第二章靜電場(chǎng)

1、第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容電場(chǎng)強(qiáng)度、電位、介質(zhì)極化、場(chǎng)方程、邊界條件、能量與力電場(chǎng)強(qiáng)度、電位、介質(zhì)極化、場(chǎng)方程、邊界條件、能量與力1. 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度2. 真空中靜電場(chǎng)方程真空中靜電場(chǎng)方程3. 電位與等位面電位與等位面4. 介質(zhì)極化介質(zhì)極化5. 介質(zhì)中的靜電場(chǎng)方程介質(zhì)中的靜電場(chǎng)方程6. 兩種介質(zhì)的邊界條件兩種介質(zhì)的邊界條件7. 介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件8. 電容電容9. 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量10. 電場(chǎng)力電場(chǎng)力第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律真空中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律1. 庫(kù)侖庫(kù)侖（Coulomb）定律定律(1785

2、年年) 庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)：由靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。由靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。重要特征重要特征：對(duì)位于電場(chǎng)中的電荷有電場(chǎng)力作用。對(duì)位于電場(chǎng)中的電荷有電場(chǎng)力作用。真空中靜止點(diǎn)電荷真空中靜止點(diǎn)電荷 q1 對(duì)對(duì) q2 的作用力的作用力:yxzo1r1q2r12Rr12F2q121212122301201244Rq qq q RFeRR第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)3 電場(chǎng)力服從疊加定理電場(chǎng)力服從疊加定理()iiRrr 真空中的真空中的N個(gè)點(diǎn)電荷個(gè)點(diǎn)電荷 （分別位于（分別位于 ）對(duì)點(diǎn)電荷對(duì)點(diǎn)電荷 （位于（位于 ）的作用力為）的作用力為12Nqqq、 、 、q12Nrrr、 、 、r

3、qq1q2q3q4q5q6q731104iNNiiqq qiiiqq RFFR第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)42. 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度000( )( )limqF rE rq30( )4qRE rR如果電荷是連續(xù)分布呢？如果電荷是連續(xù)分布呢？ 根據(jù)上述定義，真空中靜止點(diǎn)根據(jù)上述定義，真空中靜止點(diǎn)電荷電荷q 激發(fā)的電場(chǎng)為激發(fā)的電場(chǎng)為()Rrr 描述電場(chǎng)分布的基本物理量描述電場(chǎng)分布的基本物理量 電場(chǎng)強(qiáng)度矢量電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E0q試驗(yàn)正電荷試驗(yàn)正電荷 yxzorqrREM第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)5小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)( )rVyxzoriVrM)(rS面密度為面密度為 的面分

4、布的面分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度)(rl線密度為線密度為 的線分布的線分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度體密度為體密度為 的體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的體分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度)(riiiiiRRVrrE304)()(301()d4VrRVR30( )1( )d4SSr RE rSR30( )1( )d4lCr RE rlR第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)1. 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 電場(chǎng)對(duì)某點(diǎn)單位電場(chǎng)對(duì)某點(diǎn)單位正正電荷的作用力稱為該點(diǎn)的電荷的作用力稱為該點(diǎn)的電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度強(qiáng)度，以以E 表示表示。 qFE式中式中, ,q 為試驗(yàn)電荷的電荷量為試驗(yàn)電荷的電荷量; ;F 為電荷為電荷q 受到的作用力。受到的作

5、用力。 電場(chǎng)強(qiáng)度通過(guò)任一曲面的通量稱為電場(chǎng)強(qiáng)度通過(guò)任一曲面的通量稱為電通電通，以以 表示，即表示，即 dSES第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)0d lE電場(chǎng)線電場(chǎng)線方程方程電場(chǎng)管電場(chǎng)管帶電帶電平行平行板板 負(fù)負(fù)電荷電荷 正正電荷電荷 幾種典型的幾種典型的電場(chǎng)線電場(chǎng)線分布分布電場(chǎng)線的電場(chǎng)線的疏密程度疏密程度可以顯示電場(chǎng)強(qiáng)度的可以顯示電場(chǎng)強(qiáng)度的大小大小。定義曲線上各點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向，這種曲線稱定義曲線上各點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向，這種曲線稱電場(chǎng)線電場(chǎng)線第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2. 真空中靜電場(chǎng)方程真空中靜電場(chǎng)方程 實(shí)驗(yàn)表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)

6、強(qiáng)度 E 滿足滿足下列兩個(gè)積分形式的方程下列兩個(gè)積分形式的方程0dSqESd0lEl式中，式中，0 為真空介電常數(shù)。為真空介電常數(shù)。129018.854 187 81710 (F/m)10 (F/m)36第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)此式表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿此式表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿任一任一條閉條閉合曲線的合曲線的環(huán)量環(huán)量為零。為零。0dSq ESd0l El此式稱為高斯定此式稱為高斯定律律。它表明真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)。它表明真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度通過(guò)任一強(qiáng)度通過(guò)任一封閉封閉曲面的電通等于該封閉曲面所曲面的電通等于該封閉曲面所包圍的電荷量與真空介電常數(shù)之比。包圍的電荷量與真空介電常

7、數(shù)之比。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 根據(jù)上面兩式可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度的根據(jù)上面兩式可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度的散度散度及及旋度旋度分別為分別為0 E0E左式左式表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度在某表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度在某點(diǎn)點(diǎn)的散度的散度等于該點(diǎn)的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比等于該點(diǎn)的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式右式表明，表明，真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度真空中靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度處處處處為零為零。真空中靜電場(chǎng)是真空中靜電場(chǎng)是有散無(wú)旋有散無(wú)旋場(chǎng)。場(chǎng)。0dSqESd0lEl第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 已知靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的散度及旋度以后，根已知靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的散度及旋度以后，根據(jù)據(jù)亥姆霍茲亥姆霍茲

8、定理，電場(chǎng)強(qiáng)度定理，電場(chǎng)強(qiáng)度E 應(yīng)為應(yīng)為 AEVVVV d)( 41)(d)( 41)(|rr |rErA|rr |rErxPzyrOVd)(rrrr第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)VV 0d)(41)(|rr |rr0)(rA求得求得E因此因此 標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 稱為稱為電位電位。因此，上式表明真空。因此，上式表明真空中靜電場(chǎng)在某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該點(diǎn)電位梯度的中靜電場(chǎng)在某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該點(diǎn)電位梯度的負(fù)負(fù)值。值。0 E0E已知已知第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)E 按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，電位以按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，電位以小寫小寫希臘字母希臘字母 表示，上式應(yīng)寫為表示，上式應(yīng)寫為 將電位表達(dá)式代入，求得將電位表達(dá)式代入，

