抽象函數(shù)問題的求解策略探究

1、抽象函數(shù)問題的求解略探究Document number ： PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998抽象函數(shù)問題的求解策略探究湖南省黃愛民趙長春函數(shù)是每年高考的熱點(diǎn)，而抽象函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用又是函數(shù)的難點(diǎn)之一。抽 象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性 質(zhì)或運(yùn)算法則。此類函數(shù)試題既能全面地考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的 代數(shù)推理和論證能力，又能綜合考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力， 以及對一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題 中不斷地出現(xiàn)。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù) 學(xué)生在解決這類問題時(shí)，感

2、到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解 策略。一、具體模型策略例1.已知函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)X?、y滿足f(O)WO,例x+y)己(x)(y),且當(dāng)xVO時(shí),f(x) >1,則當(dāng)x>0時(shí)f(x)的取值范圍是。解析：令 f(x)=ax(0VaVl)易得 OVf (x) VI。評析：借助特殊函數(shù)直接解抽象函數(shù)客觀題是常用的解題處理方法，可以迅速得到正確答 案。二、類比聯(lián)想策略例2 .已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且f(x + 2)l-f(x)=l + f(x), «2)二1-#,貝虹(2006)=()A 2-6 B 1-小 C 2 + / D 1 + /分析：

3、由條件知，f(x+2)= 葉口(*),又f(-1)=2-6 ,逐步推出f(2006),顯然比較繁鎖，若將(*)式與tan(x + f) = 產(chǎn)上進(jìn)行類比，則結(jié)41 一 tanx構(gòu)形式類似而anx的周期為E吟.于是便產(chǎn)生一個(gè)念頭：處也有可能是周期函數(shù)，周期為4x2 = 8.+4) = /(x +2) + 2 =1 +l + /(x + 2)_1 - /(x + 2) _ 1 + /(X)17m.J(X +8) = /(x +4) + 4 =fW1 fW 于是猜想成立。.-.f (2006) =f (8x250 + 6)= f (6) = f ( - 2 + 8)二 一 /(-2) = 1-#.從

4、而應(yīng)選 B。 評析：由于抽象函數(shù)的結(jié)論對任何滿足條件的具體函數(shù)都成立，因而可以通過 考察一些具體函數(shù)，巧妙類比聯(lián)想，以找到解題的突破口，最后利用具體函數(shù) 的一些性質(zhì)探索出抽象函數(shù)的解題思路。三、運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)策略例3 .定義在R上的單調(diào)函數(shù))，= /*)滿足/(3) = log? 3,且對任意的x、yeR 都有 /(X+y) = fW + f(y)(1)求證:/*)為奇函數(shù)(2)若%3*) + /(3-為-2)<0對任意xeR恒成 立，求實(shí)數(shù)攵的取值范圍。解:令 ” =)= (),代入 f(x+y)=x) + 0(y) 得：/(0) = 2/(0) A /(0) = 0 令丁 = 一天代入

5、上式得：/(X-X)= /(A-) + /(-X),又 0)=。= fW + f(-x)即 /(x) = -f(x)對任意 X e R 成立， /(X)是奇函數(shù) /= log2 3>0,又/(X)在 R 上單調(diào)且/(0) = 0, ”3) > /(0), 故/(X) 是R上的增函數(shù)，又由(1)知/(X)為奇函數(shù)心3 ")< 一 "3" 9' - 2) = f(-3x + 9'+ 2),二守 < 一3' + 9V + 2,即A < 一 1 + 3" + 彳=力(x) 恒成立，只需攵<人(幻1nl“

6、易求皿幻1nm =2點(diǎn)一 1，/<2五一1.評析：函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點(diǎn)等)反 應(yīng)出來的，抽象函數(shù)也是如此.只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)， 靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問題才能峰回路轉(zhuǎn)，化難為易，常用的解題考法 有：6)利用奇偶性整體思考；利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化；利用周期性回歸已 知，利用對稱性數(shù)形結(jié)合；借助特殊點(diǎn)，列方程(組)等.四、賦值換元策略例4 .是否存在函數(shù)/*)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：(1) f(x+y) + f(x-y) = 2/(x)cosy e R) ； (2) /(0) = a("為常數(shù))；(3) /(q)= (b為常數(shù))

