江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州2017屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

1、江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州2017屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題第卷（共70分） 一、填空題（每題5分，滿分70分，將答案填在答題紙上）1.設(shè)復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），若，則的值是 2.已知集合，則 3. 某人隨機(jī)播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，則甲、乙首歌曲至少有首被播放的概率是 4. 如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的的值是 5.為調(diào)査某高校學(xué)生對(duì)“一帶一路”政策的了解情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，其中大一年級(jí)抽取人，大二年級(jí)抽取人.若其他年級(jí)共有學(xué)生人，則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是 6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，則的值是 7.在銳角中，若的面積為，則的長(zhǎng)是 8.在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過

2、拋物線的焦點(diǎn)，則該雙曲線的離心率是 9. 已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為，圓心角為的扇形，則這個(gè)圓錐的高為 10.若直線為曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)的值是 11.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 12.如圖，在直角梯形中，若分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 13. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是 14.已知函數(shù)若函數(shù)恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 第卷（共90分）二、解答題 （本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 15. 已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若角滿足，求角值.16. 如圖，在四棱

3、錐中，底面是矩形，平面平面分別為棱的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.17. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn). （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的弦過點(diǎn)，且與軸不垂直.若為軸上的一點(diǎn)，求的值.18. 如圖，半圓是某愛國主義教育基地一景點(diǎn)的平面示意圖，半徑的長(zhǎng)為百米.為了保護(hù)景點(diǎn)，基地管理部門從道路上選取一點(diǎn)，修建參觀線路,且,均與半圓相切，四邊形是等腰梯形，設(shè)百米，記修建每百米參觀線路的費(fèi)用為萬元，經(jīng)測(cè)算. （1）用表示線段的長(zhǎng)；（2）求修建參觀線路的最低費(fèi)用.19. 已知是公差為的等差數(shù)列， 是公比為的等比數(shù)列，正整數(shù)組.（1）若，求的值；（2）若數(shù)組中的三個(gè)數(shù)構(gòu)成

4、公差大于的等差數(shù)列，且，求的最大值.（3）若，試寫出滿足條件的一個(gè)數(shù)組和對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式.(注：本小問不必寫出解答過程)20. 已知函數(shù)），記的導(dǎo)函數(shù)為.（1） 證明：當(dāng)時(shí)，在上的單調(diào)函數(shù)；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間.若在上是單調(diào)函數(shù)，則稱在上廣義單調(diào).試證明函數(shù)在上廣義單調(diào). 數(shù)學(xué)(附加題)21. 【選做題】 本題包括A、B、C、四個(gè)小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A. 選修4-1：幾何證明選講如圖，已知為圓的一條弦，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)任作兩條弦分別交于點(diǎn).求證：.B

5、. 選修4-2：距陣與變換已知矩陣，點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，求矩陣的特征值.C. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在坐標(biāo)系中，圓的圓心在極軸上，且過極點(diǎn)和點(diǎn)，求圓的極坐標(biāo)方程.D. 選修4-5：選修4-5：不等式選講已知是正實(shí)數(shù)，且，求證：.【必做題】第22、23題，每題10分，共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22. 如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，.（1）求二面角的余弦值；（2）設(shè)是棱上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).23. 已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，.（1）求；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州2017屆高三第三次模

6、擬考試數(shù)學(xué)試題參考答案一、填空題:1 2. 3. 4. 5. 6.7. 8. 9. 10. 11. 12：13. 14.二、解答題: 15. 解：(1)由條件，周期，即，所以，即.因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以.(2)由，得，即，即.因?yàn)榛?16. 解：(1)因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所?又平面平面，所以平面.(2)因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面平面，所以平面，又平面，所?因?yàn)槠矫嫫矫?17. 解：(1)由題意，知.又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)直線的方程為.若時(shí)，. 若時(shí)，的中點(diǎn)為，代入橢圓方程，整理得，所以，所以的垂直平分線方程為.因?yàn)?，所以點(diǎn)為的垂直平分線

7、與軸的交點(diǎn)，所以，因?yàn)闄E圓的左準(zhǔn)線的方程為，離心率為，由，得，同理，所以，綜上，得的值為.18. 解：設(shè)與半圓相切于點(diǎn)，則由四邊形是等腰梯形知，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.(1)設(shè)圓切于，連結(jié)過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)?，所?由. (2) 設(shè)修建該參觀線路的費(fèi)用為萬元. 當(dāng)，由 ，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為. 當(dāng)時(shí)，所以，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為. 由 知，取得最小值為.答：（1）的長(zhǎng)為百米；（2）修建該參觀線路的最低費(fèi)用為萬元.19. 解：(1)由條件，知，即，.(2)由，即，所以，同理可得，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以.記，

8、則有，故，即.記，則為奇函數(shù)，又公差大于，所以，即，當(dāng)時(shí)，取最大值為.(3)滿足題意的數(shù)組，此時(shí)通項(xiàng)公式為.例如：.20. 解：(1)當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞增.(2). 當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若，則；若，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，所以在處取得極小值，符合題意.當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，則；若，則，所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，所以在處取得極大值，不符合題意. 當(dāng)時(shí)，使得，即，但當(dāng)時(shí)，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù)在單調(diào)遞減，不符合題意.綜上所述，的取值范圍是.（3）記. 若，注意到，則，即， 當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.若，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減

9、，綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上廣義單調(diào).數(shù)學(xué)(附加題)21. A. 解：連結(jié)，因?yàn)椋贮c(diǎn)為弧的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以四點(diǎn)共圓.所以.B. 解：由題意，即，解得，所以矩陣.所以矩陣的特征多項(xiàng)式為 ，令，得，所以的特征值為和.C. 解：因?yàn)閳A心在極軸上且過極點(diǎn)，所以設(shè)圓極坐標(biāo)方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得，所以圓極坐標(biāo)方程為.D. 解：因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，且，同理， ， ，將式相加并整理，即得.22. 解：(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由，得且，取，得，所以是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)槠矫妫∑矫娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，所以，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余