二次函數(shù)解答題201511.25

1、二次函數(shù)解答題 2015.11.25一選擇題（共1小題）1（2015綏化）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5若點M、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為（）A10B8C5D6二填空題（共1小題）2（2008羅田縣校級自主招生）已知點A（1，3），B（4，1），在x軸上找一點P，使得AP+BP最小，那么P點的坐標是三解答題（共13小題）3（2016貴陽模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（4，0），B（0，4），C（2，0）三點（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，AMB的面積為S求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的

2、最大值（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標4（2015棗莊）如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PCx軸于點D，交拋物線于點C（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求PAC為直角三角形時點P的坐標5（2015酒泉）如圖，在直角坐標系中，拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸相交于

3、點M（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使PAB的周長最??？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由6（2015內江）如圖，拋物線與x軸交于點A（，0）、點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）點N為拋物線上的一個動點，過點N作NPx軸于點P，設點N的橫坐標為t（t2），求ABN的面積S與t的函數(shù)關系式；（3）若t2且t0時OPNCOB，求點N的坐標7（2015涼山州）如圖，已知拋物

4、線y=x2（m+3）x+9的頂點C在x軸正半軸上，一次函數(shù)y=x+3與拋物線交于A、B兩點，與x、y軸交于D、E兩點（1）求m的值（2）求A、B兩點的坐標（3）點P（a，b）（3a1）是拋物線上一點，當PAB的面積是ABC面積的2倍時，求a，b的值8（2015遂寧）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（2，0），B（4，0），C（0，3）三點（1）求該拋物線的解析式；（2）在y軸上是否存在點M，使ACM為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點P（t，0）為線段AB上一動點（不與A，B重合），過P作y軸的平行線，記該直線右側與ABC圍成的圖

5、形面積為S，試確定S與t的函數(shù)關系式9（2015東營）如圖，拋物線經過A（2，0），B（，0），C（0，2）三點（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC下方的拋物線上有一點D，使得DCA的面積最大，求點D的坐標；（3）設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足AMH=90°？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由10（2015漳州）如圖，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，請解決下列問題（1）填空：點C的坐標為（，），點D的坐標為（，）；（2）設點P的坐標為（a，0），當|PDPC|最大時，求的值并在圖中標出點P的位置；

6、（3）在（2）的條件下，將BCP沿x軸的正方向平移得到BCP，設點C對應點C的橫坐標為t（其中0t6），在運動過程中BCP與BCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的關系式，并直接寫出當t為何值時S最大，最大值為多少？11（2015衢州）小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”求函數(shù)y=x2+3x2的“旋轉函數(shù)”小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2+3x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，

7、根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉函數(shù)”請參考小明的方法解決下面問題：（1）寫出函數(shù)y=x2+3x2的“旋轉函數(shù)”；（2）若函數(shù)y=x2+mx2與y=x22nx+n互為“旋轉函數(shù)”，求（m+n）2015的值；（3）已知函數(shù)y=（x+1）（x4）的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分布是A1，B1，C1，試證明經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=（x+1）（x4）互為“旋轉函數(shù)”12（2015云南）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于

8、點C，直線y=kx+n（k0）經過B，C兩點，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5（1）分別求直線BC和拋物線的解析式（關系式）；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由13（2015杭州模擬）已知經過原點的拋物線y=2x2+4x（如圖所示）與x的另一交點為A現(xiàn)將它向右平移m（m0）位，所得拋物線與x軸交于C、D點，與原拋物線交于點P（1）求點P的坐標（可用含m式子表示）；（2）設PCD的面積為s，求s關于m關系式；（3）過點P作x軸的平行線交原拋物線于點E，交平移后的拋物線于點F請問是否存在m，

9、使以點E、O、A、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由14（2015重慶模擬）若x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個根，則方程的兩個根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關系：我們把它們稱為根與系數(shù)關系定理如果設二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，0），B（x2，0）利用根與系數(shù)關系定理我們又可以得到A、B兩個交點間的距離為：AB=|x1x2|=請你參考以上定理和結論，解答下列問題：設二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點為C，顯然AB