9、求得電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度與與電荷電荷密度密度的關(guān)系為的關(guān)系為VVd4)()(30rrrrrrE第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 若電荷分布在一個(gè)有限的若電荷分布在一個(gè)有限的表面表面上，或者分布在一上，或者分布在一個(gè)有限的個(gè)有限的線段線段內(nèi)，那么可以類推獲知此時(shí)電位及電場(chǎng)內(nèi)，那么可以類推獲知此時(shí)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度與電荷的強(qiáng)度與電荷的面密度面密度 S 及及線密度線密度l 的關(guān)系分別為的關(guān)系分別為SSS 0d|)(41)(|rrrrSSS 30d|)(41)(|rrrrrrEll d)(41)(0|rr |rrllll 30d|)(41)(|rrrrrrE第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)（1 1）高斯定律中的電荷量高斯

10、定律中的電荷量q 應(yīng)理解為封閉面應(yīng)理解為封閉面 S 所包所包圍的圍的全部全部正、負(fù)電荷的總和。正、負(fù)電荷的總和。 靜電場(chǎng)幾個(gè)重要特性靜電場(chǎng)幾個(gè)重要特性（2）靜電場(chǎng)的靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線電場(chǎng)線是不可能閉合的，而且也不可是不可能閉合的，而且也不可能相交。能相交。（3）任意兩點(diǎn)之間電場(chǎng)強(qiáng)度任意兩點(diǎn)之間電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的的線積分與路徑無(wú)線積分與路徑無(wú)關(guān)，它是一種關(guān)，它是一種保守場(chǎng)保守場(chǎng)。 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)（4）若若電荷分布已知，計(jì)算靜電場(chǎng)的三種方法是：電荷分布已知，計(jì)算靜電場(chǎng)的三種方法是：直接根據(jù)直接根據(jù)電荷電荷分布計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度分布計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度通過(guò)通過(guò)電位電位求出電場(chǎng)強(qiáng)度求出電場(chǎng)強(qiáng)度利用利用高斯定律

11、高斯定律計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)175. 利用高斯定律簡(jiǎn)捷計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的條件利用高斯定律簡(jiǎn)捷計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的條件簡(jiǎn)捷計(jì)算條件：簡(jiǎn)捷計(jì)算條件： 可以提到積分號(hào)可以提到積分號(hào)以外，使積分方程簡(jiǎn)化為代數(shù)方程以外，使積分方程簡(jiǎn)化為代數(shù)方程 球?qū)ΨQ分布球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等均勻帶電球體均勻帶電球體帶電球殼帶電球殼多層同心球殼多層同心球殼( )E r什么情況下，什么情況下， 可以提到積分號(hào)以外？可以提到積分號(hào)以外？( )E r在在S上均勻分布時(shí)！或積分結(jié)果已知時(shí)！上均勻分布時(shí)！或積分結(jié)果已知時(shí)！( )E r什么

12、問(wèn)題，具有這種特性呢？什么問(wèn)題，具有這種特性呢？ 具有對(duì)稱性的問(wèn)題具有對(duì)稱性的問(wèn)題! !S0( ) dSq內(nèi)E rS第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)18 無(wú)限大平面電荷無(wú)限大平面電荷：如無(wú)限大的均勻帶電平面、平板等。：如無(wú)限大的均勻帶電平面、平板等。 軸對(duì)稱分布軸對(duì)稱分布：如無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。：如無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。( (a a) )( (b b) )第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)例例1 計(jì)算計(jì)算點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度。的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解解 利用高斯定律求解。取中利用高斯定律求解。取中心位于點(diǎn)電荷的球面為心位于點(diǎn)電荷的球面為高斯面高斯面，得，得 0dSqES上式左

13、端上式左端積分為為 2n d dd4SSSE Sr EESE eS得得204qErr204qrEe或或 xzy高斯面高斯面第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 也可通過(guò)電位計(jì)算點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。當(dāng)也可通過(guò)電位計(jì)算點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。當(dāng)點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)， 。那么點(diǎn)電荷的。那么點(diǎn)電荷的電位為電位為r|rrrq04)(rrrqrqeE200414求得電場(chǎng)強(qiáng)度求得電場(chǎng)強(qiáng)度 E 為為 rVrrqVreerE20 204d4)(若直接根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度公式，同樣求得電場(chǎng)強(qiáng)度若直接根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度公式，同樣求得電場(chǎng)強(qiáng)度E 為為 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)例例2 計(jì)算計(jì)算電偶極子電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度

14、。的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解解 由于電位及電場(chǎng)強(qiáng)度均與由于電位及電場(chǎng)強(qiáng)度均與電荷量的電荷量的一次方一次方成正比。因此，可成正比。因此，可以利用以利用疊加原理疊加原理計(jì)算多種分布電荷計(jì)算多種分布電荷產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。那么，電產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。那么，電偶極子產(chǎn)生的電位應(yīng)為偶極子產(chǎn)生的電位應(yīng)為 rrrrqrqrq000444xq+qzylrrr+O第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 若觀察距離遠(yuǎn)大于間距若觀察距離遠(yuǎn)大于間距 l ，則可認(rèn)為則可認(rèn)為 , , ，那么，那么/rree/rreecoslrr2cos2cos2rlrlrrrxq+qzylrrr+O式中，式中，l 的方向規(guī)定由的方向規(guī)定由負(fù)負(fù)電荷指向電荷

15、指向正正電荷。電荷。)(4cos42020rrqlrqel求得求得第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)乘積乘積 q l 稱為電偶極子的稱為電偶極子的電矩電矩，以，以 p 表示，即表示，即lpq2200cos44rprrp e那么電偶極子產(chǎn)生的那么電偶極子產(chǎn)生的電位電位可用電矩可用電矩 p 表示為表示為 3300cossin24rpprrEee已知已知 ，求得電偶極子的，求得電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度為為E可見(jiàn)電偶極子的可見(jiàn)電偶極子的 ， ，而且兩者均與方位，而且兩者均與方位角角 有關(guān)。有關(guān)。21r31Er第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)電偶極子的電場(chǎng)線和等位線電偶極子的電場(chǎng)線和等位線第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)

16、 例例3 設(shè)半徑為設(shè)半徑為a，電荷體密度為電荷體密度為 的無(wú)限長(zhǎng)圓柱的無(wú)限長(zhǎng)圓柱帶電體位于真空，計(jì)算該帶電體位于真空，計(jì)算該帶電圓柱帶電圓柱內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度。內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度。 xzyaLS1 選取選取圓柱圓柱坐標(biāo)系，由于場(chǎng)量與坐標(biāo)系，由于場(chǎng)量與 z 坐標(biāo)無(wú)關(guān)，且坐標(biāo)無(wú)關(guān)，且上下對(duì)稱上下對(duì)稱，因此電，因此電場(chǎng)強(qiáng)度一定垂直于場(chǎng)強(qiáng)度一定垂直于 z 軸。再考慮到軸。再考慮到圓柱結(jié)構(gòu)具有圓柱結(jié)構(gòu)具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，場(chǎng)的特點(diǎn)，場(chǎng)強(qiáng)一定與角度強(qiáng)一定與角度 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 因此，可以利用因此，可以利用高斯定律高斯定律求解。求解。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 取半徑為取半徑為 r ，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 L 的圓

