極坐標(biāo)與參數(shù)方程教案

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程【教學(xué)目標(biāo)】1 、知識(shí)目標(biāo)：（1）掌握極坐標(biāo)的意義，會(huì)把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化一般方程 （2）掌握參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化2 、能力目標(biāo)：通過(guò)對(duì)公式的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，多方面考慮事 物，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神和思維嚴(yán)謹(jǐn)性.3 、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合是思想方法.【教學(xué)重點(diǎn)】1 、極坐標(biāo)的與一般坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化2 、參數(shù)方程和一般方程的轉(zhuǎn)化3 、幾何證明的整體思路【教學(xué)難點(diǎn)】極坐標(biāo)意義和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化【考點(diǎn)分析】坐標(biāo)系與參數(shù)方程和幾何證明在廣東高考中為二者選一考，一般是5分的比較容易的題，知識(shí)相對(duì)比較獨(dú)立，與其他章節(jié)聯(lián)系不大，容易拿分.根據(jù)不同的幾何問(wèn)題可以建立不 同的坐標(biāo)系

2、，坐標(biāo)系選取的恰當(dāng)與否關(guān)系著解決平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)和線的方程的難易以及它 們位置關(guān)系的數(shù)據(jù)確立.有些問(wèn)題用極坐標(biāo)系解答比較簡(jiǎn)單，而有些問(wèn)題如果我們引入一個(gè) 參數(shù)就可以使問(wèn)題容易入手解答，計(jì)算簡(jiǎn)便.高考出現(xiàn)的題目往往是求曲線的極坐標(biāo)方程、 參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程間的相互轉(zhuǎn)化，并用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程 研究有關(guān)的距離問(wèn)題，交點(diǎn)問(wèn)題和位置關(guān)系的判定.【基本要點(diǎn)】一、極坐標(biāo)和參數(shù)方程：1 .極坐標(biāo)系的概念： 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做 極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線O X叫做 極軸； 再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍@樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.2

3、 .點(diǎn)M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn) M的距離OM叫做點(diǎn)M的極徑，記為 ； 以極軸O x為始邊，射線OM為終邊的/XOMPU做點(diǎn)M的極角，記為.有序數(shù)對(duì)（,）叫做點(diǎn)1精品文檔M的極坐標(biāo)，記為M(,).極坐標(biāo)(，)與(， 2k )(k Z)表示同一個(gè)點(diǎn).極點(diǎn) 。的坐標(biāo)為(0, )( R).3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化:22 x2y , xcos ,ysin, tany-(x 0)x4.圓的極坐標(biāo)方程:在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是在極坐標(biāo)系中,以C(a,0)(a>0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2acos在極坐標(biāo)系中,以C(a ) (a>0)為圓

4、心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是，22asin5 .參數(shù)方程的概念:在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)x f (t)，并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲y g(t),線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做222 x6 .圓(x a) (y b) r的參數(shù)萬(wàn)程可表不為ya rcosb rsin(為參數(shù)).拋物線y22yy 1(a>b>0)的參數(shù)方程可表示為b2acos , bsin .(為參數(shù)).x2px的參數(shù)萬(wàn)程可表

5、不為y2pt2,(t為參數(shù)).2Pt.經(jīng)過(guò)點(diǎn)MO(xo,yo),傾斜角為的直線i的參數(shù)方程可表示為XoV。tcos ,(t為參 tsin .【典型例題】題型一：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化和應(yīng)用 例1、(1)點(diǎn)M的極坐標(biāo)(5)化為直角坐標(biāo)為(5 5 3、-,) D225 5 32T) (2，6)，3八 / 55-3、，55,'3、A ( , ) B (_, ) C2222(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(J3, 1)化為極坐標(biāo)為5711A (2,刀)B . (2, ) C . (2,)666評(píng)注：極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，注意角度的范圍.變式1： (1)點(diǎn)2, 2的極坐標(biāo)為 .(2)在極坐標(biāo)系中，圓心在

6、 A(1,),半徑為1的圓的極坐標(biāo)方程是 4一評(píng)注：注意曲線極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化之間的聯(lián)系.例2、(1)曲線的極坐標(biāo)方程 4sin化成直角坐標(biāo)方程為()A.x 2+(y+2) 2=4B.x 2+(y-2) 2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4y【解析】 將 P=%：x2y2 , sin 9= ； 22 代入 P=4sin & 彳導(dǎo) x +y =4y,x y即 x2+(y-2) 2=4.應(yīng)選 B.(2)。和。Q的極坐標(biāo)方程分別為=4cos , =-4sin .把。和。Q的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；求經(jīng)過(guò)。Q, OQ交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.【解析】以極點(diǎn)為原點(diǎn)，