10、C為等腰三角形（1）當ABC為等腰直角三角形時，求b24ac的值；（2）當ABC為等邊三角形時，b24ac=；（3）設拋物線y=x2+kx+1與x軸的兩個交點為A、B，頂點為C，且ACB=90°，試問如何平移此拋物線，才能使ACB=60°？15已知點A（1，3）、B（5，2），在x軸上找一點P，使（1）AP+BP最??；（2）|APBP|最?。唬?）|APBP|最大二次函數(shù)解答題 2015.11.25參考答案與試題解析一選擇題（共1小題）1（2015綏化）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5若點M、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為（） A10

11、B8C5D6【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網版權所有【分析】過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點，EF就是所求的線段【解答】解：過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點，AC=5，AC邊上的高為2，所以BE=4ABCEFB，=，即=EF=8故選B二填空題（共1小題）2（2008羅田縣校級自主招生）已知點A（1，3），B（4，1），在x軸上找一點P，使得AP+BP最小，那么P點的坐標是（，0）【分析】只有當A、B、P這三點共線時AP+BP=AB，這時就有最小值，根據(jù)這個求出AB的解析式，再求它和x軸的交點即可【

12、解答】解：設直線AB的解析式為y=kx+b，所以，解得k=，b=，所以解析式為y=x+，當y=0時，x=，所以P點的坐標是（，0）【點評】主要考查了三角形三邊關系和最短線路問題；解題的關鍵是根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”得到AP+BP=AB時有最小值，所以利用函數(shù)的知識即可求解三解答題（共13小題）3（2016貴陽模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（4，0），B（0，4），C（2，0）三點（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，AMB的面積為S求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=x上的動點，判斷

13、有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標【考點】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）先假設出函數(shù)解析式，利用三點法求解函數(shù)解析式（2）設出M點的坐標，利用S=SAOM+SOBMSAOB即可進行解答；（3）當OB是平行四邊形的邊時，表示出PQ的長，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出方程求解即可；當OB是對角線時，由圖可知點A與P應該重合【解答】解：（1）設此拋物線的函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c（a0），將A（4，0），B（0，4），C（2，0）三點代入函數(shù)解析式得：解得，所以此函數(shù)解析式為：y=；（2

14、）M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，M點的坐標為：（m，），S=SAOM+SOBMSAOB=×4×（m2m+4）+×4×（m）×4×4=m22m+82m8=m24m，=（m+2）2+4，4m0，當m=2時，S有最大值為：S=4+8=4答：m=2時S有最大值S=4（3）設P（x，x2+x4）當OB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質知PQOB，且PQ=OB，Q的橫坐標等于P的橫坐標，又直線的解析式為y=x，則Q（x，x）由PQ=OB，得|x（x2+x4）|=4，解得x=0，4，2±2x=0不合題意，舍去如圖，當BO為對角線時，知

15、A與P應該重合，OP=4四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標為4，代入y=x得出Q為（4，4）由此可得Q（4，4）或（2+2，22）或（22，2+2）或（4，4）4（2015棗莊）如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PCx軸于點D，交拋物線于點C（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求PAC為直角三角形時點P的坐標【分析】（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點

16、坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差可設出P點橫坐標，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質即可求出PC的最大值（3）當PAC為直角三角形時，根據(jù)直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解【解答】解：（1）B（4，m）在直線y=x+2上， m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，解得，拋物線的解析式為y=2x28x+6（2）設動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n28n+6）

17、，PC=（n+2）（2n28n+6），=2n2+9n4，=2（n）2+，PC0，當n=時，線段PC最大且為（3）PAC為直角三角形，i）若點P為直角頂點，則APC=90°由題意易知，PCy軸，APC=45°，因此這種情形不存在；ii）若點A為直角頂點，則PAC=90°如答圖31，過點A（，）作ANx軸于點N，則ON=，AN=過點A作AM直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，AMN為等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）設直線AM的解析式為：y=kx+b，則：，解得，直線AM的解析式為：y=x+3 又拋物線的解析式為：y=2x28x+6

