性分析有助于作出正確的定價(jià)決策，當(dāng)需求是彈性時(shí)，總收入將因價(jià)格的下調(diào) 而增加；當(dāng)需求是低彈性時(shí)，總收入將因價(jià)格的上調(diào)而增加；當(dāng)需求是有單位彈性時(shí)，總收入取得最 大值.設(shè)某商品的需求函數(shù)為 Q f(x),則總收入函數(shù)為 R Q x xf(x),因?yàn)閤xf (x) f(x) 1 f (x) f(x)又f (x) 0,所以當(dāng)EQ 1時(shí)dR 0,即當(dāng)需求是低彈性時(shí)，總收入隨價(jià)格增加而增加，故此時(shí)可上調(diào)價(jià)格Ex dx而使收入增加.當(dāng)EQ 1時(shí)dR 0 ,即當(dāng)需

9、求是彈性的時(shí)候，總收入隨價(jià)格增加而減少，故此時(shí)可下調(diào)價(jià)Ex dx格而使收入增加.當(dāng)EQ 1時(shí)dR 0 ,即當(dāng)需求有單位彈性時(shí)，價(jià)格水平是收入函數(shù)的駐點(diǎn)，故R取得最大Ex dx值.1416例3 在上例中當(dāng)x 14、16、2 (元)時(shí)，應(yīng)如何調(diào)整價(jià)格 ，才能使收入增加？調(diào)整價(jià)格后99收入變化幅度有多大？_14解當(dāng)x 一時(shí)，因?yàn)閑(x) 0.4,即需求是低彈性的，應(yīng)該上調(diào)價(jià)格，此時(shí)由于 9ER f) xf(x)Ex Exxf (x)1 f (x) f(x)1 -EQ 1 0.4 0.6Ex即價(jià)格上調(diào)1%后收入增加0.6%;當(dāng)x 16時(shí)，EQ1 ,此時(shí)收入最大，應(yīng)該維持原價(jià)；9 Ex當(dāng)x 2時(shí)，EQ

10、2,即需求是彈性的，此時(shí)應(yīng)該下調(diào)價(jià)格，因?yàn)镋xER i eq i 2 iEx Ex故價(jià)格下調(diào)1%時(shí)，收入增加1%.1.3偏彈性在經(jīng)濟(jì)函數(shù)中，影響一個(gè)經(jīng)濟(jì)量的因素是多種多樣的，例如，商品的需求量受到商品價(jià)格、消 費(fèi)者的愛好、每個(gè)人的收入等因素的影響.也就是說，商品的需求量是一個(gè)多元函數(shù).又如，產(chǎn)出 量與投入的勞力、資本、土地、能源等因素有關(guān)，或者說產(chǎn)出是諸多元素的多元函數(shù).與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)類似，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中表示邊際經(jīng)濟(jì)量.邊際經(jīng)濟(jì)量的經(jīng)濟(jì)含 義是：當(dāng)其中一個(gè)的經(jīng)濟(jì)量變化一個(gè)微小單位時(shí)，（其他經(jīng)濟(jì)量需保持不變），總經(jīng)濟(jì)量的變化量.我們以生產(chǎn)函數(shù) G f（K,L）（其中K表示資本，L表

11、示勞力）為例引入偏彈性的概念.稱比G值 上為產(chǎn)出G對資本K的偏彈性.它的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)資本 K增加1%時(shí)，產(chǎn)品增加的百分?jǐn)?shù)；GKG稱比值 為產(chǎn)出G對勞力L的偏彈性，它的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)勞力 L增加1%時(shí)，產(chǎn)品增加的百分 GL例4 證明C D生產(chǎn)函數(shù)中的參數(shù)是產(chǎn)出G對勞力L的偏彈性，參數(shù) 是產(chǎn)出G對資本K的偏彈性.證明 由C D生產(chǎn)函數(shù)G AL K/曰G1 G1得 ALK; A L K LKG1 , 于是，產(chǎn)出G對勞力L的偏彈性為 一L A L K L ,G AL K LG1產(chǎn)出G對資本K的偏彈性為-K A L K- K . G AL KK1.4最大利潤與最小成本3（ P50 56）15利潤取得最

12、大值的必要條件是:P(x)充分條件是:P (x)如果生產(chǎn)原料有兩種，總利潤為P(x, y),其中x,y分別表示兩種原料的數(shù)量.則取得最大值的必要條件是:充分條件是:2P設(shè)一x(xo，y0)A, 2Px y(xo，yo)B, 2Py(N.y。)滿足A例5 設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)q個(gè)單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是 ：C(q) q3 10q2 50q ,求使得平均成本C(q)為最小的產(chǎn)量；算出最小平均成本C(q) q-10q50q q2 10q 50,那么 C (q) 2q 10,令 C (q) 0, q又C(5) 2 0,所以C(q)在q 5取得極小值點(diǎn)，所以理論上C(q)的最小值是存在的，q5時(shí)平均成本C(q)為

