數(shù)字信號(hào)處理-原理實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用(高西全—第3版 )第1章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)

1、第1章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)1.1 引 言本章內(nèi)容是全書(shū)的基礎(chǔ)。學(xué)生從學(xué)習(xí)模擬信號(hào)分析與處理到學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理，要建立許多新的概念，數(shù)字信號(hào)和數(shù)字系統(tǒng)與原來(lái)的模擬信號(hào)和模擬系統(tǒng)不同，尤其是處理方法上有本質(zhì)的區(qū)別。模擬系統(tǒng)用許多模擬器件完成，數(shù)字系統(tǒng)用運(yùn)算方法完成。如果對(duì)本章中關(guān)于數(shù)字信號(hào)與系統(tǒng)的若干基本概念不清楚，那么在學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器時(shí)，會(huì)感到不好掌握，因此學(xué)好本章是很重要的。1.2 本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)(1) 關(guān)于信號(hào)l 模擬信號(hào)、時(shí)域離散信號(hào)、數(shù)字信號(hào)三者之間的區(qū)別。l 如何由模擬信號(hào)產(chǎn)生時(shí)域離散信號(hào)。l 常用的時(shí)域離散信號(hào)。l 如何判斷信號(hào)是周期性的，其周期如何計(jì)算。(2) 關(guān)于系統(tǒng)l 什么是系統(tǒng)

2、的線性、時(shí)不變性，以及因果性、穩(wěn)定性；如何判斷。l 線性、時(shí)不變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系；求解線性卷積的圖解法、列表法、解析法，以及用MATLAB工具箱函數(shù)求解。l 線性常系數(shù)差分方程的遞推解法。l 用MATLAB求解差分方程。l 什么是滑動(dòng)平均濾波器，它的單位脈沖響應(yīng)是什么。1.3 習(xí)題與上機(jī)題解答1.1 用單位脈沖序列及其加權(quán)和表示圖P1.1所示的序列。解：1.2 給定信號(hào)(1) 畫出x(n)的波形，標(biāo)上各序列值；(2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；(3) 令，畫出的波形；(4) 令，畫出的波形。解：(1) 畫出x(n)的波形，如圖S1.2.1所示。 圖P1.1 圖S

3、1.2.1(2) 。(3) 畫出的波形，如圖S1.2.2所示。(4) 畫出的波形，如圖S1.2.3所示。1.3 判斷下列信號(hào)中哪一個(gè)是周期信號(hào)，如果是周期信號(hào)，求出它的周期。 圖S1.2.2 圖S1.2.3 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 解：(a) 是非周期信號(hào)。(b) 是周期信號(hào)，取M = 97，周期為20。(c) 是周期信號(hào)，取M = 4，周期為5。(d) 是周期信號(hào)，周期為14。(e) 是周期信號(hào)，周期為14。(f) 是非周期信號(hào)?？偨Y(jié)以上，如果數(shù)字頻率不是的函數(shù)，則一定是非周期序列。1.4 對(duì)圖P1.1給出的x(n)，要求：(1) 畫出x(-n)的波形； (2) 計(jì)算

4、，并畫出的波形；(3) 計(jì)算，并畫出的波形；(4) 令，將和x(n)進(jìn)行比較，你能得出什么結(jié)論？解：(1) 畫出x(-n)的波形如圖S1.4.1所示。(2) 將圖P1.1所示波形和圖S1.4.1所示波形相加再除以2，得到的波形，如圖S1.4.2所示。 圖S1.4.1 圖S1.4.2(3) 將圖P1.1所示波形和圖S1.4.1所示波形相減，再除以2，得到的波形，如圖S1.4.3所示。圖S1.4.3(4) 令，畫出波形，得到。另外，由波形得到 是x(n)的偶對(duì)稱序列，是x(n)的奇對(duì)稱序列。這是一個(gè)具體例子，但可以推廣到一般情況，結(jié)論是對(duì)于一般實(shí)序列可以分解成偶對(duì)稱序列和奇對(duì)稱序列，即 ，式中，。

5、1.5 以下序列是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，試說(shuō)明系統(tǒng)是否是因果的和穩(wěn)定的。(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)解：(1) ，系統(tǒng)是因果、不穩(wěn)定。 (2) ，系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。(3) ，系統(tǒng)是因果的，但不穩(wěn)定。(4) ，系統(tǒng)是非因果、穩(wěn)定的。(5) ，系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。 (6) ，系統(tǒng)是非因果的，不穩(wěn)定。1.6 假設(shè)系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關(guān)系分別如下式所示，試分別分析系統(tǒng)是否是線性時(shí)不變系統(tǒng)。(1) (2) (3) (4) 解：(1) 將上式中的n用代替，得到。令，因此，系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。令系統(tǒng)的輸入信號(hào)為兩個(gè)信號(hào)的線性組合，則輸出為，因?yàn)?，因此該系統(tǒng)不服從線性疊加原理

