計算機中數(shù)值的三種表示方法詳解：原碼-反碼--補碼

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上計算機中數(shù)值的三種表示方法詳解原碼，反碼，補碼 最近在學習軟件評測師的知識，其中涉及到計算機的原碼, 反碼和補碼等知識. 通過網(wǎng)上查閱資料，進行了深入學習，分享給大家。本文主要從以下幾點進行介紹：如何計算原碼，反碼，補碼？為何要使用反碼和補碼？希望本文對大家學習計算機基礎有所幫助一. 機器數(shù)和真值在學習原碼, 反碼和補碼之前, 需要先了解機器數(shù)和真值的概念.1、機器數(shù)一個數(shù)在計算機中的二進制表示形式,  叫做這個數(shù)的機器數(shù)。機器數(shù)是帶符號的，在計算機用一個數(shù)的最高位存放符號, 正數(shù)為0, 負數(shù)為1.比如，十進制中的數(shù) +3 ，計算機字長為8位，轉(zhuǎn)換成二進制就

2、是。如果是 -3 ，就是 。那么，這里的 和 就是機器數(shù)。2、真值因為第一位是符號位，所以機器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號數(shù) ，其最高位1代表負，其真正數(shù)值是 -3 而不是形式值131（轉(zhuǎn)換成十進制等于131）。所以，為區(qū)別起見，將帶符號位的機器數(shù)對應的真正數(shù)值稱為機器數(shù)的真值。例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = 000 0001 = 1 二. 原碼, 反碼, 補碼的基礎概念和計算方法.計算機中的符號數(shù)有三種表示方法，即、和補碼。三種表示方法均有符號位和數(shù)值位兩部分，符號位都是用0表示“正”，用1表示“負”，

3、而數(shù)值位，三種表示方法各不相同。1. 原碼原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其余位表示值. 比如如果是8位二進制:+1原 = 0000 0001-1原 = 1000 0001第一位是符號位. 因為第一位是符號位, 所以8位二進制數(shù)的取值范圍就是:1111 1111 , 0111 1111即-127 , 127原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式.2. 反碼反碼的表示方法是:正數(shù)的反碼是其本身負數(shù)的反碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變，其余各個位取反.+1 = 原 = 反-1 = 原 = 反可見如果一個反碼表示的是負數(shù), 人腦無法直觀

4、的看出來它的數(shù)值. 通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計算.3. 補碼補碼的表示方法是:正數(shù)的補碼就是其本身負數(shù)的補碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎上+1)+1 = 原 = 反 = 補-1 = 原 = 反 = 補對于負數(shù), 補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數(shù)值的. 通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼在計算其數(shù)值. 簡單總結(jié)以下，反碼和補碼的表示方式以及計算方法.對于正數(shù)，三種編碼方式的結(jié)果都相同:正整數(shù)的原碼、反碼、補碼完全一樣，即符號位固定為0，數(shù)值位相同。+1 = 原 = 反 = 補對于負數(shù)，三

5、種編碼方式則完全不同：負整數(shù)的符號位固定為1，由原碼變?yōu)檠a碼時，規(guī)則如下：1、原碼符號位1不變，整數(shù)的每一位二進制數(shù)位求反，得到反碼2、反碼符號位1不變，反碼數(shù)值位最低位加1，得到補碼-1 = 原 = 反 = 補可見原碼, 反碼和補碼是完全不同的.三. 為何要使用原碼, 反碼和補碼既然原碼才是被人腦直接識別并用于計算表示方式, 為何還會有反碼和補碼呢?在計算機系統(tǒng)中，數(shù)值一律用補碼來表示和存儲。原因在于，使用補碼，可以將符號位和數(shù)值域統(tǒng)一處理；同時，加法和減法也可以統(tǒng)一處理。此外，補碼與原碼相互轉(zhuǎn)換，其運算過程是相同的，不需要額外的硬件電路。下面以一些例子進行詳細介紹。人腦

6、可以知道第一位是符號位, 在計算的時候我們會根據(jù)符號位, 選擇對真值區(qū)域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對于計算機, 加減乘數(shù)已經(jīng)是最基礎的運算, 要設計的盡量簡單. 計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分復雜! 于是人們想出了將符號位也參與運算的方法. 我們知道, 根據(jù)運算法則減去一個正數(shù)等于加上一個負數(shù), 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只有加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設計就更簡單了.于是人們開始探索 將符號位參與運算, 并且只保留加法的方法. 首先來看原碼:計算十進制的表達式: 1-1=01 - 1 =

7、1 + (-1) = 原 + 原 = 原 = -2如果用原碼表示, 讓符號位也參與計算, 顯然對于減法來說, 結(jié)果是不正確的.這也就是為何計算機內(nèi)部不使用原碼表示一個數(shù).為了解決原碼做減法的問題, 出現(xiàn)了反碼:計算十進制的表達式: 1-1=01 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001原 + 1000 0001原= 0000 0001反 + 1111 1110反 = 1111 1111反 = 1000 0000原 = -0發(fā)現(xiàn)用反碼計算減法, 結(jié)果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實就出現(xiàn)在"

8、;0"這個特殊的數(shù)值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號是沒有任何意義的. 而且會有0000 0000原和1000 0000原兩個編碼表示0.于是補碼的出現(xiàn), 解決了0的符號以及兩個編碼的問題:1-1 = 1 + (-1) = 0000 0001原 + 1000 0001原 = 0000 0001補 + 1111 1111補 = 0000 0000補=0000 0000原這樣0用0000 0000表示, 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了.而且可以用1000 0000表示-128:(-1) + (-127) = 1000 0001