13、最小.最小平均成本C min (5) 52 105 50 25.例6某公司在生產(chǎn)中使用和兩種原料，已知 和 兩種原料分別使用 x單位和y單位可生產(chǎn)u單位的產(chǎn)品，且有：u(x, y)2-28xy 32x 40y 4x 6y ,并且第一種原料每單位的價(jià)值為10美元，第二種原料每單位的價(jià)值為4美元，產(chǎn)品每單位的售價(jià)為 40美元啊，求該公司的最大利潤？解 生產(chǎn)u(x, y)單位的產(chǎn)品的總成本為10x 4y ,總收入為40u(x, y),從而利潤函數(shù)為P(x, y)40u(x, y) 10x 4y 320xy 1270x1596y 160x2 240y2,再由 xP 320y 1270 320x 0,

14、320x y1596 480y 0解得駐點(diǎn)為:P(x0,y0) (21.9,17.9),又2P2 x(x0,V0)2P 320x y (x。、。)2P320,2y (%，0)480,A C B2 51200 0 故P在此點(diǎn)達(dá)到最大值，即該公司的最大利潤為P（21.9,17.6）28189（美元）.2 連續(xù)復(fù)利e 的應(yīng)用4( P159 164)利息是銀行對儲蓄（或借款）所支付（或收?。┏窘鹨酝獾呢泿陪y行支付（或收?。├⒌亩嗌?，以利率的高低來表示：單位時(shí)間的利率=單位時(shí)間的利息/存入本金例如，存入1000元，年利息是80元，則年利率為8% 一般地，單位時(shí)間取年或月2.1 單利設(shè)本金為A0 （可

15、指投資、存款等） ，年利率是r ，所謂單利是指僅按本金來計(jì)算利息例如A0的投資時(shí)間為t年，那么t年后可得單利IA0rt本利和是A A0 IA0 A0rtA0（1 rt ）例 71000元投資 5年，年利率6% ，于是 5年后共得單利I 1000 0.06 5 300 （元）本利和是A 1000 300 1300 （元）2.2 復(fù)利所謂復(fù)利是指經(jīng)過一年時(shí)間，將所生成利息加入本金再生利息，逐期滾算假定本金為A0 元，年利率為 r ， 那么一年后的利息是A0r ， 此時(shí)本金就成了A0 A0 rA（0 1+r） 再經(jīng)過一年又得復(fù)利r A（0 1+t） ，本金成了A（0 1+r） +rA（0 1+r）

16、=A（0 1+r）2以此類推， t 年后本金 A（t） 就成了A（t）=A（0 1+r）t例 8 如果例 7 按年計(jì)算復(fù)利，那么 5 年后本金就成了5A（5）=1000 （1+0.06 ）5 1000 1.33823 1338.23（元）利息是338.23元.設(shè)年利率為r ,如果一年計(jì)算 m次復(fù)利(m是正整數(shù))，那么t年就計(jì)算tm次，每次的利率算作 rm設(shè)本金為Ao元，年利率為r ,每年計(jì)算 m次，那么t年后本金為A(t)=A 0( 1+ )mt m 例9 如果例7每年計(jì)算復(fù)利4次，那么5年后本金是 0.06 4 520-.A(5)=1000(1 +)1000 1.0151000 1.3468

17、6 1346.86(兀)4利息是346.86元.2.3 連續(xù)復(fù)利從上面例子可以看出，計(jì)算復(fù)利的次數(shù)越多，既周期越短，利息就越高，我們自然會問，如果 利息按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，既計(jì)算復(fù)利的次數(shù)m趨于無窮大時(shí)，t年后本金(既本利和)是多少？此時(shí)可按如下公式計(jì)算m rtA(t) = lim A(1 + ) mt A0 lim (1+二)rArtmm m m這種計(jì)利方法稱為連續(xù)復(fù)利.例10 如果例7按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，那么 5年后本金是A(5) 1000 e0.065 1000 e0.3 1349.86 (元)連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式在其他許多問題中也常有應(yīng)用.例如細(xì)胞分裂、樹木生長等問題.3定積分的應(yīng)用5(P23