17、的圓柱面與其上下端面構(gòu)成柱面與其上下端面構(gòu)成高斯面高斯面。應(yīng)用高斯定律，得應(yīng)用高斯定律，得 0dSqESxzyaLS1 因電場(chǎng)強(qiáng)度方向處處與圓柱側(cè)面因電場(chǎng)強(qiáng)度方向處處與圓柱側(cè)面S1的外法線方向的外法線方向一致一致，而與上下端面的外法線方向，而與上下端面的外法線方向垂直垂直，因此上式，因此上式左端的面積分為左端的面積分為11 ddd2SSSE SESrLEES第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 當(dāng)當(dāng) r a 時(shí)，則電荷量時(shí)，則電荷量q 為為 , , 求求得電場(chǎng)強(qiáng)度為得電場(chǎng)強(qiáng)度為 Laq2rraeE022第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) a2 可以認(rèn)為是可以認(rèn)為是單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度內(nèi)的電荷量。那么，內(nèi)的電荷量。那

18、么，柱外電場(chǎng)可以看作為位于圓柱軸上線密度為柱外電場(chǎng)可以看作為位于圓柱軸上線密度為a2 的線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。的線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。rlreE02因此線密度為因此線密度為 的的無(wú)限長(zhǎng)線電荷無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度為的電場(chǎng)強(qiáng)度為l 由上可見(jiàn)，對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱體分布電荷，利用由上可見(jiàn)，對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)圓柱體分布電荷，利用高斯定律計(jì)算其電場(chǎng)強(qiáng)度是十分簡(jiǎn)便的。若根據(jù)電高斯定律計(jì)算其電場(chǎng)強(qiáng)度是十分簡(jiǎn)便的。若根據(jù)電荷分布直接積分計(jì)算電位或電場(chǎng)強(qiáng)度，顯然不易。荷分布直接積分計(jì)算電位或電場(chǎng)強(qiáng)度，顯然不易。 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)xzyr21rOrrzdzrzere),2,(zrP 例例4 求長(zhǎng)度為求長(zhǎng)度為L(zhǎng)，線密度為線密

19、度為 的均勻的均勻線分布線分布電荷電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度。的電場(chǎng)強(qiáng)度。l 解解 令圓柱坐標(biāo)系的令圓柱坐標(biāo)系的 z 軸與軸與線電荷的長(zhǎng)度方位一致，且中點(diǎn)線電荷的長(zhǎng)度方位一致，且中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)為坐標(biāo)原點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，場(chǎng)強(qiáng)與方位角場(chǎng)強(qiáng)與方位角 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的方向無(wú)法因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的方向無(wú)法判斷，判斷，不能不能應(yīng)用高斯定律，必應(yīng)用高斯定律，必須直接求積。須直接求積。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 因場(chǎng)量與因場(chǎng)量與 無(wú)關(guān)，為了方無(wú)關(guān)，為了方便起見(jiàn)，可令觀察點(diǎn)便起見(jiàn)，可令觀察點(diǎn)P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 2 23 02d4LlLlrrE|rr |xzyr21rO

20、rrzdzrzere),2,(zrP考慮到考慮到2|csc csc (cos sin )cot dcsc dzrrrazz rzr rr |rree第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)21 222 0cos sincsc d4cscalrzarr eeE求得求得21210(sin sin )(cos cos ) 4lzrree當(dāng)長(zhǎng)度當(dāng)長(zhǎng)度 L 時(shí)，時(shí)，1 0，2 ，則，則00242llrrrEee此結(jié)果與此結(jié)果與例例3 完全相同。完全相同。 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)32 例例 5 計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。計(jì)算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。222 3/200( )d

21、d4()bzSae zeE rz P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSadE2200dcossin)d0 xye(ee22 3/222 1/222 1/200d11( )2()2()()bSSzzazzzzazb E ree由于由于30( )1( )d4SSr RE rSRd d d Sd d d Szre z(0,0, )Pzre Rrr 場(chǎng)點(diǎn)：場(chǎng)點(diǎn)：源點(diǎn)：源點(diǎn)： 解解：2200dcossin)d0 xye(ee由于由于第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)33 例例 6 求真空中均勻帶電球體產(chǎn)生的電場(chǎng)。已知球體半徑為求真空中均勻帶電球體產(chǎn)生的電場(chǎng)。已知球體半徑為a

22、，電，電 荷密度為荷密度為 0 。 解解：（1）球外某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)球外某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)0300341daqSES（2）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)）求球體內(nèi)一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)VSEVSd1d00ar0rrEa20303raE3302343414raqEr003rE （r 11第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)各向異性各向異性介質(zhì)的電通密度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為介質(zhì)的電通密度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為zyxzyxEEEDDD 333231232221131211可見(jiàn)，可見(jiàn)，各向異性各向異性介質(zhì)中介質(zhì)中，電通密度電通密度和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系與外加電場(chǎng)的與外加電場(chǎng)的方向方向有關(guān)。有關(guān)。 均勻均勻介質(zhì)的介電常數(shù)與介質(zhì)的介電常數(shù)與空間坐標(biāo)

23、空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。線性線性介質(zhì)介質(zhì)的介電常數(shù)與電場(chǎng)強(qiáng)度的的介電常數(shù)與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小大小無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。靜止靜止介質(zhì)的介電介質(zhì)的介電常數(shù)與常數(shù)與時(shí)間時(shí)間無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 對(duì)于對(duì)于均勻均勻介質(zhì)，由于介電常數(shù)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，介質(zhì)，由于介電常數(shù)與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，因此獲得因此獲得 dSqES E可見(jiàn)，對(duì)于可見(jiàn)，對(duì)于均勻均勻介質(zhì)，前述電場(chǎng)強(qiáng)度及電位與自介質(zhì)，前述電場(chǎng)強(qiáng)度及電位與自由電荷的關(guān)系式仍然成立，只需將由電荷的關(guān)系式仍然成立，只需將0 換為換為 即可。即可。 上式中上式中 q , 是什么電荷是什么電荷？第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)例：例：空氣中半徑為空氣中半徑為a，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為 的

24、介質(zhì)球，其中充滿密度的介質(zhì)球，其中充滿密度為為Ruo0的電荷，試求的電荷，試求（1）介質(zhì)球內(nèi)外的）介質(zhì)球內(nèi)外的E和和P（2）介質(zhì)球內(nèi)束縛電荷體密度和介質(zhì)球表面的束縛電荷密度）介質(zhì)球內(nèi)束縛電荷體密度和介質(zhì)球表面的束縛電荷密度解：解：0DEP dSqDS利用：利用：得到：當(dāng)?shù)玫剑寒?dāng)ra時(shí)時(shí)30203rarEe0P第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)(2) 介質(zhì)球中：當(dāng)介質(zhì)球中：當(dāng)ra時(shí)時(shí)20021()r Prr p(-)= -P=介質(zhì)球表面介質(zhì)球表面003r a psr(-)a= Pe=0003rr e(-)P(-1)E =第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)6. 兩種介質(zhì)的邊界條件兩種介質(zhì)的邊界條件 由于介質(zhì)的特性