7、若存在，求的表達(dá)式；若不存在，請說明理由。分析：條件中X、)，的任意性，隱含著、y既可“換元”，又可“賦值”，結(jié)合 條件和(3),可望構(gòu)造出函數(shù)方程組，從而求得函數(shù)表達(dá)式。令x = O，y=,， 得 f(t) + f(-t) = 2acost 1令工=+，y = ,得 f(7r+t)+f(t)= o 令x = £, y = t + ,得/(;r47)+ /(-/) =-2。sin 22將+得 f(x) = acost + hsint,故存在 /'(x) = a cos f +Osin/符合題意。評析：對于用常規(guī)解法難以解決的數(shù)學(xué)問題，若利用一些特殊的數(shù)學(xué)思想 方法求解，有時(shí)會(huì)

8、收到事半功倍的效果。方程觀點(diǎn)是處理數(shù)學(xué)問題的一個(gè)基本 觀點(diǎn)，挖掘隱含條件，合理賦值，構(gòu)造方程(組)，化函數(shù)問題為方程問題， 可使這類抽象函數(shù)問題迅速獲解。如(1)在求函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一 般用“代換”的方法，將x換成-x或?qū)換成L等；(2)在求函數(shù)值時(shí)，可用特X殊值(如0或1或一1)代人”；(3)研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題、填空題，或由具體模型函數(shù)對綜合題的解答提供思路和考法，或反 證、逆推諸法共用.五、分類討論策略例5 .設(shè)f (x)是定義在(-co, +oo)上的增函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)k,使 不等式f (k+sin2x) Nf (k-4) (sinx+cosx)

9、對任意xER恒成立并說明理 由。分析：令sinx+cosx =t,則sin2x = t2-l ,原不等式對一切xER恒成立， 等價(jià)于不等式H (t) = t2 - (k-4) t+ (k-1) NO 對任意 tE恒成立，下列分三種情況討論：(1)當(dāng)<()時(shí)，口 (t) NO,對 tEJI JI恒成立，由二(攵一4)2-4 (k-1) =(k-2) (k-10) <0 得 2<k<10 ；(2)當(dāng)=()時(shí)，k=2或k=10,此時(shí)拋物線/ - (k-4) t+ (k-1)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t=-1或3, u (t) NO對任意恒成H (t) = t: - (k-4) t+ (k-

10、1) NO(3)當(dāng)>()時(shí)，u (t) NO對任意tE -VIVI恒成立的充要條件是：> 0<9 + 5x/2k - 4 l2h(>/2) > 0工一丘=10<k 2h(-V2) > 0 綜上所述得k的取值范圍是2,9 + 50.評析：對于參數(shù)的抽象函數(shù)問題，通過挖掘隱含條件，尋求分類標(biāo)準(zhǔn)，逐類討 論，分而治之是解題的常用方法.六、整體求解策略例6、已知f(x), g(x)為奇函數(shù),F(x)=af為)+bg數(shù))+3 (a, b為常數(shù))若F(4) 二- 4,貝lj F (- 4)= o解:設(shè)(p(x)=af(x)+bg(x),則cp(x)=F(x) -

11、3,由題設(shè)可知cp(x)為奇函數(shù)，(p(-4) = -(p(4)即 F( 4) 3二F(4) 3,故F(-4)=10評析：運(yùn)用整體思想求解，即先化整體為局部，再由各局部的解決使問題獲 解。七、正難則反策略例7 .已知f(x)在實(shí)集R上是增函數(shù)，a, b都是實(shí)數(shù)，若f(a)+f(b)Nf (-a) +f ( - b),求證：a+bNO。分析：本題若用直接證法顯然無從下手，但考慮用反證法則問題可以很快解 決。證明：假設(shè)a+bO,則水-b,b-a,因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù),故f(a)f(- b) ,f(b)<f(-a),兩式相加:f (a)+f (b) <f(-a)+f(-b),這與條

12、件 f (a)+f (b) Nf(-a)+f(-b)矛盾，故假設(shè)不成立，于是a+bNO。八、數(shù)形轉(zhuǎn)化策略例8 .已知f(x)是R上的奇函數(shù)，在區(qū)間(0, +oo)上是增函數(shù)，又儀-3) = 0,那么x,f(x) <0的解集是A、 x! - 3<x<0°£x>3|yB、 xx < - 3 或0 < x < 3C、 乂出<一3或0<*<3D、 x I - 3<x<0 或 0 < x < 3解：根據(jù)題設(shè)條件可畫出函數(shù)y二f(x)的示意草圖，如上圖 f(3)=-f (-3)=0,而x.f(x)<0 .x與f(x)異