小學(xué)奧數(shù)—抽屜原理講解

1、小學(xué)奧數(shù)抽屜原理（一）抽屜原理 1 將多于 n 件物品任意放到 n 個(gè)抽屜中， 那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于 2 件。抽屜原理 2 將多于 m n 件物品任意放到到 n 個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于（ m+1 ）件。例1 五年級有 47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競賽，成績都是整數(shù)，滿分是 100分。已 知3名學(xué)生的成績在60分以下，其余學(xué)生的成績均在7595分之間。問：至少 有幾名學(xué)生的成績相同？【分析與解答】 關(guān)鍵是構(gòu)造合適的抽屜。既然是問“至少有幾名學(xué)生的成績相 同”，說明應(yīng)以成績?yōu)槌閷希瑢W(xué)生為物品。除 3名成績在 60分以下的學(xué)生外， 其余成績均在 7595分之間， 7595共

2、有 21個(gè)不同分?jǐn)?shù)，將這 21個(gè)分?jǐn)?shù)作為 21個(gè)抽屜，把47-3=44 （個(gè)）學(xué)生作為物品。44 2仁22,根據(jù)抽屜原理2, 至少有 1 個(gè)抽屜至少有 3件物品，即這 47名學(xué)生中至少有 3名學(xué)生的成績是相 同的。例 2 夏令營組織 2000 名營員活動(dòng)，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個(gè) 項(xiàng)目。規(guī)定每人必須參加一項(xiàng)或兩項(xiàng)活動(dòng)。 那么至少有幾名營員參加的活動(dòng)項(xiàng)目 完全相同？【分析與解答】 本題的抽屜不是那么明顯，因?yàn)閱柕氖恰爸辽儆袔酌麪I員參加 的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同”，所以應(yīng)該把活動(dòng)項(xiàng)目當(dāng)成抽屜，營員當(dāng)成物品。營員數(shù) 已經(jīng)有了， 現(xiàn)在的問題是應(yīng)當(dāng)搞清有多少個(gè)抽屜。 因?yàn)椤懊咳吮仨殔⒓右豁?xiàng)或兩

3、項(xiàng)活動(dòng)”，共有 3 項(xiàng)活動(dòng)，所以只參加一項(xiàng)活動(dòng)的有 3種情況，參加兩項(xiàng)活動(dòng)的 有爬山與參觀、爬山與海灘游玩、參觀與海灘游玩 3 種情況，所以共有 3+3=（6 個(gè)） 抽屜。2000 6=3332,根據(jù)抽屜原理2,至少有一個(gè)抽屜中有 333+仁33（件） 物品，即至少有 334名營員參加的活動(dòng)項(xiàng)目是相同的。例3把125本書分給五（ 2）班學(xué)生,如果其中至少有 1 人分到至少 4本書,那 么,這個(gè)班最多有多少人？【分析與解答】 這道題一下子不容易理解,我們將它變變形式。因?yàn)槭前褧?給學(xué)生,所以學(xué)生是抽屜,書是物品。本題可以變?yōu)椋?125件物品放入若干個(gè)抽屜，無論怎樣放，至少有一個(gè)抽屜中放有 4

4、件物品，求最多有幾個(gè)抽屜。這個(gè)問 題的條件與結(jié)論與抽屜原理 2 正好相反，所以反著用抽屜原理 2即可。由1255（ 4-1 ）= 412知，125件物品放入41個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有不少于 4 件物品。也就是說這個(gè)班最多有 41 人。同學(xué)們想一想，如果有 42 個(gè)人，還能保證至少有一人分到至少 4 本書嗎？ 例 4 五（ 1 ）班張老師在一次數(shù)學(xué)課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對得2 分，沒做得 1 分，做錯(cuò)得 0分。張老師說：可以肯定全班同學(xué)中至少有 6 名學(xué)生各題的 得分都相同。那么，這個(gè)班最少有多少人？【分析與解答】 由“至少有 6 名學(xué)生各題的得分都相同”看出，應(yīng)該以各題得 分情況為抽屜