25、不同，引起場(chǎng)量在兩種介質(zhì)的由于介質(zhì)的特性不同，引起場(chǎng)量在兩種介質(zhì)的分界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場(chǎng)的分界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場(chǎng)的邊邊界條件界條件。 通常分別討論邊界通常分別討論邊界上場(chǎng)量的切向分量和法上場(chǎng)量的切向分量和法向分量的變化規(guī)律。向分量的變化規(guī)律。 1 2enetn normalt tangential第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)E2E11324lh 1 2et 圍繞圍繞某某點(diǎn)點(diǎn)且且緊貼邊界緊貼邊界作作一個(gè)有向矩形閉合曲線，其一個(gè)有向矩形閉合曲線，其長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l，高度為高度為h，則則電電場(chǎng)強(qiáng)度沿該矩形曲線的場(chǎng)強(qiáng)度沿該矩形曲線的環(huán)量環(huán)量為為 2 3 4 1 1 2

26、3 4 d d d d dlElElElElEl 為了求出為了求出邊界上邊界上的場(chǎng)量關(guān)系，必須令的場(chǎng)量關(guān)系，必須令 h 0，則線積分則線積分 0d d 1 4 3 2 lElE 電場(chǎng)強(qiáng)度的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向切向分量。分量。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 為了求出邊界上為了求出邊界上某點(diǎn)某點(diǎn)的場(chǎng)量關(guān)系，必須令的場(chǎng)量關(guān)系，必須令 l 足夠足夠短，以至于在短，以至于在 l 內(nèi)可以認(rèn)為場(chǎng)量是內(nèi)可以認(rèn)為場(chǎng)量是均勻均勻的，則上述環(huán)的，則上述環(huán)量為量為 2 4121t2t 1 3d d dElElElElEl2t1tEE 此式表明，此式表明，在兩種介質(zhì)的邊界上，兩側(cè)的在兩種介質(zhì)的邊界上，兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度的電場(chǎng)強(qiáng)度的切

27、向分量相等切向分量相等，或者說(shuō)，或者說(shuō)，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)連續(xù)的的。 已知已知 , 得得 d0El第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)22t1t 1DD此式表明，此式表明，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，上，電通密度的切向分量是不連續(xù)的電通密度的切向分量是不連續(xù)的。 已知各向同性的線性介質(zhì)，已知各向同性的線性介質(zhì)， ，得，得 DEhS 圍繞某點(diǎn)作一個(gè)圍繞某點(diǎn)作一個(gè)圓柱面圓柱面，其高度為其高度為h，端面為端面為S。那那么么 dSqDS 1 2en 電通密度電通密度的法向分量。的法向分量。D2D1第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 當(dāng)當(dāng) h0 ，則通

28、過(guò)側(cè)面的通量為零，又考慮到則通過(guò)側(cè)面的通量為零，又考慮到 S 必須足夠小，則上述通量應(yīng)為必須足夠小，則上述通量應(yīng)為2n1n dSDSDS DS邊界法線的邊界法線的方向方向en規(guī)定為由介質(zhì)規(guī)定為由介質(zhì)指向介質(zhì)指向介質(zhì)。 dSqDS2n1nSqDDS求得求得式中，式中， S 為邊界上自由電荷的面密度。為邊界上自由電荷的面密度。hS 1 2enD2D1第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 在兩種介質(zhì)的邊界上不可能存在表面自由電在兩種介質(zhì)的邊界上不可能存在表面自由電荷，因此荷，因此2n1nDD此式表明，此式表明，在兩種介質(zhì)邊界上在兩種介質(zhì)邊界上電通密度的法向分量電通密度的法向分量相等相等，或者說(shuō)，或者說(shuō)，電通密

29、度的法向分量是連續(xù)的電通密度的法向分量是連續(xù)的。 對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，得對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，得 n221n1EE可見(jiàn)，可見(jiàn)，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)。 還可證明還可證明 )(n1n20EES第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)7. 介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件 可見(jiàn)，導(dǎo)體中不可能存在可見(jiàn)，導(dǎo)體中不可能存在靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)，導(dǎo)體內(nèi)部不可，導(dǎo)體內(nèi)部不可能存在能存在自由電荷自由電荷。處于。處于靜電平衡靜電平衡時(shí)，自由電荷只能分時(shí)，自由電荷只能分布在導(dǎo)體的布在導(dǎo)體的表面表面上。上。EEE + E

30、= 0EE = 0導(dǎo)體導(dǎo)體靜電平衡靜電平衡第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 因?yàn)橐驗(yàn)閷?dǎo)體中導(dǎo)體中不可能存在靜電場(chǎng)，因此導(dǎo)體中的不可能存在靜電場(chǎng)，因此導(dǎo)體中的電位梯度電位梯度為為零零。所以，處于。所以，處于靜電平衡靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體是狀態(tài)的導(dǎo)體是一個(gè)一個(gè)等位體等位體，導(dǎo)體表面是一個(gè)，導(dǎo)體表面是一個(gè)等位面等位面。 既然導(dǎo)體中的電場(chǎng)強(qiáng)度為既然導(dǎo)體中的電場(chǎng)強(qiáng)度為零零，導(dǎo)體表面的外，導(dǎo)體表面的外側(cè)不可能存在電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量。換言之，側(cè)不可能存在電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量。換言之，電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度必須垂直于導(dǎo)體的表面強(qiáng)度必須垂直于導(dǎo)體的表面，即，即0nEe介質(zhì)介質(zhì)E, D導(dǎo)體導(dǎo)體en第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)導(dǎo)體表面存在

31、的自由電荷面密度為導(dǎo)體表面存在的自由電荷面密度為 nSeDSE n或?qū)憺榛驅(qū)憺槭街?，式中?為導(dǎo)體周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。為導(dǎo)體周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。 已知導(dǎo)體表面是一個(gè)等位面，因已知導(dǎo)體表面是一個(gè)等位面，因 ，求得，求得nEnSn 考慮到導(dǎo)體中不存在靜電場(chǎng)，因而考慮到導(dǎo)體中不存在靜電場(chǎng)，因而極化強(qiáng)度極化強(qiáng)度為為零。求得導(dǎo)體表面零。求得導(dǎo)體表面束縛束縛電荷面密度為電荷面密度為 SPen第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)邊界條件邊界條件E2E1 1 2et 1 2enD2D12t1tEE 22t1t 1DD2n1nDDn221n1EE02n1n()SEE 2n1nSDD介質(zhì)介質(zhì)E, D導(dǎo)體導(dǎo)體en0nEenS