18、 聯(lián)立式，解得：x=3或x=（與點A重合，舍去）C（3，0），即點C、M點重合當x=3時，y=x+2=5， P1（3，5）；iii）若點C為直角頂點，則ACP=90°y=2x28x+6=2（x2）22，拋物線的對稱軸為直線x=2如答圖32，作點A（，）關于對稱軸x=2的對稱點C，則點C在拋物線上，且C（，）當x=時，y=x+2=P2（，）點P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，綜上所述，PAC為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（，）【點評】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識5（2015酒泉）如圖，在直角坐

19、標系中，拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸相交于點M（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使PAB的周長最?。咳舸嬖?，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）拋物線經過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；（2）點A關

20、于對稱軸的對稱點A的坐標為（6，4），連接BA交對稱軸于點P，連接AP，此時PAB的周長最小，可求出直線BA的解析式，即可得出點P的坐標（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使NAC面積最大設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2t+4）（0t5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案【解答】解：（1）根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為y=a（x1）（x5），把點A（0，4）代入上式得：a=，y=（x1）（x5）=x2x+4=（x3）2，拋物線的對稱軸是：x=3；（2）P點坐標為（3，）理由如下：點A（0，4），拋物線的對稱軸是x=3，點A

21、關于對稱軸的對稱點A的坐標為（6，4）如圖1，連接BA交對稱軸于點P，連接AP，此時PAB的周長最小設直線BA的解析式為y=kx+b，把A（6，4），B（1，0）代入得，解得，y=x，點P的橫坐標為3，y=×3=，P（3，）（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使NAC面積最大設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2t+4）（0t5），如圖2，過點N作NGy軸交AC于G；作ADNG于D，由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=x+4，把x=t代入得：y=t+4，則G（t，t+4），此時：NG=t+4（t2t+4）=t2+4t，AD+CF=CO=5，SACN=S

22、ANG+SCGN=AD×NG+NG×CF=NGOC=×（t2+4t）×5=2t2+10t=2（t）2+，當t=時，CAN面積的最大值為，由t=，得：y=t2t+4=3，N（，3）【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結合思想的靈活應用6（2015內江）如圖，拋物線與x軸交于點A（，0）、點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）點N為拋物線上的一個動點，過點N作NPx軸于點P，設點N的橫坐標為t（t2），求ABN的面積S與t的函數(shù)關系式；（3）若t2且t0時OPNCO

23、B，求點N的坐標【考點】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的性質菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）可設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，然后只需運用待定系數(shù)法就可解決問題；（2）當t2時，點N在x軸的上方，則NP等于點N的縱坐標，只需求出AB，就可得到S與t的函數(shù)關系式；（3）根據(jù)相似三角形的性質可得PN=2PO由于PO=，需分t0和0t2兩種情況討論，由PN=2PO得到關于t的方程，解這個方程，就可解決問題【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題可得：，解得：，拋物線的函數(shù)關系式為y=x2+x+1；（2）當t2時，yN0，NP=|yN|=

24、yN=t2+t+1，S=ABPN=×（2+）×（t2+t+1）=（t2+t+1）=t2+t+；（3）OPNCOB，=，=，PN=2PO當t0時，PN=yN=t2+t+1，PO=t，t2+t+1=2t，整理得：3t29t2=0，解得：t1=，t2=0，0，t=，此時點N的坐標為（，）；當0t2時，PN=yN=t2+t+1，PO=t，t2+t+1=2t，整理得：3t2t2=0，解得：t3=，t4=10，012，t=1，此時點N的坐標為（1，2）綜上所述：點N的坐標為（，）或（1，2）【點評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質、解一元二次方程等知識，需

25、要注意的是：用點的坐標表示相關線段的長度時，應先用坐標的絕對值表示線段的長度，然后根據(jù)坐標的正負去絕對值；解方程后要檢驗，不符合條件的解要舍去7（2015涼山州）如圖，已知拋物線y=x2（m+3）x+9的頂點C在x軸正半軸上，一次函數(shù)y=x+3與拋物線交于A、B兩點，與x、y軸交于D、E兩點（1）求m的值（2）求A、B兩點的坐標（3）點P（a，b）（3a1）是拋物線上一點，當PAB的面積是ABC面積的2倍時，求a，b的值【考點】二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）拋物線的頂點在x軸的正半軸上可知其對應的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，根據(jù)判別式等于0可求得m的值；（2）由（

