計(jì)算機(jī)中數(shù)值的三種表示方法詳解：原碼-反碼--補(bǔ)碼

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上計(jì)算機(jī)中數(shù)值的三種表示方法詳解原碼，反碼，補(bǔ)碼 最近在學(xué)習(xí)軟件評測師的知識(shí)，其中涉及到計(jì)算機(jī)的原碼, 反碼和補(bǔ)碼等知識(shí). 通過網(wǎng)上查閱資料，進(jìn)行了深入學(xué)習(xí)，分享給大家。本文主要從以下幾點(diǎn)進(jìn)行介紹：如何計(jì)算原碼，反碼，補(bǔ)碼？為何要使用反碼和補(bǔ)碼？希望本文對大家學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)有所幫助一. 機(jī)器數(shù)和真值在學(xué)習(xí)原碼, 反碼和補(bǔ)碼之前, 需要先了解機(jī)器數(shù)和真值的概念.1、機(jī)器數(shù)一個(gè)數(shù)在計(jì)算機(jī)中的二進(jìn)制表示形式,  叫做這個(gè)數(shù)的機(jī)器數(shù)。機(jī)器數(shù)是帶符號(hào)的，在計(jì)算機(jī)用一個(gè)數(shù)的最高位存放符號(hào), 正數(shù)為0, 負(fù)數(shù)為1.比如，十進(jìn)制中的數(shù) +3 ，計(jì)算機(jī)字長為8位，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就

2、是。如果是 -3 ，就是 。那么，這里的 和 就是機(jī)器數(shù)。2、真值因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位，所以機(jī)器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號(hào)數(shù) ，其最高位1代表負(fù)，其真正數(shù)值是 -3 而不是形式值131（轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制等于131）。所以，為區(qū)別起見，將帶符號(hào)位的機(jī)器數(shù)對應(yīng)的真正數(shù)值稱為機(jī)器數(shù)的真值。例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = 000 0001 = 1 二. 原碼, 反碼, 補(bǔ)碼的基礎(chǔ)概念和計(jì)算方法.計(jì)算機(jī)中的符號(hào)數(shù)有三種表示方法，即、和補(bǔ)碼。三種表示方法均有符號(hào)位和數(shù)值位兩部分，符號(hào)位都是用0表示“正”，用1表示“負(fù)”，

3、而數(shù)值位，三種表示方法各不相同。1. 原碼原碼就是符號(hào)位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號(hào), 其余位表示值. 比如如果是8位二進(jìn)制:+1原 = 0000 0001-1原 = 1000 0001第一位是符號(hào)位. 因?yàn)榈谝晃皇欠?hào)位, 所以8位二進(jìn)制數(shù)的取值范圍就是:1111 1111 , 0111 1111即-127 , 127原碼是人腦最容易理解和計(jì)算的表示方式.2. 反碼反碼的表示方法是:正數(shù)的反碼是其本身負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號(hào)位不變，其余各個(gè)位取反.+1 = 原 = 反-1 = 原 = 反可見如果一個(gè)反碼表示的是負(fù)數(shù), 人腦無法直觀

4、的看出來它的數(shù)值. 通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計(jì)算.3. 補(bǔ)碼補(bǔ)碼的表示方法是:正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號(hào)位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎(chǔ)上+1)+1 = 原 = 反 = 補(bǔ)-1 = 原 = 反 = 補(bǔ)對于負(fù)數(shù), 補(bǔ)碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數(shù)值的. 通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼在計(jì)算其數(shù)值. 簡單總結(jié)以下，反碼和補(bǔ)碼的表示方式以及計(jì)算方法.對于正數(shù)，三種編碼方式的結(jié)果都相同:正整數(shù)的原碼、反碼、補(bǔ)碼完全一樣，即符號(hào)位固定為0，數(shù)值位相同。+1 = 原 = 反 = 補(bǔ)對于負(fù)數(shù)，三

5、種編碼方式則完全不同：負(fù)整數(shù)的符號(hào)位固定為1，由原碼變?yōu)檠a(bǔ)碼時(shí)，規(guī)則如下：1、原碼符號(hào)位1不變，整數(shù)的每一位二進(jìn)制數(shù)位求反，得到反碼2、反碼符號(hào)位1不變，反碼數(shù)值位最低位加1，得到補(bǔ)碼-1 = 原 = 反 = 補(bǔ)可見原碼, 反碼和補(bǔ)碼是完全不同的.三. 為何要使用原碼, 反碼和補(bǔ)碼既然原碼才是被人腦直接識(shí)別并用于計(jì)算表示方式, 為何還會(huì)有反碼和補(bǔ)碼呢?在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，數(shù)值一律用補(bǔ)碼來表示和存儲(chǔ)。原因在于，使用補(bǔ)碼，可以將符號(hào)位和數(shù)值域統(tǒng)一處理；同時(shí)，加法和減法也可以統(tǒng)一處理。此外，補(bǔ)碼與原碼相互轉(zhuǎn)換，其運(yùn)算過程是相同的，不需要額外的硬件電路。下面以一些例子進(jìn)行詳細(xì)介紹。人腦