7、極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.(1) x= cos ,y= sin ,由=4cos ,得 2=4 cos .所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0為。的直角坐標(biāo)方程.同理x2+y2+4y=0為。02的直角坐標(biāo)方程22(2)由 xy4x0,解得 10或2，即。Q,。02交于點(diǎn)(0, 0)和(2,-2)x2y24y0, yi0, y22.過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x.變式1:極坐標(biāo)p=cos( 一 )表示的曲線是()4D.圓A.雙曲線B.橢圓C.拋物線2J2= pcos 卅 psin 0,1【解析】原極坐標(biāo)萬(wàn)程化為i= = (cos卅sin 0)

8、2，普通方程為 M2 (x 2+y2)=x+y ,表示圓.應(yīng)選D.變式2:在極坐標(biāo)系中與圓4sin相切的一條直線的方程為(A.cos 2 B sin 2C.4sin( -) d4sin(【解析】A2一 24sin的普通萬(wàn)程為x (y 2)4, cos 2的普通方程為x 2圓22x (y 2)4與直線x 2顯然相切.例3、在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn) P (5, ), Q(1, 一),求線段PQ的長(zhǎng)度;44、 ，、 一- -7T一變式1、在極坐標(biāo)系中，直線p sin( 0 +1)=2被圓p =4截得的弦長(zhǎng)為 變式2、在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)1,0到直線 cos sin 2的距離為例4、極坐標(biāo)方程分別為2 co

9、s和 sin的兩個(gè)圓的圓心距為 變式1、把極坐標(biāo)方程cos（ ） 1化為直角坐標(biāo)方程是6變式2、在極坐標(biāo)系中，圓心在 （J2,）且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為 _.變式3、在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn) A（3,0）且與極軸垂直的直線交曲線4cos于A、B兩點(diǎn),則 | AB | .題型二：參數(shù)方程的互化和應(yīng)用x1 2t 例1、右直線（t為參數(shù)）與直線4x ky 1垂直，則常數(shù)k =.y 2 3tx 1 t變式1、設(shè)直線11的參數(shù)萬(wàn)程為（t為參數(shù)），直線12的方程為y=3x+4則11與12的y 1 3t距離為 x1 3t變式2、已知直線11 :（t為參數(shù)）與直線12: 2x 4y 5相交于點(diǎn)B ,又點(diǎn)A（1,2）,

10、y 2 4t則AB x變式3、直線y1t2（t為參數(shù)）被圓2t4截得的弦長(zhǎng)為例2、經(jīng)過(guò)曲線C：x 3 3cos ,(y 3sinx為參數(shù)）的中心作直線1：y3t_ （t為參數(shù)）的垂3t線，求中心到垂足的距離.x 3 3cos .【解析】由曲線C的參數(shù)萬(wàn)程消去參數(shù)y 3sin得（x-3） 2+y2=9.曲線C表示以（3, 0）為圓心，3為半徑的圓一八山心、- x 3t由直線1的參數(shù)方程阿/消去參數(shù)t,得y=2x.表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為30。的直線.如圖，在直角三角形 OC計(jì),OC=3 /COD=30,所以CD=3 ,所以中心到垂足的距離為 2變式1、將參數(shù)方程2 sin2. 2 sin（為參數(shù)）

11、化為普通方程為（A. y x 2 B yx 2 C . y x 2(2 x 3) D . yx 2(0 y 1)、x sin 2變式2、下列在曲線（為參數(shù)）上的點(diǎn)是（）y cos sinA. J,揚(yáng) B . （ 3,1） C , （2,V3） D . （1,V3） 24 2、， x sin cos變式3、P是曲線（0, 2 ）是參數(shù)）上一點(diǎn)， P到點(diǎn)Q（0,2）距離y 1 sin 2的最小值是.（選講）變式4、已知點(diǎn)P （x,y ）在曲線2 cosy（為參數(shù)）上，則義的取值范圍sinxt tx e e例4、參數(shù)方程（t為參數(shù)）的普通方程為 y 2（et et）變式1、參數(shù)方程（t為參數(shù)）的普通