32、eDnSESn nS eP第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 靜電屏蔽靜電屏蔽E = 0E 0 E = 0 E = 0 0dSSD第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 已知半徑為已知半徑為 r1 的的導(dǎo)體球?qū)w球攜帶的攜帶的正正電荷量為電荷量為q，該導(dǎo)該導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為體球被內(nèi)半徑為 r2 的導(dǎo)體球的導(dǎo)體球殼殼所包圍，球與球殼之間填充所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其介電常數(shù)為介質(zhì)，其介電常數(shù)為1 ，球殼的外半徑為，球殼的外半徑為 r3 ，球殼的外表球殼的外表面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為r4 ，介電常數(shù)為介電常數(shù)為2 ，外部區(qū)域?yàn)檎婵?，如左下圖所示。外部區(qū)域?yàn)檎婵眨?/p>

33、左下圖所示。試求：試求： 各區(qū)域中的各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度； 各個(gè)表面上的各個(gè)表面上的自由自由電電 荷和荷和束縛束縛電荷。電荷。r1r2r3r4 0 2 1可以應(yīng)用可以應(yīng)用高斯定律高斯定律求解嗎求解嗎? ?第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)解解 在在 r r1及及 r2 r r3 區(qū)域中區(qū)域中 E = 0 在在 r1 r r2 區(qū)域中區(qū)域中Sq dSDrrqeE2224同理，在同理，在 r3 r r4 區(qū)域中，求得區(qū)域中，求得？rrqeE2114注意，各區(qū)域中的介電常數(shù)不同注意，各區(qū)域中的介電常數(shù)不同！r1r2r3r4 0 2 1第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)根據(jù)根據(jù) 及及 ，分別求得，分別求得SPe

34、nnSeDr = r1:214 rqS0114121n10rSSrqEr = r4:0114)(224n2n004rSrqEE0Sr = r2:2224 rqS011412221n02rSSrqEr = r3:2334 rqS011422332n03rSSrqEr1r2r3r4 0 2 1第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)2014年考題：年考題：第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)8. 電容電容由物理學(xué)得知，平板電容器的電容為由物理學(xué)得知，平板電容器的電容為 UqC 電容的單位電容的單位 F（法拉）。法拉）。C地球地球 F310708. 06121 F10 F, 1 pF10 F 實(shí)際

35、中，使用實(shí)際中，使用 F（微法）及微法）及 pF（皮法）作為皮法）作為電容單位。電容單位。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 已知金屬球的內(nèi)導(dǎo)體半徑為已知金屬球的內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體的內(nèi)外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為半徑為b，,外殼半徑為外殼半徑為c， 內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充介內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為質(zhì)的介電常數(shù)為 0。試求。試求單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度內(nèi)、外導(dǎo)體之間內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電容。的電容。 ab設(shè)：內(nèi)導(dǎo)體帶電量為設(shè)：內(nèi)導(dǎo)體帶電量為q，外導(dǎo)體球殼帶電，外導(dǎo)體球殼帶電量為量為-q。則空間各處電場(chǎng)為：。則空間各處電場(chǎng)為：204 0qarbrrbEE導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼之間的電壓為：導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼之間的電壓為

36、：0114 qabbaU =Edr第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)ab導(dǎo)體球與球殼之間的電容為：導(dǎo)體球與球殼之間的電容為：0114 qabbaU =Edr0411 abqC =U由于球與球殼分別帶由于球與球殼分別帶+q和和-q電荷，電場(chǎng)完全電荷，電場(chǎng)完全分布與球與球殼之間。分布與球與球殼之間。Rb時(shí)，電場(chǎng)出處為時(shí)，電場(chǎng)出處為0，因此，球殼相當(dāng)于接地，球殼對(duì)地沒(méi)有，因此，球殼相當(dāng)于接地，球殼對(duì)地沒(méi)有電容。電容。對(duì)于一般情況下，導(dǎo)體球帶電荷對(duì)于一般情況下，導(dǎo)體球帶電荷q1，導(dǎo)體，導(dǎo)體球殼電荷球殼電荷q2，則系統(tǒng)中各處電場(chǎng)為：，則系統(tǒng)中各處電場(chǎng)為：第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)ab系統(tǒng)中各處電場(chǎng)為：系統(tǒng)中各處

37、電場(chǎng)為：12012204 04 qarbrbrcqqrcrEEE導(dǎo)體球上的電位：導(dǎo)體球上的電位：112220012004 4 1114 4 baq drqqrrqqabcc1ac=Edrdr導(dǎo)體球上的電位：導(dǎo)體球上的電位：121222004 4 cqqqqdrcr第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)表明導(dǎo)體球之間有電位差，導(dǎo)體球與無(wú)窮遠(yuǎn)處，表明導(dǎo)體球之間有電位差，導(dǎo)體球與無(wú)窮遠(yuǎn)處，導(dǎo)體球殼與無(wú)窮遠(yuǎn)處也有電位差，因此不僅導(dǎo)體導(dǎo)體球殼與無(wú)窮遠(yuǎn)處也有電位差，因此不僅導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼之間有電容，導(dǎo)體球與無(wú)窮遠(yuǎn)處，球與導(dǎo)體球殼之間有電容，導(dǎo)體球與無(wú)窮遠(yuǎn)處，導(dǎo)體球殼與無(wú)窮遠(yuǎn)處也有電容。導(dǎo)體球殼與無(wú)窮遠(yuǎn)處也有電容。,

38、 1212-為了描述這種具有多個(gè)電容系統(tǒng)，定義為了描述這種具有多個(gè)電容系統(tǒng)，定義電位系數(shù)電位系數(shù)P，則可以將電位表示為：，則可以將電位表示為：111 11222121222 P qP qP qP q電位系數(shù)電位系數(shù)P（V/C),僅與導(dǎo)體系統(tǒng)的尺寸，僅與導(dǎo)體系統(tǒng)的尺寸，結(jié)構(gòu)和周圍介電常數(shù)有關(guān)結(jié)構(gòu)和周圍介電常數(shù)有關(guān)第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)111 1122221 1222 P qP qP qP q可以將上式中的可以將上式中的q用電容系數(shù)用電容系數(shù)表示及電位表示：表示及電位表示：11111222211222 qq 比較三個(gè)電位公式：得比較三個(gè)電位公式：得1112002122001111,4411 4

39、4abcPPcPPcc可見(jiàn)：可見(jiàn)：P12=P21第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)11111222211222 qq 11、 22為電容系數(shù)，為電容系數(shù)， 12， 21為感應(yīng)系數(shù)為感應(yīng)系數(shù)通過(guò)線性代數(shù)通過(guò)線性代數(shù)-1=P.為了表示系統(tǒng)中各個(gè)導(dǎo)體之間的電容關(guān)系，需要用導(dǎo)體的為了表示系統(tǒng)中各個(gè)導(dǎo)體之間的電容關(guān)系，需要用導(dǎo)體的電位及導(dǎo)體間的電位差來(lái)表示電荷電位及導(dǎo)體間的電位差來(lái)表示電荷q，因此上式可表示為：，因此上式可表示為：11112112122212121222()()()() qq 第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)上式另可表示為：上式另可表示為：11112112122212121222()()()() qq