26、1）可求得拋物線解析式，聯(lián)立一次函數(shù)和拋物線解析式可求得A、B兩點的坐標；（3）分別過A、B、P三點作x軸的垂線，垂足分別為R、S、T，可先求得ABC的面積，再利用a、b表示出PAB的面積，根據(jù)面積之間的關系可得到a、b之間的關系，再結合P點在拋物線上，可得到關于a、b的兩個方程，可求得a、b的值【解答】解：（1）拋物線y=x2（m+3）x+9的頂點C在x軸正半軸上，方程x2（m+3）x+9=0有兩個相等的實數(shù)根，（m+3）24×9=0，解得m=3或m=9，又拋物線對稱軸大于0，即m+30，m=3；（2）由（1）可知拋物線解析式為y=x26x+9，聯(lián)立一次函數(shù)y=x+3，可得，解得或

27、，A（1，4），B（6，9）；（3）如圖，分別過A、B、P三點作x軸的垂線，垂足分別為R、S、T，A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），AR=4，BS=9，RC=31=2，CS=63=3，RS=61=5，PT=b，RT=1a，ST=6a，SABC=S梯形ABSRSARCSBCS=×（4+9）×5×2×4×3×9=15，SPAB=S梯形PBSTS梯形ABSRS梯形ARTP=（9+b）（6a）（b+4）（1a）×（4+9）×5=（5b5a15），又SPAB=2SABC，（5b5a15）=30，即ba=

28、15，b=15+a，P點在拋物線上，b=a26a+9，15+a=a26a+9，解得a=，3a1，a=，b=15+=【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)與一元二次方程的關系、函數(shù)圖象的交點及三角形的面積等知識點在（1）中由頂點在x軸的正半軸上把問題轉化為二元一次方程根的問題是解題的關鍵，在（2）中注意函數(shù)圖象交點的求法，在（3）中用P點坐標表示出PAB的面積是解題的關鍵本題涉及知識點較多，計算量較大，有一定的難度8（2015遂寧）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（2，0），B（4，0），C（0，3）三點（1）求該拋物線的解析式；（2）在y軸上是否存在點M，使

29、ACM為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點P（t，0）為線段AB上一動點（不與A，B重合），過P作y軸的平行線，記該直線右側與ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數(shù)關系式【考點】二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）把A（2，0），B（4，0），C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c，求解即可；（2）作線段CA的垂直平分線，交y軸于M，交AC與N，連結AM1，則AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐標，當CA=CM2時，則AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐標，當CA=AM3時，則AM3C是等腰

30、三角形，求出OM3得出M3的坐標，當CA=CM4時，則AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐標，（3）當點P在y軸或y軸右側時，設直線與BC交與點D，先求出SBOC，再根據(jù)BPDBOC，得出=（）2，=（）2，求出S=SBPD；當點P在y軸左側時，設直線與AC交與點E，根據(jù)=（）2，得出=（）2，求出S=SABCSAPE=9，再整理即可【解答】解：（1）把A（2，0），B（4，0），C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c得：，解得：，則拋物線的解析式是：y=x2+x+3；（2）如圖1，作線段CA的垂直平分線，交y軸于M，交AC與N，連結AM1，則AM1C是等腰三角形，AC=，CN=，

31、CNM1COA，=，=，CM1=，OM1=OCCM1=3=，M1的坐標是（0，），當CA=CM2=時，則AM2C是等腰三角形，則OM2=3+， M2的坐標是（0，3+），當CA=AM3=時，則AM3C是等腰三角形， 則OM3=3， M3的坐標是（0，3），當CA=CM4=時，則AM4C是等腰三角形，則OM4=3，M4的坐標是（0，3），（3）如圖2，當點P在y軸或y軸右側時，設直線與BC交與點D，OB=4，OC=3，SBOC=6，BP=BOOP=4t， =，BPDBOC =（）2， =（）2，S=SBPD=t23t+6（0t4）；當點P在y軸左側時 設直線與AC交與點E，OP=t，AP=t+2

