例談幾何中的最短路線問題

1、例談幾何中的最短路線問題武安市實驗中學(xué) 劉保鋒幾何中的最短路線問題是中考熱點之一，往往與兩點之間線段最短、垂線段最短、軸對稱、勾股定理息息相關(guān)?，F(xiàn)舉例分析如下：一、兩點之間，線段最短。如圖：一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位于公路AB兩側(cè)的村莊，當汽車行駛到什么位置時，到村莊M、N的距離之和最短？析：連接MN，線段MN與直線AB的交點P4即為所求。二、直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。 一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位于公路AB兩側(cè)的村莊，當汽車行駛到什么位置時距村莊M最近？行駛到什么位置時距村莊N最近？析：分別過M、N兩點向直線AB

2、做垂線段，垂足分別是P1、P2，P1、P2即為所求。三、兩點之間，線段最短與軸對稱相結(jié)合；一輛汽車在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB的同側(cè)，當汽車行駛到什么位置時，到村莊M、N的距離之和最短？析：過N點，做直線AB的對稱點N，連接MN，線段MN與直線AB的交點P5，P5即為所求。變式：如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷。請你幫他確定這一天的最短路線。析：過A點做關(guān)于草地MN對稱點A，過B點做關(guān)于河L對稱點B，連接AB，與草地MN交于P1，與河L交于P2，順次連接A、P1、P2、B，即為所求。四、兩點之間，線段

3、最短與勾股定理相結(jié)合。（1）臺階問題 如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？析：展開圖如圖所示，AB=cm（2）圓柱問題 有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對角B處吃食物，它爬行的最短路線長為多少？析：展開圖如圖所示，AB=m變式1：有一圓柱形油罐，已知油罐周長是12m，高AB是5m，要從點A處開始繞油罐一周建造梯子，正好到達A點的正上方B處，問梯子最短有多長？ABABc析

4、：展開圖如圖所示，AB=m變式2： 桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。析：展開圖如圖所示，做A點關(guān)于杯口的對稱點A。則BA=厘米（3）正方體問題 如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點B的最短距離是（ ）. （A）3 （B） （C）2 （D）1析：展開圖如圖所示，AB=（4）長方體問題 如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？析：展