40、 1111121222121222()() qCCqCC0111202122040,44c abCCbaabCCba可以求出：可以求出：第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)0111202122040,44c abCCbaabCCbaC12和和C21給出的是導(dǎo)體球和球殼之間的互電容，給出的是導(dǎo)體球和球殼之間的互電容，C22給出的給出的是導(dǎo)體球殼和地之間的自電容：是導(dǎo)體球殼和地之間的自電容：導(dǎo)體球的自電容導(dǎo)體球的自電容C11=0，并不表明導(dǎo)體球與，并不表明導(dǎo)體球與地之間的電容為地之間的電容為0，有左圖可以看出，自電，有左圖可以看出，自電容容C11為為0的情況下，導(dǎo)體球與地之間的電容的情況下，導(dǎo)體球與地之間的

41、電容等于等于C12與與C22的串聯(lián)。的串聯(lián)。C11=0？第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)C11=0？因?yàn)橐驗(yàn)镃11是該導(dǎo)體系統(tǒng)中金屬球的自電容，它是在是該導(dǎo)體系統(tǒng)中金屬球的自電容，它是在該導(dǎo)體系統(tǒng)中金屬球的對(duì)地電容。該導(dǎo)體系統(tǒng)中金屬球的對(duì)地電容。由于金屬球被同心金屬球殼所封閉，因此，能在金屬球與地直由于金屬球被同心金屬球殼所封閉，因此，能在金屬球與地直接相連的電場(chǎng)為接相連的電場(chǎng)為0，即這一部分的儲(chǔ)存電能為，即這一部分的儲(chǔ)存電能為0.注意：注意：不要把此時(shí)的不要把此時(shí)的C11與孤立金屬球?qū)Φ仉娙菹嗷煜Ｅc孤立金屬球?qū)Φ仉娙菹嗷煜?。下面我們討論在開(kāi)放系統(tǒng)底下，下面我們討論在開(kāi)放系統(tǒng)底下，C11的取值。的

42、取值。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)例例:自由空間有半徑為自由空間有半徑為a1，a2的兩個(gè)金屬球，兩球心間的距離為的兩個(gè)金屬球，兩球心間的距離為d且且da1，a2.試求該導(dǎo)體系統(tǒng)的互電容和自電容。試求該導(dǎo)體系統(tǒng)的互電容和自電容。12010120024444qqadqqda12=220110212212120122124()4()4a da da da dCCda ada aa a dCda a11221221= C=當(dāng)當(dāng)da1,a2, 兩個(gè)球幾乎成為孤立的導(dǎo)體球，從而，兩個(gè)球幾乎成為孤立的導(dǎo)體球，從而，0102440CaCaC11221221= C=C11和和C22變成了孤立金屬球的電容表達(dá)式，互

43、電容為變成了孤立金屬球的電容表達(dá)式，互電容為0.第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個(gè)導(dǎo)體的電位不僅與導(dǎo)體多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每個(gè)導(dǎo)體的電位不僅與導(dǎo)體本身本身電荷有關(guān)，同時(shí)還與電荷有關(guān)，同時(shí)還與其他其他導(dǎo)體上的電荷有關(guān)。導(dǎo)體上的電荷有關(guān)。 q1q3qnq21111121211112212122222221411122()()()()()() ()()()()()jhnnjknniiiiiijijininnnnnnqCCCCqCCCCqCCCCqCC()njnjnnnCC 各個(gè)導(dǎo)體上的各個(gè)導(dǎo)體上的電荷電荷與與導(dǎo)體間的導(dǎo)體間的電位差電位差的關(guān)系為的關(guān)系為式中，式中，Cii 稱為稱為固有部分電容固

44、有部分電容；Cij 稱為稱為互有部分電容互有部分電容。 |第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體的內(nèi)外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為半徑為b， 內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為內(nèi)、外導(dǎo)體之間填充介質(zhì)的介電常數(shù)為 。試求。試求單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電容。內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電容。 能否應(yīng)用高斯定律求解能否應(yīng)用高斯定律求解? ? ab第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 解解 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度內(nèi)的設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度內(nèi)的電荷量為電荷量為q，圍繞內(nèi)導(dǎo)體作一個(gè)單圍繞內(nèi)導(dǎo)體作一個(gè)單位長(zhǎng)度圓柱面作為位長(zhǎng)度圓柱面作為高斯面高斯面S，則，則那么內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電位差那么內(nèi)、外

45、導(dǎo)體之間的電位差 U 為為 baabqrEU ln2d因此單位長(zhǎng)度內(nèi)的電容為因此單位長(zhǎng)度內(nèi)的電容為 abUqCln2rrqeE 2 dSqESab第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)9. 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 電場(chǎng)力作電場(chǎng)力作功功，需要消耗自身，需要消耗自身的能量，可見(jiàn)靜電場(chǎng)是具有的能量，可見(jiàn)靜電場(chǎng)是具有能量能量的。的。 外力外力反抗反抗電場(chǎng)力作功，此功電場(chǎng)力作功，此功將轉(zhuǎn)變?yōu)殪o電場(chǎng)的能量將轉(zhuǎn)變?yōu)殪o電場(chǎng)的能量?jī)?chǔ)藏儲(chǔ)藏在靜在靜電場(chǎng)中。電場(chǎng)中。 根據(jù)根據(jù)電場(chǎng)力作功電場(chǎng)力作功或或外力作功外力作功與與靜電場(chǎng)能量靜電場(chǎng)能量之間的之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以計(jì)算靜電場(chǎng)能量。轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以計(jì)算靜電場(chǎng)能量。EFEv第二章第二章 靜

46、電場(chǎng)靜電場(chǎng)9. 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 在一個(gè)由點(diǎn)電荷在一個(gè)由點(diǎn)電荷q1q1產(chǎn)生的電場(chǎng)中，將另一個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，將另一個(gè)電荷q2q2由無(wú)窮遠(yuǎn)處由無(wú)窮遠(yuǎn)處移至距點(diǎn)電荷移至距點(diǎn)電荷q1q1為為R R1212處時(shí)，外力反抗電場(chǎng)所做的功為：處時(shí)，外力反抗電場(chǎng)所做的功為：12220124 q qqR2W表示由點(diǎn)電荷表示由點(diǎn)電荷q1在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷q2處產(chǎn)生的電位。處產(chǎn)生的電位。2同樣，在點(diǎn)電荷同樣，在點(diǎn)電荷q2q2產(chǎn)生的電場(chǎng)中，將電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中，將電荷q1q1由無(wú)窮遠(yuǎn)處移至距由無(wú)窮遠(yuǎn)處移至距點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q2q2為為R R2121處時(shí)，外力反抗電場(chǎng)所做的功為：處時(shí)，外力反抗電場(chǎng)所做的功為：12110214