32、， =，=（）2， =（）2， SAPE=，S=SABCSAPE=9=t23t+6（2t0） 【點評】此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、線段的垂直平分線等，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，注意分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法9（2015東營）如圖，拋物線經過A（2，0），B（，0），C（0，2）三點（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC下方的拋物線上有一點D，使得DCA的面積最大，求點D的坐標；（3）設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足AMH=90°？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明

33、理由【考點】二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；（2）根據(jù)圖形的割補法，可得面積的和差，根據(jù)二次函數(shù)的性質，可得答案；（3）根據(jù)余角的性質，可得AMN=NKM，根據(jù)相似三角形的判定與性質，可得=，根據(jù)解方程組，可得H點坐標【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A（2，0），B（，0），C（0，2）代入解析式，得，解得拋物線的解析式是y=2x2+5x+2；（2）由題意可求得AC的解析式為y=x+2，如圖1， 設D點的坐標為（t，2t2+5t+2），過D作DEx軸交AC于E點，E點的坐標為（t，t+2），DE=t+2（2

34、t2+5t+2）=2t24t，用h表示點C到線段DE所在直線的距離，SDAC=SCDE+SADE=DEh+DE（2h）=DE2=DE=2t24t=2（t+1）2+22t0，當t=1時，DCA的面積最大，此時D點的坐標為（1，1）；（3）存在點H滿足AMH=90°，由（1）知M點的坐標為（，）如圖2：作MHAM交x軸于點K（x，0），作MNx軸于點N，AMN+KMA=90°，NKM+KMN=90°，AMN=NKMANM=MNK，AMNMKN， =， MN2=ANNK，（）2=（2）（x+）， 解得x= K點坐標為（，0）直線MK的解析式為y=x，把代入，化簡得48x

35、2+104x+55=0=10424×48×55=64×4=2560，x1=，x2=，將x2=代入y=x，解得y=直線MN與拋物線有兩個交點M、H，拋物線上存在點H，滿足AMH=90°，此時點H的坐標為（，）【點評】本題考察了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用圖形割補法求面積是解題關鍵，（3）利用相似三角形的判定與性質得出=是解題關鍵，解方程組是此題的難點10（2015漳州）如圖，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，請解決下列問題（1）填空：點C的坐標為（0，3），點D的坐標為（1，4

36、）；（2）設點P的坐標為（a，0），當|PDPC|最大時，求的值并在圖中標出點P的位置；（3）在（2）的條件下，將BCP沿x軸的正方向平移得到BCP，設點C對應點C的橫坐標為t（其中0t6），在運動過程中BCP與BCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的關系式，并直接寫出當t為何值時S最大，最大值為多少？【考點】二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)拋物線與坐標軸交點坐標求法和頂點坐標求法計算即可；（2）求|PDPC|的值最大時點P的坐標，應延長CD交x軸于點P因為|PDPC|小于或等于第三邊CD，所以當|PCPD|等于CD時，|PCPD|的值最大因此求出過CD兩點的解析式

37、，求它與x軸交點坐標即可；（3）過C點作CEx軸，交DB于點E，求出直線BD的解析式，求出點E的坐標，求出PC與BC的交點M的坐標，分點C在線段CE上和在線段CE的延長線上兩種情況，再分別求得N點坐標，再利用圖形的面積的差，可表示出S，再求得其最大值即可【解答】解：（1）y=x2+2x+3=（x1）2+4，C（0，3），D（1，4），故答案為：0；3；1；4；（2）在三角形中兩邊之差小于第三邊，延長DC交x軸于點P，設直線DC的解析式為y=kx+b，把D、C兩點坐標代入可得，解得，直線DC的解析式為y=x+3，將點P的坐標（a，0）代入得a+3=0，求得a=3，如圖1，點P（3，0）即為所求；