12、方程為，2-2得，x2-y2=4,方程表示雙曲線題型三：參數(shù)方程與圓錐曲線例1、參數(shù)方程x 4sin （為參數(shù)）的普通方程為 y 5 cossinxx4sin/曰4【解析】,得4y5cosycos952222+，得二上二1表示橢圓1625例2、（選講）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)P（x,y）是橢圓+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求3S=x+y的最大值.2【解析】由橢圓+y2=1的參數(shù)方程為3x 3 cos y sin可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（73 cos,sin),其中0W <2因止匕，S=x+y=、3 cos +sinc 3=2 . cos2-sin =2sin 2所以當(dāng)二時(shí)，S取得最大值2.變式1

13、：已知 2x2+3y2-6x=0(x,y C R),則 x2+y2 的最大值為題型四：綜合運(yùn)用例1、以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。已知直線的極坐標(biāo)方程為R),它與曲線x 1 2cosy 2 2sin( 為參數(shù))相交于兩點(diǎn) A和B,則|AB|=例2、在直角坐標(biāo)系中，曲線 C1的參數(shù)方程為x cos y sin0,，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2在極坐標(biāo)系中的方程為.若曲線C1與C2有兩個(gè)sin cos不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) b的取值范圍是 例3、在極坐標(biāo)系下，已知圓 Ocos sin和直線l :sin(-)'.22，(1)求圓O

14、和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)0, 時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).x 4 cost.x 8cos .例4、已知曲線C1:, (t為參數(shù))，C2:' (為參數(shù))。y 3 sint,y 3sin ,(1)化C1, C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t 一，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線2x 3 2LC3:,(t為參數(shù))距離的最小值。y 2 t【鞏固練習(xí)】x 2 cos 1 .直線：3x-4y-9=0與圓：，（。為參數(shù)）的位置關(guān)系是（）y 2sinA.相切 B. 相離 C.直線過(guò)圓心D. 相交但直線不過(guò)圓心x 3t2 22 .曲

15、線的參數(shù)方程為x2（t是參數(shù)），則曲線是（）y t2 1A、線段 B、雙曲線的一支 C、圓 D、射線3、點(diǎn)2, 2的極坐標(biāo)為4、已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P （1,1）,傾斜角 =谷，直線l的參數(shù)方程為 5、極坐標(biāo)系中，圓 =10cos 的圓心坐標(biāo)為36、點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1,-耳）,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 .（其中O是極點(diǎn)）7、右 A3, B 4,一，則 |AB|=368、極點(diǎn)到直線cos sin33的距離是9.（2011廣東文）已知兩曲線參數(shù)方程分別為它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .x . 5cos /八(0 y sin、* x< )和4t2 (tR), x10. （09廣東）若直線11 : y2t,kt.（t

16、為參數(shù)）與直線x s.12:,（ s為參數(shù)）垂直,y 1 2s.11. （09 福建）直線：3x-4y-9=02cos 一一,（。為參數(shù)）的位置關(guān)系是2sin12 . （09江蘇）直線.2t,2tt為參數(shù)上與點(diǎn)P 2,3距離等于22的點(diǎn)的坐標(biāo)2213、求橢圓-y-941上一點(diǎn)P與定點(diǎn)（1,0）之間距離的最小值【課后練習(xí)】1、已知曲線C的參數(shù)方程為t -“t, （t為參數(shù)，t 0）.求曲線C的普通方程。 13（t t）2、已知曲線C2的極坐標(biāo)方程分別為cos 3, 4cos行冗0,0<一 ，2則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 x 2t . 一 3、已知直線l的參數(shù)萬(wàn)程：（t為參數(shù)），圓C的極

17、坐標(biāo)萬(wàn)程：2，2sin,y 1 4t4試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.x sin4、（求曲線過(guò)點(diǎn)（0,2）的切線方程為y cos25、在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓3上的點(diǎn)到直線cos V3sin2的距離為d最大值為 6、若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為1與 2cos ，它們相交于A,B兩點(diǎn)，求線段3AB的長(zhǎng).x 1 t7、求直線11 :L （t為參數(shù)）和直線l2 :x y 273 0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，及點(diǎn)P與y 5 3tQ（1, 5）的距離?！就卣咕毩?xí)】1、（2009廈門(mén)英才學(xué)校）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）求極坐標(biāo)系中，圓 2上的點(diǎn)到直線cosJ3sin6的距離的最小值.92、（ 2009通州第四次倜研） 求經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O（0,0）, A（6, ）, B（6 J2,）二點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)萬(wàn)程.2,43、（ 2009廈門(mén)十中）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）已知圓C的參數(shù)方程為x 1 2 cos ,為參數(shù) ，若P是圓C與x