47、 q qqR1W1表示由點(diǎn)電荷表示由點(diǎn)電荷q2在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷q1處產(chǎn)生的電位。處產(chǎn)生的電位。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)9. 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 在線性介質(zhì)中，外力做功的大小與電荷的建立方式無(wú)關(guān)，所以在線性介質(zhì)中，外力做功的大小與電荷的建立方式無(wú)關(guān)，所以上面兩種移動(dòng)方式做功相等，即上面兩種移動(dòng)方式做功相等，即W W1 1=W=W2 2. .在在q q1 1、q q2 2構(gòu)成的系統(tǒng)中構(gòu)成的系統(tǒng)中，得到，得到N=2N=2系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為：系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為：1122111()222qq12W =WW第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)9. 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 如果在此系統(tǒng)中再將另一個(gè)點(diǎn)電荷如果在此系統(tǒng)中再將另一個(gè)

48、點(diǎn)電荷q3q3由無(wú)窮遠(yuǎn)處移動(dòng)到距離由無(wú)窮遠(yuǎn)處移動(dòng)到距離q1q1為為R13R13，距離，距離q2q2為為R23R23處，則移動(dòng)電荷處，則移動(dòng)電荷q3q3外力所作的功為：外力所作的功為：123330130234 4 qqqqRR3W3表示由表示由q1和和q2在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷q3處產(chǎn)生的電位，于是處產(chǎn)生的電位，于是N=3系統(tǒng)能量：系統(tǒng)能量：1323120120130234 4 4 q qq qq qRRRW第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)9. 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 N=3系統(tǒng)能量：系統(tǒng)能量：1323120120130234 4 4 q qq qq qRRRW33211230120130120231213121

49、23231323112233124 4 4 4 1212qqqqqqqRRRRqqqqqqWN=3系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)時(shí)，q1處的電位處的電位 由點(diǎn)電荷由點(diǎn)電荷q2和和q3產(chǎn)生，其余類似。產(chǎn)生，其余類似。1第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)9. 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 N=3系統(tǒng)能量：系統(tǒng)能量：11223312qqqW是除是除qi之外其他所在的電荷在之外其他所在的電荷在qi處產(chǎn)生電位：處產(chǎn)生電位：將上式擴(kuò)展到將上式擴(kuò)展到N點(diǎn)電荷構(gòu)成的系統(tǒng)：點(diǎn)電荷構(gòu)成的系統(tǒng)：1111122NNNiijiiijiijqq eWi1104 NNiiijjiijijqR第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)9. 電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量 1104 NNiii

50、jjiijijqR此公式?jīng)]有包含各個(gè)點(diǎn)電荷在自身形成所積累的能量。此公式?jīng)]有包含各個(gè)點(diǎn)電荷在自身形成所積累的能量。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)qqWQd )( 0 e 已知孤立導(dǎo)體的電位已知孤立導(dǎo)體的電位 等于攜帶的電量等于攜帶的電量 Q 與電與電容容 C 的之比，的之比， 即即QC求得電量為求得電量為Q 的孤立帶電體具有的能量為的孤立帶電體具有的能量為 CQW2e 21e1 2WQ或者為或者為 已知帶電體的電位隨著電荷荷的逐漸增加而不斷已知帶電體的電位隨著電荷荷的逐漸增加而不斷升高，可見(jiàn)電位是電量升高，可見(jiàn)電位是電量 q 的的函數(shù)函數(shù)。 那么當(dāng)電荷量增至那么當(dāng)電荷量增至最終值最終值 Q 時(shí)，外

51、力作的總功為時(shí)，外力作的總功為第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 對(duì)于對(duì)于 n 個(gè)帶電體，設(shè)每個(gè)帶電體的電荷量個(gè)帶電體，設(shè)每個(gè)帶電體的電荷量均均從零從零開(kāi)始，且以開(kāi)始，且以同樣同樣的比例增長(zhǎng)。若周圍介質(zhì)是的比例增長(zhǎng)。若周圍介質(zhì)是線性線性的，則當(dāng)各個(gè)帶電體的電荷量增加一倍時(shí)，的，則當(dāng)各個(gè)帶電體的電荷量增加一倍時(shí)，各個(gè)帶電體的電位也升高一倍。各個(gè)帶電體的電位也升高一倍。 設(shè)第設(shè)第 i 個(gè)帶電體的個(gè)帶電體的電位最終值電位最終值為為 i，電荷量電荷量最終值最終值為為 Qi ，若某一時(shí)刻第若某一時(shí)刻第 i 個(gè)帶電體的電荷量個(gè)帶電體的電荷量為為 qi = Qi ( 1)，則電位為則電位為ii 第二章第二章 靜電場(chǎng)

52、靜電場(chǎng)ddd11eniiiniiiQqW 當(dāng)各個(gè)帶電體的電量同時(shí)分別增至最終值當(dāng)各個(gè)帶電體的電量同時(shí)分別增至最終值 時(shí)，該系統(tǒng)的總電場(chǎng)能為時(shí)，該系統(tǒng)的總電場(chǎng)能為 nQQQ,21niiiQW1e21求得求得 那么當(dāng)各個(gè)帶電體的電荷量均以同一比例那么當(dāng)各個(gè)帶電體的電荷量均以同一比例 增長(zhǎng)，增長(zhǎng)，外力外力必須作的功為必須作的功為1 0 1eeddniiiQWW第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 當(dāng)帶電體的電荷為當(dāng)帶電體的電荷為連續(xù)連續(xù)的的體體分布、分布、面面分布或分布或線線分布電荷時(shí)，由分布電荷時(shí)，由 ，求得總能量，求得總能量為為 d dddSlqVSle 111( ) ( ) d( ) ( ) d ( )

53、 ( ) d222SlVSlWVSlrrrrrr式中，式中， (r) 為體元為體元 dV、面、面元元 dS、或、或線元線元 dl 所在處所在處的電位；積分區(qū)域?yàn)榈碾娢?；積分區(qū)域?yàn)殡姾呻姾煞植嫉恼麄€(gè)空間。分布的整個(gè)空間。 從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，靜電場(chǎng)的能量分布在電場(chǎng)所從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，靜電場(chǎng)的能量分布在電場(chǎng)所占據(jù)的占據(jù)的整個(gè)整個(gè)空間，應(yīng)該計(jì)算靜電場(chǎng)的能量分布空間，應(yīng)該計(jì)算靜電場(chǎng)的能量分布密度密度。靜電場(chǎng)的靜電場(chǎng)的能量密度能量密度以小寫英文字母以小寫英文字母 we 表示。表示。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體攜帶的電荷量為設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體攜帶的電荷量為Q1和和 Q2，其表面積其表面積分別為分別為 S1和和