38、（3）過點C作CEx，交直線BD于點E，如圖2，由（2）得直線DC的解析式為y=x+3，由法可求得直線BD的解析式為y=2x+6，直線BC的解析式為y=x+3，在y=2x+6中，當y=3時，x=，E點坐標為（，3），設直線PC與直線BC交于點M，PCDC，PC與y軸交于點（0，3t），直線PC的解析式為y=x+3t，聯(lián)立，解得，點M坐標為（，），BCBC，B坐標為（3+t，0），直線BC的解析式為y=x+3+t，分兩種情況討論：當0t時，如圖2，BC與BD交于點N，聯(lián)立，解得，N點坐標為（3t，2t），S=SBCPSBMPSBNB=×6×3（6t）×（6t）t&#

39、215;2t=t2+3t，其對稱軸為t=，可知當0t時，S隨t的增大而增大，當t=時，有最大值；當t6時，如圖3，直線PC與DB交于點N，聯(lián)立，解得，N點坐標為（，），S=SBNPSBMP=（6t）××（6t）×=（6t）2=t2t+3；顯然當t6時，S隨t的增大而減小，當t=時，S=綜上所述，S與t之間的關系式為S=，且當t=時，S有最大值，最大值為【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形三邊關系、平移的性質和二次函數(shù)的性質等知識點在（1）中掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，在（2）中確定出P點的位置是解題的關鍵，在（3）中用t分別表示出E

40、、M、N的坐標是解題的關鍵，注意分類討論思想的應用本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量較大11（2015衢州）小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”求函數(shù)y=x2+3x2的“旋轉函數(shù)”小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2+3x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉函數(shù)”請參考小明的方法解決下面

41、問題：（1）寫出函數(shù)y=x2+3x2的“旋轉函數(shù)”；（2）若函數(shù)y=x2+mx2與y=x22nx+n互為“旋轉函數(shù)”，求（m+n）2015的值；（3）已知函數(shù)y=（x+1）（x4）的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關于原點的對稱點分布是A1，B1，C1，試證明經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=（x+1）（x4）互為“旋轉函數(shù)”【考點】二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)“旋轉函數(shù)”的定義求出a2，b2，c2，從而得到原函數(shù)的“旋轉函數(shù)”；（2）根據(jù)“旋轉函數(shù)”的定義得到m=2n，2+n=0，再解方程組求出m和n的值，然后根據(jù)乘方的意義計算

42、；（3）先根據(jù)拋物線與坐標軸的交點問題確定A（1，0），B（4，0），C（0，2），再利用關于原點對稱的點的坐標特征得到A1（1，0），B1（4，0），C1（0，2），則可利用交點式求出經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y=（x1）（x+4）=x2+x2，再把y=（x+1）（x4）化為一般式，然后根據(jù)“旋轉函數(shù)”的定義進行判斷【解答】（1）解：a1=1，b1=3，c1=2，1+a2=0，b2=3，2+c2=0，a2=11，b2=3，c2=2，函數(shù)y=x2+3x2的“旋轉函數(shù)”為y=x2+3x+2；（2）解：根據(jù)題意得m=2n，2+n=0，解得m=3，n=2，（m+n）2015=（3+2）

43、2015=1；（3）證明：當x=0時，y=（x+1）（x4）=2，則C（0，2），當y=0時，（x+1）（x4）=0，解得x1=1，x2=4，則A（1，0），B（4，0），點A、B、C關于原點的對稱點分布是A1，B1，C1，A1（1，0），B1（4，0），C1（0，2），設經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y=a2（x1）（x+4），把C1（0，2）代入得a2（1）4=2，解得a2=，經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y=（x1）（x+4）=x2+x2，而y=（x+1）（x4）=x2+x+2，a1+a2=+=0，b1=b2=，c1+c2=22=0，經過點A1，B1，C1的二次函數(shù)與

44、函數(shù)y=（x+1）（x4）互為“旋轉函數(shù)【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握關于原點對稱的兩點的坐標特征；會求二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；對新定義的理解能力12（2015云南）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線y=kx+n（k0）經過B，C兩點，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5（1）分別求直線BC和拋物線的解析式（關系式）；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題菁

