帶電粒子在磁場中運動的最小范圍問題

1、精選文檔帶電粒子在磁場中運動的最小范圍問題一、磁場范圍為圓形例1一質量為、帶電量為的粒子以速度從O點沿軸正方向射入磁感強度為的一圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)后，從處穿過軸，速度方向與軸正向夾角為30°，如圖1所示（粒子重力忽略不計）。試求：（1）圓形磁場區(qū)的最小面積； （2）粒子從O點進入磁場區(qū)到達點所經(jīng)歷的時間； （3）點的坐標。解析：（1）由題可知，粒子不可能直接由點經(jīng)半個圓周偏轉到點，其必在圓周運動不到半圈時離開磁場區(qū)域后沿直線運動到點?？芍潆x開磁場時的臨界點與點都在圓周上，到圓心的距離必相等。如圖2，過點逆著速度的方向作虛線，與軸相交，由于粒子在磁

2、場中偏轉的半徑一定，且圓心位于軸上，距O點距離和到虛線上點垂直距離相等的點即為圓周運動的圓心，圓的半徑。由 ，得。弦長為：，要使圓形磁場區(qū)域面積最小，半徑應為的一半，即：，面積（2）粒子運動的圓心角為1200，時間。（3）距離 ，故點的坐標為（，0）。點評：此題關鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場邊界的臨界點，注意圓心必在兩臨界點速度垂線的交點上且圓心到這兩臨界點的距離相等；還要明確所求最小圓形磁場的直徑等于粒子運動軌跡的弦長。二、磁場范圍為矩形例2如圖3所示，直角坐標系第一象限的區(qū)域存在沿軸正方向的勻強電場?，F(xiàn)有一質量為，電量為的電子從第一象限的某點（，）以初速度沿軸的負方向開始運動，經(jīng)過軸

3、上的點（，0）進入第四象限，先做勻速直線運動然后進入垂直紙面的矩形勻強磁場區(qū)域，磁場左邊界和上邊界分別與軸、軸重合，電子偏轉后恰好經(jīng)過坐標原點O，并沿軸的正方向運動，不計電子的重力。求（1）電子經(jīng)過點的速度；（2）該勻強磁場的磁感應強度和磁場的最小面積。解析：（1）電子從點開始在電場力作用下作類平拋運動運動到點，可知豎直方向：，水平方向：。解得。而，所以電子經(jīng)過點時的速度為：，設與方向的夾角為，可知，所以300。（2）如圖4，電子以與成30°進入第四象限后先沿做勻速直線運動，然后進入勻強磁場區(qū)域做勻速圓周運動恰好以沿軸向上的速度經(jīng)過點?？芍獔A周運動的圓心一定在軸上，且點到O點的距離與

4、到直線上M點（M點即為磁場的邊界點）的垂直距離相等，找出點，畫出其運動的部分軌跡為弧MNO，所以磁場的右邊界和下邊界就確定了。設偏轉半徑為，由圖知，解得，方向垂直紙面向里。矩形磁場的長度，寬度。矩形磁場的最小面積為：點評：此題中粒子進入第四象限后的運動即為例1中運動的逆過程，解題思路相似，關鍵要注意矩形磁場邊界的確定。三、磁場范圍為三角形例3如圖5，一個質量為，帶電量的粒子在BC邊上的M點以速度垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點（CMCN）垂真于AC邊飛出ABC，可在適當?shù)奈恢眉右粋€垂直于紙面向里，磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區(qū)域內，

5、且不計粒子的重力。試求：C（1）粒子在磁場里運動的軌道半徑及周期T；（2）該粒子在磁場里運動的時間t；（3）該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長；解析：（1）由和，得：    ，     （2）由題意可知，粒子剛進入磁場時應該先向左偏轉，不可能直接在磁場中由M點作圓周運動到N點，當粒子剛進入磁場和剛離開磁場時，其速度方向應該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖6作出圓O，粒子的運動軌跡為弧GDEF，圓弧在點與初速度方向相切，在F點與出射速度相切。畫出三角形，其與圓弧在D、E兩點相切，并與圓交于F、G兩點，此為符合題意的最小磁場區(qū)域。

6、由數(shù)學知識可知FOG600，所以粒子偏轉的圓心角為3000，運動的時間   （3）連接并延長與交與點，由圖可知，點評：這道題中粒子運動軌跡和磁場邊界臨界點的確定比較困難，必須將射入速度與從AC邊射出速度的反向延長線相交后根據(jù)運動半徑已知的特點，結合幾何知識才能確定。另外，在計算最小邊長時一定要注意圓周運動的軌跡并不是三角形磁場的內切圓。四、磁場范圍為樹葉形例4在平面內有許多電子（質量為、電量為），從坐標O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖7所示。現(xiàn)加一個垂直于平面向內、磁感強度為的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于軸向正方向運動，求符合該條件磁場的最小面積。

7、解析：電子在磁場中運動半徑是確定的，設磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運動軌道如圖8所示，因為電子只能向第一象限平面內發(fā)射，其中圓O1和圓O2為從圓點射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個圓。圓O2在軸上方的1/4個圓弧odb就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點O為圓心，以R為半徑的圓弧O1OmO2 。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何知識知電子的飛出點必為每條可能軌跡的最高點。可證明，磁場下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線（圖中虛線O1O2）向上平移一段長度為的距離即圖9中的弧ocb就是這些圓的最高點的連線，即為磁場區(qū)域的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場區(qū)域積：。還可根據(jù)圓的知識求出磁場的下邊界。設某電子的速度V0與x軸夾角為，若離開磁場速度變?yōu)樗椒较驎r，其射出點也就是軌跡與磁場邊界的交點坐標為（x，y），從圖10中看出，即（x0，y0），這是個圓方程，圓心在（0，R）處，圓的1/4圓弧部分即為磁場區(qū)域的下邊界。點評：這道題與前三題的區(qū)別在于要求學生通過分析確定磁場的形狀和范圍，磁場下邊界的處理對學生的數(shù)理結合能力和分析能力要求較高。由以上題目分析可知，解決此類問題的關