54、 S2，如下所示。，如下所示。 S2Q2Q1S1Venennene 已知電荷分布在導(dǎo)體已知電荷分布在導(dǎo)體的的表面表面上，因此，該系統(tǒng)上，因此，該系統(tǒng)的的總總能量為能量為 12e11 d d22SSSSWSS 又知又知 ，nnS D eD e求得求得12e11 d d22SSW DSDS第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)S 若在無(wú)限遠(yuǎn)處再作一若在無(wú)限遠(yuǎn)處再作一個(gè)無(wú)限大的球面?zhèn)€無(wú)限大的球面 S，由由于電荷分布在有限區(qū)域，于電荷分布在有限區(qū)域，無(wú)限遠(yuǎn)處的電位及場(chǎng)強(qiáng)均無(wú)限遠(yuǎn)處的電位及場(chǎng)強(qiáng)均趨于零。因此，積分趨于零。因此，積分 d0SDSS2Q2Q1S1Venennene那么，上面的儲(chǔ)能公式可寫為那么，上面的儲(chǔ)

55、能公式可寫為 12e111 d d d222SSSWDSDSDSSD d 21S式中式中 。SSSS21第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)e 1( ) d2VWVD 1( ) d2VV DD考慮到區(qū)域考慮到區(qū)域 V 中沒(méi)有自由電荷，所以中沒(méi)有自由電荷，所以 。0 D又又 ，代入上式，求得，代入上式，求得EVWVd 21eED由此求得靜電場(chǎng)的能量密度由此求得靜電場(chǎng)的能量密度 ED21ew利用散度定理，上式可寫利用散度定理，上式可寫e1 d2SWDS第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)已知已知各向同性各向同性的的線性線性介質(zhì)，介質(zhì)， ，代入后得，代入后得 ED 2e 21Ew 此式表明，靜電場(chǎng)能量與電場(chǎng)強(qiáng)度此式表明

56、，靜電場(chǎng)能量與電場(chǎng)強(qiáng)度平方平方成正比。成正比。因此，能量因此，能量不符合不符合疊加原理，即多帶電體的疊加原理，即多帶電體的總總能量能量并不等于各個(gè)帶電體并不等于各個(gè)帶電體單獨(dú)單獨(dú)存在時(shí)具有的各個(gè)能量之存在時(shí)具有的各個(gè)能量之和。和。 因?yàn)榈谝驗(yàn)榈?個(gè)帶電體引入系統(tǒng)時(shí)，外力必須反抗第個(gè)帶電體引入系統(tǒng)時(shí)，外力必須反抗第1個(gè)帶電體對(duì)第個(gè)帶電體對(duì)第2個(gè)個(gè)帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)力而作功，此帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)力而作功，此功轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)能量，這份能量稱為功轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)能量，這份能量稱為互有能互有能，而帶電，而帶電體體單獨(dú)單獨(dú)存在時(shí)具有的能量稱為存在時(shí)具有的能量稱為固有能固有能。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)能量計(jì)算能量計(jì)算n

57、iiiQW1e21e 111( ) ( ) d( ) ( ) d( ) ( ) d222SlVSlWVSlrrrrrrVVwWVVd )21(d eeED第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 例例 計(jì)算半徑為計(jì)算半徑為 a ，電荷量為，電荷量為 Q 的導(dǎo)體球具有的的導(dǎo)體球具有的能量。導(dǎo)體周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為能量。導(dǎo)體周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為 。 解解 通過(guò)通過(guò)電位電位。aQ 4aQ可以通過(guò)可以通過(guò)三種三種途徑求解途徑求解。aQQW 8 212e已知半徑為已知半徑為a，電荷量為電荷量為 Q 的導(dǎo)體球的電位為的導(dǎo)體球的電位為第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 通過(guò)通過(guò)表面電荷表面電荷。e1d24 SSQWSaaQ 82

58、 通過(guò)通過(guò)能量密度能量密度。2 4rQE4222e 3221rQEw2 2 2ee 0 0 ddsin d8 aQWw rra求得求得已知導(dǎo)體表面是一個(gè)等位面，那么積分求得已知導(dǎo)體表面是一個(gè)等位面，那么積分求得 已知電荷量為已知電荷量為 Q 的導(dǎo)體球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為的導(dǎo)體球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)10. 電場(chǎng)力電場(chǎng)力 某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度在某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度在數(shù)值上數(shù)值上等于單位等于單位正正電荷在該點(diǎn)電荷在該點(diǎn)受到的電場(chǎng)力。因此，受到的電場(chǎng)力。因此，點(diǎn)點(diǎn)電荷電荷 受到的受到的電場(chǎng)力電場(chǎng)力為為 qEFq若上式中若上式中 E 為為點(diǎn)點(diǎn)電荷電荷 q 產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，則產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，則 rrqeE2

59、 4式中，式中， 為該點(diǎn)電荷周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。為該點(diǎn)電荷周圍介質(zhì)的介電常數(shù)。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)那么，那么，點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 q 對(duì)于點(diǎn)電荷對(duì)于點(diǎn)電荷 的作用力為的作用力為 qrrqqeF2 4式中式中er 為由為由 q 指向指向 的的單位單位矢量。矢量。q庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律EFqrrqeE2 4qqF第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 根據(jù)根據(jù)庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律可以計(jì)算電場(chǎng)力。但是，對(duì)于可以計(jì)算電場(chǎng)力。但是，對(duì)于電荷分布電荷分布復(fù)雜復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫(kù)侖定律計(jì)算電場(chǎng)的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫(kù)侖定律計(jì)算電場(chǎng)力是力是非常非常困難的。困難的。為了計(jì)算電場(chǎng)力，通常采用為了計(jì)算電場(chǎng)力，通常采用虛位移法虛位移法。 這

60、種方法是這種方法是假定假定帶電體在電場(chǎng)作用下發(fā)生一帶電體在電場(chǎng)作用下發(fā)生一定的定的位移位移，根據(jù)位移過(guò)程中，根據(jù)位移過(guò)程中電場(chǎng)能量電場(chǎng)能量的變化與的變化與外外力力及及電場(chǎng)力電場(chǎng)力所作的所作的功功之間的關(guān)系計(jì)算電場(chǎng)力。之間的關(guān)系計(jì)算電場(chǎng)力。第二章第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 以平板電容器為例，設(shè)兩極板上的電荷量以平板電容器為例，設(shè)兩極板上的電荷量分別為分別為+q 及及 q ，板間距離為板間距離為 l 。dll q+q 兩極板間的相互作用力兩極板間的相互作用力實(shí)際上實(shí)際上導(dǎo)致板間距離導(dǎo)致板間距離減小減小。因此，在上述假定下，求出因此，在上述假定下，求出的作用力應(yīng)為的作用力應(yīng)為負(fù)值負(fù)值。 假定在電場(chǎng)力作用下