45、優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）由C的坐標確定出OC的長，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的長，確定出點B坐標，把B與C坐標代入直線解析式求出k與n的值，確定出直線BC解析式，把A與B坐標代入拋物線解析式求出a的值，確定出拋物線解析式即可；（2）在拋物線的對稱軸上不存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形，如圖所示，分兩種情況考慮：當PCCB時，PBC為直角三角形；當PBBC時，BCP為直角三角形，分別求出P的坐標即可【解答】解：（1）C（0，3），即OC=3，BC=5，在RtBOC中，根據(jù)勾股定理得：OB=4，即B（4，0），把B與C坐標代入y=kx+n中，

46、得：，解得：k=，n=3，直線BC解析式為y=x+3；由A（1，0），B（4，0），設拋物線解析式為y=a（x1）（x4）=ax25ax+4a，把C（0，3）代入得：a=，則拋物線解析式為y=x2x+3；（2）存在如圖所示，分兩種情況考慮：拋物線解析式為y=x2x+3，其對稱軸x=當P1CCB時，P1BC為直角三角形，直線BC的斜率為，直線P1C斜率為，直線P1C解析式為y3=x，即y=x+3，與拋物線對稱軸方程聯(lián)立得，解得：，此時P（，）；當P2BBC時，BCP2為直角三角形，同理得到直線P2B的斜率為，直線P2B方程為y=（x4）=x，與拋物線對稱軸方程聯(lián)立得：，解得：，此時P2（，2）綜

47、上所示，P1（，）或P2（，2）當點P為直角頂點時，設P（，y），B（4，0），C（0，3），BC=5，BC2=PC2+PB2，即25=（）2+（y3）2+（4）2+y2，解得y=，P3（，），P4（，）綜上所述，P1（，），P2（，2），P3（，），P4（，）【點評】此題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質，以及兩直線垂直時斜率的關系，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵13（2015杭州模擬）已知經過原點的拋物線y=2x2+4x（如圖所示）與x的另一交點為A現(xiàn)將它向右平移m（m0）位，所得拋物線與x軸交于C、D點，與原拋物線交于點P（1

48、）求點P的坐標（可用含m式子表示）；（2）設PCD的面積為s，求s關于m關系式；（3）過點P作x軸的平行線交原拋物線于點E，交平移后的拋物線于點F請問是否存在m，使以點E、O、A、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網版權所有【專題】壓軸題【分析】（1）首先將拋物線表示出頂點式的形式，再進行平移，左加右減，即可得出答案；（2）求出拋物線與x軸的交點坐標，根據(jù)當0m2，當m=2，即點P在x軸時，當m2即點P在第四象限時，分別得出即可；（3）根據(jù)E、O、A、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則EF=OA=2由軸對稱可知PE=PF，表示出E點的

49、坐標，再把點E代入拋物線解析式得出即可【解答】解：（1）原拋物線：y=2x2+4x=2（x1）2+2，則平移后的拋物線為：y=2（x1m）2+2，由題得，解得，點P的坐標為（，）；（2）拋物線：y=2x2+4x=2x（x2）拋物線與x軸的交點為O（0，0）A（2，0），AO=2，C、D兩點是拋物線y=2x2+4x向右平移m（m0）個，單位所得拋物線與x軸的交點CD=OA=2，當0m2，即點P在第一象限時，如圖1，作PHx軸于HP的坐標為（，），PH=，S=CD2（m2+2）=m2+2，當m=2，即點P在x軸時，PCD不存在，當m2即點P在第四象限時，如圖2，作PHx軸于HP的坐標為（，），PH

50、=，S=CDHP=×2×=m22；（3）如圖3，若以E、O、A、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則EF=OA=2由軸對稱可知PE=PF，PE=，P（，），點E的坐標為（，），把點E代入拋物線解析式得：，解得：m=1 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的頂點坐標求法以及平行四邊形的判定，題目綜合性較強，從題目問題開始逐步分析，是解決問題的關鍵14（2015重慶模擬）若x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個根，則方程的兩個根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關系：我們把它們稱為根與系數(shù)關系定理如果設二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，0），B（x2，0）利用根與系數(shù)關系定理我們又可以得到A、B兩個交點間的距離為：AB=|x1x2|=請你參考以上定理和結論，解答下列問題：設二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，