




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、第一章 矩陣及其應(yīng)用習(xí)題解答本章需要掌握的是:1矩陣的定義,以及矩陣的運(yùn)算加、減、數(shù)乘和乘法;2方陣的冪和多項(xiàng)式,以及矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì);3逆陣的定義,以及逆陣的4條性質(zhì);4分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)那么;5矩陣的三種初等變換及行階梯矩陣和行最簡矩陣;6三種初等矩陣,以及定理1.4左乘行變,右乘列變、1.5、1.6和1.7;7求逆陣的方法:定義法和初等變換法。1、 設(shè)方陣A滿足2003A2=5A+16E,求(A-E)-1。題型分析:此類題型考核的知識(shí)點(diǎn)是逆陣的定義,即AB=BA=EA-1=B, B-1=A。因此無論題中給出的有關(guān)矩陣A的多項(xiàng)式如此題是2003A2=5A+16E多么復(fù)雜,只需要把該多項(xiàng)式配方成
2、“所求逆的表達(dá)式*配方后的因子=E即可,即此題是要配成A-E*(?)=E。解: 2003A2-5A-16E=0 2003A2-2003A+1998A-16E=0 %配出2003A可提取的A-E 2003AA-E+1998A-1998E+1982E=0 %配出1998可提取的A-E 2003A-E+1998A-E+1982E=0 %提取公因式A-E A-E2003A+1998E=-1982E %將只有單位陣的那一項(xiàng)移至等式右端 A-E2003A+1998E-1982=E %寫成“AB=BA=E的形式 2003A+1998E-1982A-E=EA-E-1=2003A+1998E-1982 %由逆陣
3、定義可知穩(wěn)固練習(xí):教材第38頁第13題2、 設(shè)A=1021,求Ak。其中k為正整數(shù)。題型分析:此類題型考核的知識(shí)點(diǎn)是矩陣的乘法和冪運(yùn)算。解題思路為依次計(jì)算A2,A3,最多到A4,通常這時(shí)已經(jīng)可以看出規(guī)律,依此規(guī)律解題即可。解:A2=10211021=102*21,A3=102*211021=102*31,因此推論Ak=102k1,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:1當(dāng)k=1時(shí),A=102*11成立;2假設(shè)當(dāng)k=n-1時(shí),上式成立,即An-1=102*(n-1)1,那么有 當(dāng)k=n時(shí),An=An-1A=102(n-1)11021=102*n1也成立。所以 Ak=102k1穩(wěn)固練習(xí):教材第41頁二、填空題33
4、、 設(shè)A=E-uuT ,E為n階單位陣,u為n維非零列向量,uT 為u的轉(zhuǎn)置,證明:1) A2=A的充要條件是uTu=1;2) 當(dāng)uTu=1時(shí),A是不可逆的。題型分析:這道題綜合了矩陣這一章的大局部知識(shí)點(diǎn),是個(gè)綜合題,對(duì)于剛學(xué)了第一章的同學(xué)們來說也是一道難題。解題思路首先要明確u為n為非零向量是指u是一個(gè)只有一行或一列的矩陣,題中有uTu=1即告訴我們u是一個(gè)n*1階列矩陣即列向量u1u2un。解:1充分性證明,即uTu=1A2=AA2=E-uuTE-uuT=E-2 uuT + uuTuuT %注意uTuuuT!uTu是個(gè)數(shù),uuT是個(gè)n階方陣uTu=1,A2=E-2uuT+uuT=E-uuT
5、=A 必要性證明,即A2=AuTu=1 A2=A,即E-2 uuT+ uuTuuT=E-uuT,化簡得 uuTuuT- uuT=0 ,uTu是個(gè)數(shù) % 是數(shù)就可以提取到矩陣外 (uTu) uuT- uuT=0,那么(uTu-1) uuT=0又u為非零向量,uuT0 uTu-1=0,即uTu=12反證法由1可知,當(dāng)uTu=1時(shí),A2=A,那么如果A可逆,有A-1A2=A-1A,那么有A=E,這與矛盾。所以A不可逆。穩(wěn)固練習(xí):教材第42頁二、填空題154、 設(shè)A=1-201,gx=x2+2x-3,求gA。題型分析:此類題型考核的知識(shí)點(diǎn)是矩陣的多項(xiàng)式,要熟練掌握矩陣多項(xiàng)式的各項(xiàng)性質(zhì),尤其是多項(xiàng)式中的