6、，是非線性系統(tǒng)。(2) 分析方法同上，該系統(tǒng)是時(shí)不變非線性系統(tǒng)。(3) 由上式有 因此，該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。令系統(tǒng)的輸入信號(hào)為兩個(gè)信號(hào)的線性組合，則輸出為因?yàn)?，因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。(4) 由上式得到 這樣，該系統(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。按照差分方程，可把系統(tǒng)看成是一個(gè)放大器，放大器的放大量是n，因?yàn)樵摲糯罅侩Sn改變，從物理概念上講，該系統(tǒng)也是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。令系統(tǒng)的輸入信號(hào)為兩個(gè)信號(hào)的線性組合，則輸出為，因?yàn)?，因此該系統(tǒng)服從線性疊加原理，是線性系統(tǒng)。1.7 按照?qǐng)DP1.7完成下面各題。圖P1.7(1) 根據(jù)串并聯(lián)系統(tǒng)的原理直接寫出總的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)；(2) 設(shè)， ，試求總的

7、系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)，并推出y(n)和輸入x(n)之間的關(guān)系。解：(1) 。(2) 在下面的推導(dǎo)中，用一些常用的公式，會(huì)使推導(dǎo)簡(jiǎn)便，它們是，； ，在(1)式中， 或者 1.8 由三個(gè)因果線性時(shí)不變系統(tǒng)串聯(lián)而成的系統(tǒng)如圖P1.8(a)所示，已知分系統(tǒng)整個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖P1.8(b)所示。(1) 求分系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)；(2) 如果輸入，求該系統(tǒng)的輸出y(n)。圖P1.8解：(1) 按照?qǐng)DP1.8(a)寫出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如下： 式中，。已知h(n)，求。上式是一個(gè)遞推公式，用遞推法求解。求解時(shí)注意系統(tǒng)是一個(gè)因果系統(tǒng)。； ； ； ； 。最后得到當(dāng)n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

8、, 6, 7,時(shí)，(2) 將已求出的代入上式，得到當(dāng)n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,時(shí), 。1.9 計(jì)算并畫出圖P1.9所示信號(hào)的卷積。圖P1.9(a) ，原點(diǎn)在6處，波形如圖S1.9.1(a)所示。(b) ，原點(diǎn)在18處，波形如圖S1.9.1(b)所示。(c) ，原點(diǎn)在第一個(gè)2處，波形如圖S1.9.1(c)所示。(d) ，原點(diǎn)在第一個(gè)1處，波形如圖S1.9.1(d)所示。圖S1.9.11.10 證明線性卷積服從交換率、結(jié)合率和分配率，即證明如下等式成立：(1) (2) (3) 解：證明如下：(1) 因?yàn)?令(2) 利用上面已證明的結(jié)果，得到交換求和號(hào)的次序，得到(3)

9、1.11 已知系統(tǒng)的輸入x(n)和單位脈沖響應(yīng)h(n)，試求系統(tǒng)的輸出y(n)。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：(1) ，原點(diǎn)在第一個(gè)1處。(2) ，原點(diǎn)在第一個(gè)2處。(3) 。(4) 該題解的方法和主教材中的例題1.3.3相同，；，n0，y(n) = 0，非零值范圍為，因此，非零區(qū)間為，因此結(jié)果為 (5) 。為了計(jì)算方便，將上式寫成采用列表法，計(jì)算過(guò)程如表S1.11.1所示。表S1.11.1 m-4-3-2-101234563x(m)0123456h(m)11111h(-m)111113y(0) = 3h(1-m)111113y(1) = 6h(2-m)111113y(2

10、) = 10h(3-m)111113y(3) = 15h(4-m)111113y(4) = 21h(-1-m)111113y(-1) = 1h(-2-m)111113y(-2) = 0，原點(diǎn)在3處。(6) ，由得到。由得到。； ，；，；，；最后得到1.12 如果線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入和輸出分別為(1) (2) 試求出相應(yīng)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。解：這是一個(gè)簡(jiǎn)單的解線性卷積的題目，可用遞推法求解。(1) ；得到(2) 1.13 已知因果系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。解：用遞推法求解，令，y(-1) = 0，y(n) = h(n)，；歸納起來(lái)，結(jié)果為。1.14 設(shè)系統(tǒng)的差分方程為，y(-