6、可以知道第一位是符號(hào)位, 在計(jì)算的時(shí)候我們會(huì)根據(jù)符號(hào)位, 選擇對真值區(qū)域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對于計(jì)算機(jī), 加減乘數(shù)已經(jīng)是最基礎(chǔ)的運(yùn)算, 要設(shè)計(jì)的盡量簡單. 計(jì)算機(jī)辨別"符號(hào)位"顯然會(huì)讓計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路設(shè)計(jì)變得十分復(fù)雜! 于是人們想出了將符號(hào)位也參與運(yùn)算的方法. 我們知道, 根據(jù)運(yùn)算法則減去一個(gè)正數(shù)等于加上一個(gè)負(fù)數(shù), 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機(jī)器可以只有加法而沒有減法, 這樣計(jì)算機(jī)運(yùn)算的設(shè)計(jì)就更簡單了.于是人們開始探索 將符號(hào)位參與運(yùn)算, 并且只保留加法的方法. 首先來看原碼:計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=01 - 1 =

7、1 + (-1) = 原 + 原 = 原 = -2如果用原碼表示, 讓符號(hào)位也參與計(jì)算, 顯然對于減法來說, 結(jié)果是不正確的.這也就是為何計(jì)算機(jī)內(nèi)部不使用原碼表示一個(gè)數(shù).為了解決原碼做減法的問題, 出現(xiàn)了反碼:計(jì)算十進(jìn)制的表達(dá)式: 1-1=01 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001原 + 1000 0001原= 0000 0001反 + 1111 1110反 = 1111 1111反 = 1000 0000原 = -0發(fā)現(xiàn)用反碼計(jì)算減法, 結(jié)果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實(shí)就出現(xiàn)在"

8、;0"這個(gè)特殊的數(shù)值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號(hào)是沒有任何意義的. 而且會(huì)有0000 0000原和1000 0000原兩個(gè)編碼表示0.于是補(bǔ)碼的出現(xiàn), 解決了0的符號(hào)以及兩個(gè)編碼的問題:1-1 = 1 + (-1) = 0000 0001原 + 1000 0001原 = 0000 0001補(bǔ) + 1111 1111補(bǔ) = 0000 0000補(bǔ)=0000 0000原這樣0用0000 0000表示, 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了.而且可以用1000 0000表示-128:(-1) + (-127) = 1000 0001

9、原 + 1111 1111原 = 1111 1111補(bǔ) + 1000 0001補(bǔ) = 1000 0000補(bǔ)-1-127的結(jié)果應(yīng)該是-128, 在用補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果中, 1000 0000補(bǔ) 就是-128. 但是注意因?yàn)閷?shí)際上是使用以前的-0的補(bǔ)碼來表示-128, 所以-128并沒有原碼和反碼表示.(對-128的補(bǔ)碼表示1000 0000補(bǔ)算出來的原碼是0000 0000原, 這是不正確的)使用補(bǔ)碼, 不僅僅修復(fù)了0的符號(hào)以及存在兩個(gè)編碼的問題, 而且還能夠多表示一個(gè)最低數(shù). 這就是為什么8位二進(jìn)制, 使用原碼或反碼表示的范圍為-127, +127

10、, 而使用補(bǔ)碼表示的范圍為-128, 127.因?yàn)闄C(jī)器使用補(bǔ)碼, 所以對于編程中常用到的32位int類型, 可以表示范圍是: -231, 231-1 因?yàn)榈谝晃槐硎镜氖欠?hào)位.而使用補(bǔ)碼表示時(shí)又可以多保存一個(gè)最小值.四 原碼, 反碼, 補(bǔ)碼原理：模的概念計(jì)算機(jī)巧妙地把符號(hào)位參與運(yùn)算, 并且將減法變成了加法, 背后蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)原理呢?模的概念可以幫助理解補(bǔ)數(shù)和補(bǔ)碼?！澳！笔侵敢粋€(gè)計(jì)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)范圍。如時(shí)鐘等。計(jì)算機(jī)也可以看成一個(gè)計(jì)量機(jī)器，它也有一個(gè)計(jì)量范圍，即都存在一個(gè)“模”。例如：時(shí)鐘的計(jì)量范圍是011，模=12。表示n位的計(jì)算機(jī)計(jì)量范圍是02(n)-1，模=2(n)?！澳！睂?shí)質(zhì)上是計(jì)量器