5、，學(xué)生為物品。如果用（a, b）表示各題的得分情況，其中 a, b 分別表示第一、二題的得分，那么有（ 2， 2），（2， 1），（2， 0），（1， 2），（1， 1），（1， 0），（0， 2），（0， 1），（0， 0）9種情況，即有 9個(gè)抽屜。 本題變?yōu)椋阂阎?9 個(gè)抽屜中至少有一個(gè)抽屜至少有 6件物品，求至少有多少件物 品。反著用抽屜原理 2，得到至少有 9（ 61）+1=46（人）。例 5 任意將若干個(gè)小朋友分為五組。 證明：一定有這樣的兩組， 兩組中的男孩總 數(shù)與女孩總數(shù)都是偶數(shù)?！痉治雠c解答】 因?yàn)橐唤M中的男孩人數(shù)與女孩人數(shù)的奇偶性只有下面四種情況： （奇，奇），（奇，偶），（

6、偶，奇），（偶，偶）。將這四種情況作為 4 個(gè)抽屜，五組作為 5 件物品，由抽屜原理 1 知，至少有一個(gè)抽屜中有兩件物品。即這 五組中至少有兩組的情況相同， 將這兩組人數(shù)相加， 男孩人數(shù)與女孩人數(shù)都是偶 數(shù)。小學(xué)奧數(shù)抽屜原理（二）例1從1, 3, 5, 7, 47, 49這25個(gè)奇數(shù)中至少任意取出多少個(gè)數(shù)，才能 保證有兩個(gè)數(shù)的和是 52?！痉治雠c解答】 首先要根據(jù)題意構(gòu)造合適的抽屜。 在這 25 個(gè)奇數(shù)中, 兩兩之和 是 52 的有 12 種搭配：3, 49, 5, 47, 7, 45, 9, 43,11,41 , 13, 39, 15, 37, 17, 35,19, 33, 21, 31,

7、23, 29, 25, 27。將這 12 種搭配看成 12 個(gè)抽屜,每個(gè)抽屜中有兩個(gè)數(shù),還剩下一個(gè)數(shù) 1,單獨(dú)作 為一個(gè)抽屜。這樣就把 25個(gè)奇數(shù)分別放在 1 3個(gè)抽屜中了。因?yàn)橐还灿?13個(gè)抽 屜,所以任意取出 14個(gè)數(shù),無論怎樣取,至少有一個(gè)抽屜被取出 2個(gè)數(shù),這兩 個(gè)數(shù)的和是 52。所以本題的答案是取出 14個(gè)數(shù)。例 2 在下圖所示的 8行 8列的方格表中, 每個(gè)空格分別填上 1, 2, 3這三個(gè)數(shù)字 中的任一個(gè), 使得每行、 每列及兩條對角線上的各個(gè)數(shù)字的和互不相等, 能不能 做到？【分析與解答】 在 8行 8列的方格表中, 8行有 8個(gè)和, 8列也有 8個(gè)和, 2 條 對角線有 2

8、個(gè)和,所以一共有 8+8+2=18（個(gè)）和。因?yàn)轭}目問的是,這 18 個(gè)和 能否互不相等,所以這 18 個(gè)和是物品,而和的不同數(shù)值是抽屜。 按題目要求,每個(gè)和都是由 1, 2, 3 三個(gè)數(shù)中任意選 8個(gè)相加而得到的。這些和 中最小的是 8個(gè)都是 1 的數(shù)相加,和是 8；最大的是 8個(gè)都是 3的數(shù)相加,和是 24。在 8 至 24 之間，不同的和只有 24-8+1=17（個(gè)） 。將這 17 個(gè)不同的和的數(shù)值 作為抽屜，把各行、列、對角線的 18 個(gè)和作為物品。把 18件物品放入 17 個(gè)抽 屜，至少有一個(gè)抽屜中的物品數(shù)不少于 2 件。也就是說，這 18 個(gè)和不可能互不 相等。例3用 1，2，3，