11、1) = 0。分析系統(tǒng)是否是線性、時(shí)不變系統(tǒng)。解：分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為，時(shí)，求它的輸出，再檢查是否滿足線性疊加原理和非時(shí)變性。(1) ，系統(tǒng)的輸出用表示：該情況在主教材例題1.5.21.4.1中已求出，系統(tǒng)的輸出為。(2) ，系統(tǒng)的輸出用表示： 最后得到。(3) ，系統(tǒng)的輸出用表示： 最后得到。由(1)和(2)得到 因此，可斷言這是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。情況(3)的輸入信號(hào)是情況(1)和情況(2)的輸入信號(hào)的相加信號(hào)，因此。觀察，得到，因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。最后得到結(jié)論：用差分方程描述的系統(tǒng)，當(dāng)初始條件為零時(shí)，是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。1.15 習(xí)題1.6和習(xí)題1.14都是由差分方程分析系統(tǒng)的線

12、性時(shí)不變性質(zhì)，為什么習(xí)題1.6沒(méi)給初始條件，而習(xí)題1.14給了初始條件？解：系統(tǒng)用差分方程描述時(shí)，分析其線性時(shí)不變性質(zhì)，需要給定輸入信號(hào)求輸出，因此需要已知差分方程的初始條件，是幾階差分方程就需要幾個(gè)初始條件，習(xí)題1.6的差分方程是零階的，因此不需要初始條件，而習(xí)題1.14是一階的，因此需要一個(gè)初始條件。1.16 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為，系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀察數(shù)據(jù)，設(shè) ，試用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。遞推時(shí)設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零。解： 最后得到。1.17 如果線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)是系統(tǒng)輸入單位階躍序列時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此該題即是求系統(tǒng)對(duì)

13、單位階躍序列的響應(yīng)。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)用y(n)表示，即非零值區(qū)間為，最后得到。1.18 已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入信號(hào)x(n)分別為求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：利用習(xí)題1.17的結(jié)果，得到1.19 已知系統(tǒng)用下面的差分方程描述：(1) 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；(2) 求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：(1) 令 n = 0，n = 1，n = 2，n = 3，n = 4，或者 (2) 該題可以直接由差分方程求單位階躍序列的響應(yīng)，因?yàn)樯项}已求出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，因此可以直接用線性卷積求解。令，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)用表示，則利用習(xí)題1.17的結(jié)果得到從而有 1.20* 已知兩個(gè)系統(tǒng)的差分方程分別為(1)

14、(2) 分別求兩個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)（只求前30個(gè)序列值即可）。解：(1) 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B1 = 1; A1 = 1, -0.6, 0.08。(2) 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B2 = 2, 0, -1; A2 = 1, -0.7, 0.1。調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計(jì)算兩個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的程序ex120.m如下：程序ex120.mB1 = 1;A1 = 1,-0.6, 0.08; 設(shè)差分方程(1)系數(shù)向量B2 = 2,0,-1; A2 = 1,-0.7,0.1; 設(shè)差分方程(2)系數(shù)向量=系統(tǒng)1xn = 1,zeros(1,30); x(n

15、)=單位脈沖序列，長(zhǎng)度N=31hn1=filter(B1,A1,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號(hào)h(n)n=0:length(hn1)-1;subplot(3,2,1);stem(n,hn1,'.')title('(a) 系統(tǒng)1的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)')xn=ones(1,30); x(n)=單位階躍序列，長(zhǎng)度N=31sn1=filter(B1,A1,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號(hào)h(n)n=0:length(sn1)-1;subplot(

16、3,2,2);stem(n,sn1,'.')title('(b) 系統(tǒng)1的單位階躍響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('s(n)')=系統(tǒng)2xn=1,zeros(1,30); x(n)=單位脈沖序列，長(zhǎng)度N=31hn2=filter(B2,A2,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號(hào)h(n)n=0:length(hn2)-1;subplot(3,2,5);stem(n,hn2,'.')title('(a) 系統(tǒng)2的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n')

17、;ylabel('h(n)')xn=ones(1,30); x(n)=單位階躍序列，長(zhǎng)度N=31sn2=filter(B2,A2,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號(hào)s2(n)n=0:length(sn2)-1;subplot(3,2,6);stem(n,sn2,'.')title('(b) 系統(tǒng)2的單位階躍響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('s_2(n)')程序運(yùn)行結(jié)果如圖S1.20.1所示。圖S1.20.11.21* 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號(hào)分別為，用遞推法計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