11、產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計(jì)量器上表示不出來，計(jì)量器上只能表示出模的余數(shù)。任何有模的計(jì)量器，均可化為運(yùn)算。假設(shè)當(dāng)前時(shí)針指向6點(diǎn)，而準(zhǔn)確時(shí)間是4點(diǎn)，我希望將時(shí)間設(shè)置成4點(diǎn), 需要怎么做呢?調(diào)整時(shí)間可有以下兩種撥法：一種是倒撥2小時(shí)，即：6-4=2；另一種是順撥10小時(shí)：6+10=12+4=41. 往回?fù)?個(gè)小時(shí): 6 - 2 = 42. 往前撥10個(gè)小時(shí): (6 + 10) mod 12 = 43. 往前撥10+12=22個(gè)小時(shí): (6+22) mod 12 =42,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余數(shù)是4. 所以鐘表往回?fù)?減法)的結(jié)果可以用往前撥

12、(加法)替代!現(xiàn)在的焦點(diǎn)就落在了如何用一個(gè)正數(shù), 來替代一個(gè)負(fù)數(shù). 上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律. 但是數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 不能靠感覺.首先介紹一個(gè)數(shù)學(xué)中相關(guān)的概念: 同余兩個(gè)整數(shù)a，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余記作 a b (mod m)讀作 a 與 b 關(guān)于模 m 同余。舉例說明:4 mod 12 = 416 mod 12 = 428 mod 12 = 4所以4, 16, 28關(guān)于模 12 同余.負(fù)數(shù)取模正數(shù)進(jìn)行mod運(yùn)算是很簡單的. 但是負(fù)數(shù)呢?下面是關(guān)于mod運(yùn)算的數(shù)學(xué)定義:上面是截圖, "取下界"符號(hào)找不到如何輸入(w

13、ord中粘貼過來后亂碼). 下面是使用"L"和"J"替換上圖的"取下界"符號(hào):x mod y = x - y L x / y J上面公式的意思是:x mod y等于 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界.以 -3 mod 2 舉例:-3 mod 2= -3 - 2xL -3/2 J= -3 - 2xL-1.5J= -3 - 2x(-2)= -3 + 4 = 1所以:(-2) mod 12 = 12-2=10(-4) mod 12 = 12-4 = 8(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7 再回到時(shí)鐘的問題上:回?fù)?

14、小時(shí) = 前撥10小時(shí)回?fù)?小時(shí) = 前撥8小時(shí)回?fù)?小時(shí)= 前撥7小時(shí)注意, 這里發(fā)現(xiàn)的規(guī)律!結(jié)合上面學(xué)到的同余的概念.實(shí)際上:(-2) mod 12 = 1010 mod 12 = 10-2與10是同余的.(-4) mod 12 = 88 mod 12 = 8-4與8是同余的.距離成功越來越近了. 要實(shí)現(xiàn)用正數(shù)替代負(fù)數(shù), 只需要運(yùn)用同余數(shù)的兩個(gè)定理:反身性:a a (mod m)這個(gè)定理是很顯而易見的.線性運(yùn)算定理:如果a b (mod m)，c d (mod m) 那么:(1)a ± c b ± d (mod m)(2)a * c b * d (mod m)所以:7

15、7 (mod 12)(-2) 10 (mod 12)7 -2 7 + 10 (mod 12)現(xiàn)在我們?yōu)橐粋€(gè)負(fù)數(shù), 找到了它的正數(shù)同余數(shù). 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 7 + 10 (mod 12) , 即計(jì)算結(jié)果的余數(shù)相等.接下來回到二進(jìn)制的問題上, 看一下: 2-1=1的問題.2-1=2+(-1) = 0000 0010原 + 1000 0001原= 0000 0010反 + 1111 1110反先到這一步, -1的反碼表示是1111 1110. 如果這里將1111 1110認(rèn)為是原碼, 則1111 1110原 = -126, 這里將符號(hào)位除去, 即

16、認(rèn)為是126.發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律:(-1) mod 127 = 126126 mod 127 = 126即:(-1) 126 (mod 127)2-1 2+126 (mod 127)2-1 與 2+126的余數(shù)結(jié)果是相同的! 而這個(gè)余數(shù), 正式我們的期望的計(jì)算結(jié)果: 2-1=1所以說一個(gè)數(shù)的反碼, 實(shí)際上是這個(gè)數(shù)對于一個(gè)膜的同余數(shù). 而這個(gè)膜并不是我們的二進(jìn)制, 而是所能表示的最大值! 這就和鐘表一樣, 轉(zhuǎn)了一圈后總能找到在可表示范圍內(nèi)的一個(gè)正確的數(shù)值!而2+126很顯然相當(dāng)于鐘表轉(zhuǎn)過了一輪, 而因?yàn)榉?hào)位是參與計(jì)算的, 正好和溢出的最高位形成正確的運(yùn)算結(jié)果.既然反碼可以將減法變成加法, 那么現(xiàn)在計(jì)算機(jī)使用的補(bǔ)碼呢? 為什么在反碼的基礎(chǔ)上加1, 還能得到正確的結(jié)果?2-1=2+(-1) = 0000 0010原 + 1000 0001原 = 000