9、4這4個(gè)數(shù)字任意寫出一個(gè) 10000位數(shù)，從這個(gè) 10000位數(shù)中 任意截取相鄰的 4 個(gè)數(shù)字，可以組成許許多多的四位數(shù)。 這些四位數(shù)中至少有多 少個(gè)是相同的？【分析與解答】 猛一看，誰是物品，誰是抽屜，都不清楚。因?yàn)閱栴}是求相鄰 的 4 個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)有多少個(gè)是相同的，所以物品應(yīng)是截取出的所有四位 數(shù)，而將不同的四位數(shù)作為抽屜。在 10000 位數(shù)中，共能截取出相鄰的四位數(shù) 10000-3=9997（個(gè)），即物品數(shù)是 9997個(gè)。用 1，2，3，4 這四種數(shù)字可以組成的不同四位數(shù)，根據(jù)乘法原理有4 4 4 4=256 （種），這就是說有256個(gè)抽屜。9997 256=3913,所以這些四

10、位數(shù)中，至少有 40 個(gè)是相同的。練習(xí)1. 紅光小學(xué)每周星期一、三、五、六各舉辦一種課外活動(dòng)，問：至少要有多少學(xué) 生報(bào)名參加，才能保證其中至少有 3 位學(xué)生所參加的課外活動(dòng)完全一樣？2. 任意取多少個(gè)自然數(shù)，才能保證至少有兩個(gè)數(shù)的差是 7 的倍數(shù)？3. 在前 10 個(gè)自然數(shù)中，至少取多少個(gè)數(shù)，才能保證其中有兩個(gè)數(shù)的和是10？4. 右圖是一個(gè) 5 行 5 列的方格表， 能否在每個(gè)方格中分別填上 1，2，3 中的一個(gè) 數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的五個(gè)方格中的數(shù)字之和互不相同？5. 要把 85 個(gè)球放入若干個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中最多放 7 個(gè)。問：至少有幾個(gè)盒 子中放球的數(shù)目相同？習(xí)題答案1.4

11、 箱。提示：92（ 138-110+1） =35。2.28 人。提示：200（ 8-1 ） =284。3.8 堆。提示：每堆只有一枚分幣的有 1 分、2 分、5 分三種情況，每堆有兩枚 分幣的有 1分與 2分，1 分與5分，2分與 5分三種情況，每堆有三枚分幣的只 有一種情況。將這 3+3+1=7（種）情況作為 7 個(gè)抽屜。4.11 人。提示：四類書至多借 2 本的借法有：甲，乙，丙，丁，甲乙，甲丙， 甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共 10 種。將這 10 種借法看成 10 個(gè)抽屜。5.正確。提示：75年約有60 60 24 366 7523.72 （億秒），以每2秒為一個(gè)抽屜，共有23.72 2=1

12、1.86億（個(gè)）抽屜，將12億件物品放入11.86億個(gè) 抽屜，至少有一個(gè)抽屜有不少于 2 件物品，即至少有兩人的出生時(shí)間在兩秒之內(nèi)。6.43 人。提示：從 4名候選人中選出 2名，共有 3+2+1=6（種）不同的選法。將 這6種選法作為抽屜，全班學(xué)生作為物品，至少應(yīng)有 6（8-1） +1=43（件）物 品。7.提示：假設(shè)16個(gè)小朋友每人分到的餅干數(shù)目都不相同，則至少有1+2+3+16=136（塊）餅干，現(xiàn)在只有 135塊餅干，所以假設(shè)不成立。1.31 名。提示：只參加一次活動(dòng)的有 4 種選擇；參加兩次活動(dòng)的有下面 6種 選擇：星期一、三,星期一、五,星期一、六,星期三、五星期三、六， 星期五、六參加三次活動(dòng)的有下面 4種選擇，星期一、三、五，星期一、三、六,星期一、五、六,星期三、五、六 參加四次活動(dòng)的有 1 種選擇。共有 4+6+4+1=15（種）選擇。2.8。提示：與例