18、。解：調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計(jì)算該系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex121.m如下：調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)響應(yīng)序列B=1,0,2;A=1,-0.5; 設(shè)差分方程系數(shù)向量xn=1,2,3,4,2,1,zeros(1,24); x(n)長(zhǎng)度N=30yn=filter(B,A,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號(hào)y(n)圖S1.21.1n=0:length(yn)-1;subplot(3,2,1);stem(n,yn,'.')title('(a) 系統(tǒng)1的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('

19、y(n)')程序運(yùn)行結(jié)果如圖S1.21.1所示。1.22* 如系統(tǒng)的差分方程為式中，。(1) 編寫求解系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的程序，并畫出；(2) 編寫求解系統(tǒng)零狀態(tài)單位階躍響應(yīng)的程序，并畫出；(3) 利用(1)中的的一段形成一個(gè)新的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為編寫求解這個(gè)新系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的程序；(4) 比較(2)和(3)中求得的單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)。解：調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計(jì)算該系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex122.m如下：數(shù)字信號(hào)處理原理、實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用第1章上機(jī)題1.22程序ex122.m 電子工業(yè)出版社出版 高西全 丁玉美 闊永紅編著 2006年8月調(diào)用filter解差分方程，求

20、系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)B=0.866;A=1,-0.8,0.64; 差分方程系數(shù)向量=(1) 求解系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)，并畫出h(n) xn=1,zeros(1,48); x(n)=單位脈沖序列，長(zhǎng)度N=31hn=filter(B1,A1,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號(hào)h(n)n=0:length(hn)-1;subplot(3,2,1);stem(n,hn,'.')title('(a) 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('h(n)')=(2) 求解系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)，并畫出h(

21、n) xn=ones(1,100); x(n)=單位階躍序列，長(zhǎng)度N=100sn=filter(B,A,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)s(n)n=0:length(sn)-1;subplot(3,2,2);stem(n,sn,'.');axis(0,30,0,2)title('(b) 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('s(n)')=(3) 求解截取15點(diǎn)的FIR系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)，并畫出s(n) for m=1,15, hnfir(m)=hn(m);endsn=filter(B

22、,A,xn); 調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)s(n)n=0:length(sn)-1;subplot(3,2,6);stem(n,sn,'.');axis(0,30,0,2)title('(c) FIR系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)');xlabel('n');ylabel('s(n)')程序運(yùn)行結(jié)果如圖S1.22.1所示。 圖S1.22.1圖P1.22.1(b)和(c)的波形基本相同，由此可見(jiàn)，有些IIR數(shù)字濾波器可以用FIR數(shù)字濾波器逼近，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)可以通過(guò)截取IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)的一段得到

23、，截取長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)時(shí)，逼近誤差很小。1.23* 在圖P1.23中，有四個(gè)分系統(tǒng)，分別用下面的單位脈沖響應(yīng)或者差分方程描述： 編寫程序計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。圖P1.23解：由圖P1.23可知，可以采用以下步驟計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。設(shè)，該式調(diào)用conv函數(shù)計(jì)算。，該式調(diào)用filter函數(shù)計(jì)算。調(diào)用MATLAB函數(shù)conv和filter計(jì)算該系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex123.m如下：數(shù)字信號(hào)處理原理、實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用第1章上機(jī)題1.23程序ex123.m 電子工業(yè)出版社出版 高西全 丁玉美 闊永紅編著2006年8月調(diào)用conv和filter求總系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)序列h1n=1,1/2,1/4,1/8,1/

24、16,1/32; 對(duì)h1(n)賦值 h2n=ones(1,6);h3n=1/4,1/2,1/4,zeros(1,97);計(jì)算v(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)h12n=conv(h1n,h2n); h12n=h12n,zeros(1,89);vn=h12n+h3n;調(diào)用filer計(jì)算h(n)等于T4對(duì)v(n)響應(yīng)B4=1,1;A4=1,-0.9,0.81;hn=filter(B4,A4,vn);以下為繪圖部分n=0:length(hn)-1;subplot(2,1,1);stem(n,hn,'.')xlabel('n');ylabel('h(n)')程序運(yùn)行結(jié)果如圖S1.23.1所示。圖S1.23.11.24 (a) 寫出3項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器的差分方程和單位脈沖響應(yīng)。(b)* 設(shè)3項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器的輸入信號(hào)為，畫出該濾波器的輸入和輸出的前15個(gè)序列值。解：(a) 3項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器的差分方程和單位脈沖響