18、27)3.1 由經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際，求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的增量根據(jù)邊際收入，邊際成本，邊際利潤以及產(chǎn)量x的變動區(qū)間a,b上的改變量(增量)就等于它們各自邊際在區(qū)間a,b上的定積分：bR(b) R(a) R(x)dx(1)a bC(b) C(a) C (x)dx(2)a bP(b) P(a) P (x)dx(3)a例11 已知某商品邊際收入為0.08x 25 (萬元/噸)，邊際成本為5 (萬元/噸)，求產(chǎn)量x從250噸增力口至iJ 300噸時(shí)銷售收入 R(x),總成本C(x),利潤P(x)的改變量(增量).解首先求邊際利潤P(x) R(x) C(x)0.08x 25 50.08x 20所以根據(jù)式（1）

19、、式（2）、式（3）,依次求出:R(300)R(250)300250 R(x)dx300250 ( 0.08x 25)dx150 (萬元)C(300)C(250)300250 c 3dx300250 5dx 250 (萬元)P(300)P(250)300250 P (x)dx300250 ( 0.08x 20)dx100 (萬元)3.2 由經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率，求經(jīng)濟(jì)函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率設(shè)某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率為f （t）,則稱t2,”t)dtt2tl為該經(jīng)濟(jì)函數(shù)在時(shí)間間隔t2,t1內(nèi)的平均變化率.例12 某銀行的利息連續(xù)計(jì)算，利息率是時(shí)間 t （單位：年）的函數(shù):r(t) 0.08 0.015、

20、t求它在開始2年，即時(shí)間間隔 0,2內(nèi)的平均利息率.解由于0.01t t0 0.16 0.02亞，02r(t)dt02(0.08 0.015、, t)dt 0.16所以開始2年的平均利息率為2r（t）dt_r 0.08 0.01V20.094 （年）.2 0例13 某公司運(yùn)行t （年）所獲利潤為 P（t）（元）利潤的年變化率為P（t） 3 105J（元/年）求利潤從第4年初到第8年末，即時(shí)間間隔 3,8內(nèi)年平均變化率.解由于8P dt 83 10%/t-7dt 2 105 （t 1m 3 38 105 （元/年） 33所以從第4年初到第8年末，利潤的年平均變化率為83 P (t)dt57.6

21、10 (兀/年)即在這5年內(nèi)公司平均每年平均獲利7.6 105元.4條件極值6( P5 8)如果在極值問題中自變量 x與y之間還要滿足一定的約束條件g(x, y) c ,這種在g(x, y) c條件下函數(shù)f (x,y)的極值稱為條件極值.求條件極值的問題需用到拉格朗日乘數(shù)法.例14 某工廠集資 元，擬建一個(gè)長方體無蓋水池，已知側(cè)面的單位面積造價(jià)為a元，底面的單位面積造價(jià)為b元，如何選擇水池的尺寸，能使水池的容積最大？解 設(shè)水池的長、寬、高分別為x, y,z依題意就是求函數(shù)V xyz (x 0, y 0,z 0)在條件約束a (2 xy 2yz) b xy下的條件極值.根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，作輔助

22、函數(shù)F x, y, z, xyz 2axz 2ayz bxy由Fxyz2azby0Fyxz2azbx0Fzxy2ax2ay 0F 2axz 2ayz bxy 0一(先移項(xiàng))得 x y一(先移項(xiàng))得 2az bx將它們代入式，得 x/一 x J一舍去、3b. 3b又有 y J, z 3b 3b 6a根據(jù)具體問題本身知道，水池容積的最大值是存在的，且最小值為零.所以，當(dāng)水池的長、寬、1 1 1 :局分別為x 一、3b , y 田3b , z ，3b 時(shí)，水池的容積最大，最大容積為3b3b6avSb- .18ab由上例可以看出，求解條件極值的關(guān)鍵是通過拉格朗日乘數(shù)法作輔助函數(shù)F x,y,z,，條件極

23、值存在的必要條件就是函數(shù)F x,y,z,取得極值的必要條件.5級數(shù)的應(yīng)用7( P11 15)隨著住房的私有化，個(gè)人住房抵押貸款成了人們生活中的一項(xiàng)重要的經(jīng)濟(jì)生活.下面用級數(shù)的 知識來討論個(gè)人住房貸款中人們常選擇的按月還款方式的月還款額.設(shè)貸款額為B。，月還款為m ,貸款后第k個(gè)月時(shí)欠款余額為Bk,則由第k個(gè)月到第k月中，除月還款 m外還有什么因素參與？無疑是月息,設(shè)月利率為r,則有:0,1,2,3,即：Bk (1 r)Bk1 m,1,2,3,由式減去式,得遞推公式:Bk 1Bk(1 r)(BkBk 1)1,2,3,令 Ak (BkBk1),1,2,3,(4)則式變?yōu)?Ak1 (1 r)4,1,2,3,于是有Ak(1、k 1 *r)A1,1,2,3,(6)Bk1 (1 r