9、原 + 1111 1111原 = 1111 1111補 + 1000 0001補 = 1000 0000補-1-127的結(jié)果應該是-128, 在用補碼運算的結(jié)果中, 1000 0000補 就是-128. 但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128, 所以-128并沒有原碼和反碼表示.(對-128的補碼表示1000 0000補算出來的原碼是0000 0000原, 這是不正確的)使用補碼, 不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示一個最低數(shù). 這就是為什么8位二進制, 使用原碼或反碼表示的范圍為-127, +127

10、, 而使用補碼表示的范圍為-128, 127.因為機器使用補碼, 所以對于編程中常用到的32位int類型, 可以表示范圍是: -231, 231-1 因為第一位表示的是符號位.而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值.四 原碼, 反碼, 補碼原理：模的概念計算機巧妙地把符號位參與運算, 并且將減法變成了加法, 背后蘊含了怎樣的數(shù)學原理呢?模的概念可以幫助理解補數(shù)和補碼?！澳！笔侵敢粋€計量系統(tǒng)的計數(shù)范圍。如時鐘等。計算機也可以看成一個計量機器，它也有一個計量范圍，即都存在一個“?！薄＠纾簳r鐘的計量范圍是011，模=12。表示n位的計算機計量范圍是02(n)-1，模=2(n)。“?！睂嵸|(zhì)上是計量器

11、產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的余數(shù)。任何有模的計量器，均可化為運算。假設當前時針指向6點，而準確時間是4點，我希望將時間設置成4點, 需要怎么做呢?調(diào)整時間可有以下兩種撥法：一種是倒撥2小時，即：6-4=2；另一種是順撥10小時：6+10=12+4=41. 往回撥2個小時: 6 - 2 = 42. 往前撥10個小時: (6 + 10) mod 12 = 43. 往前撥10+12=22個小時: (6+22) mod 12 =42,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余數(shù)是4. 所以鐘表往回撥(減法)的結(jié)果可以用往前撥

12、(加法)替代!現(xiàn)在的焦點就落在了如何用一個正數(shù), 來替代一個負數(shù). 上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律. 但是數(shù)學是嚴謹?shù)? 不能靠感覺.首先介紹一個數(shù)學中相關(guān)的概念: 同余兩個整數(shù)a，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余記作 a b (mod m)讀作 a 與 b 關(guān)于模 m 同余。舉例說明:4 mod 12 = 416 mod 12 = 428 mod 12 = 4所以4, 16, 28關(guān)于模 12 同余.負數(shù)取模正數(shù)進行mod運算是很簡單的. 但是負數(shù)呢?下面是關(guān)于mod運算的數(shù)學定義:上面是截圖, "取下界"符號找不到如何輸入(w

13、ord中粘貼過來后亂碼). 下面是使用"L"和"J"替換上圖的"取下界"符號:x mod y = x - y L x / y J上面公式的意思是:x mod y等于 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界.以 -3 mod 2 舉例:-3 mod 2= -3 - 2xL -3/2 J= -3 - 2xL-1.5J= -3 - 2x(-2)= -3 + 4 = 1所以:(-2) mod 12 = 12-2=10(-4) mod 12 = 12-4 = 8(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7 再回到時鐘的問題上:回撥2

14、小時 = 前撥10小時回撥4小時 = 前撥8小時回撥5小時= 前撥7小時注意, 這里發(fā)現(xiàn)的規(guī)律!結(jié)合上面學到的同余的概念.實際上:(-2) mod 12 = 1010 mod 12 = 10-2與10是同余的.(-4) mod 12 = 88 mod 12 = 8-4與8是同余的.距離成功越來越近了. 要實現(xiàn)用正數(shù)替代負數(shù), 只需要運用同余數(shù)的兩個定理:反身性:a a (mod m)這個定理是很顯而易見的.線性運算定理:如果a b (mod m)，c d (mod m) 那么:(1)a ± c b ± d (mod m)(2)a * c b * d (mod m)所以:7

15、7 (mod 12)(-2) 10 (mod 12)7 -2 7 + 10 (mod 12)現(xiàn)在我們?yōu)橐粋€負數(shù), 找到了它的正數(shù)同余數(shù). 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 7 + 10 (mod 12) , 即計算結(jié)果的余數(shù)相等.接下來回到二進制的問題上, 看一下: 2-1=1的問題.2-1=2+(-1) = 0000 0010原 + 1000 0001原= 0000 0010反 + 1111 1110反先到這一步, -1的反碼表示是1111 1110. 如果這里將1111 1110認為是原碼, 則1111 1110原 = -126, 這里將符號位除去, 即

16、認為是126.發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律:(-1) mod 127 = 126126 mod 127 = 126即:(-1) 126 (mod 127)2-1 2+126 (mod 127)2-1 與 2+126的余數(shù)結(jié)果是相同的! 而這個余數(shù), 正式我們的期望的計算結(jié)果: 2-1=1所以說一個數(shù)的反碼, 實際上是這個數(shù)對于一個膜的同余數(shù). 而這個膜并不是我們的二進制, 而是所能表示的最大值! 這就和鐘表一樣, 轉(zhuǎn)了一圈后總能找到在可表示范圍內(nèi)的一個正確的數(shù)值!而2+126很顯然相當于鐘表轉(zhuǎn)過了一輪, 而因為符號位是參與計算的, 正好和溢出的最高位形成正確的運算結(jié)果.既然反碼可以將減法變成加法, 那么現(xiàn)在計算機使用的補碼呢? 為什么在反碼的基礎上加1, 還能得到正確的結(jié)果?2-1=2+(-1) = 0000 0010原 + 1000 0001原 = 000