6、常數(shù)項(xiàng)在矩陣多項(xiàng)式中必須乘以單位陣!否那么矩陣與數(shù)無法相加。解:gA=A2+2A-3E % 關(guān)鍵點(diǎn)在于常數(shù)項(xiàng)的變化! =1-2011-201+21-201-31001 %簡單的矩陣運(yùn)算 =0-800穩(wěn)固練習(xí):教材42頁二、第14題5、 設(shè)n維行向量=12,0,0,12,矩陣A=E-T,B=E+2T,其中E為n階單位陣,求AB。題型分析:此類題型考核的知識(shí)點(diǎn)是矩陣乘法,一般這種題型都是有簡化的計(jì)算,不可能是一一代入求解,雖然這也能求出結(jié)果,但是計(jì)算量很大。所以通常解題思路是先把AB的表達(dá)式求出,看表達(dá)式里有何規(guī)律可尋。解:AB=E-TE+2T=E+T-2TT% 是行向量,那么要知道T是n階方陣,
7、而T是個(gè)數(shù)T=12,0,0,12120012=12AB=E+T-2TT= E+T-2*12T=E穩(wěn)固練習(xí):教材第41頁二、填空題16、 設(shè)3階方陣A,B滿足關(guān)系式A-1BA=6A+BA ,求矩陣B,其中A=130001400017。題型分析:此類題型類似求解矩陣方程,考核的知識(shí)點(diǎn)主要是逆陣的定義與性質(zhì),尤其是對(duì)角矩陣的逆陣也是對(duì)角矩陣,其主對(duì)角線上的元為原對(duì)角矩陣主對(duì)角線元的倒數(shù)。解題思路是先將矩陣方程化簡成所求矩陣的表達(dá)式,再代入具體矩陣求解。如此題中應(yīng)將方程化成B=?。注意一般不會(huì)是一一代入求解,那樣計(jì)算量就大了。解:A-1BA=6A+BA A-1BA-BA=6A % 第一步將含矩陣B的所
8、有項(xiàng)移到方程左端,其他移到右端。 A-1-EBA=6A % 想方法將所求矩陣B提取公因式因?yàn)锳可逆,所以在方程兩邊同時(shí)右乘A-1,那么有 A-1-EB=6E又因?yàn)锳-1=300040007,那么A-1-E=200030006是對(duì)角矩陣也可逆。 A-1-EB=6E的兩邊同時(shí)左乘A-1-E-1,有 B=6A-1-E-1 =6200030006-1=300020001 % 最終化成B=6A-1-E-1,再代入求解有多種解法,同學(xué)們也可以嘗試在原式兩邊同時(shí)右乘A-1看看。穩(wěn)固練習(xí):教材41頁二、87、 設(shè)A,B均為n階對(duì)稱矩陣,且矩陣A和矩陣E+AB都可逆,試證E+AB-1A為對(duì)稱陣。題型分析:此題為
9、綜合性題,考核的知識(shí)點(diǎn)即對(duì)稱矩陣和逆陣的定義與性質(zhì),熟練掌握有關(guān)對(duì)稱和逆陣的所有性質(zhì)就容易求解此題。對(duì)稱陣涉及轉(zhuǎn)置,而題中又涉及到逆陣,所以一定會(huì)用到將逆陣和轉(zhuǎn)置聯(lián)系在一起的那條性質(zhì),即(AT)-1=(A-1)T。以及A+BT=AT+BT,ABT=BTAT, AB-1=B-1A-1等。一定要注意 A+B-1A-1+B-1 !證明:根據(jù)對(duì)稱陣的定義,即要證明(E+AB)-1AT=(E+AB)-1A,將左式展開,有(E+AB)-1AT=AT(E+AB)-1T %轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(AB)T=BTAT因?yàn)锳,B均為對(duì)稱陣,據(jù)定義有AT=A,BT=B,又(AT)-1=(A-1)T那么 AT(E+AB)-1T=
10、A(E+AB)T-1 =AET+(AB)T-1 %轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(A+B)T=AT+BT =A(E+BTAT)-1 %轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(AB)T=BTAT =A(E+BA)-1 % A,B為對(duì)稱陣大局部同學(xué)卡在這里,怎樣證明A(E+BA)-1=(E+AB)-1A呢?想方法把左式中的A移到括號(hào)前方,怎么移?逆陣性質(zhì)里有(AB)-1=B-1A-1,因此將左式化成:AE+BA-1=A-1-1E+BA-1 =(E+BA)A-1)-1 =(EA-1+BAA-1)-1 %將A-1乘進(jìn)括號(hào) =(A-1+B)-1 =A-1(E+AB)-1 %把A-1當(dāng)公因子提取至左端 =A-1(E+AB)-1 %仍利用逆陣性質(zhì)(AB)
11、-1=B-1A-1 =(E+AB)-1A(E+AB)-1AT=(E+AB)-1A,根據(jù)對(duì)稱陣的定義可知,E+AB-1A為對(duì)稱陣。證明二:簡寫如下:(E+AB)-1A =(AA-1+AB)-1A= AA-1+B-1A = A-1+B-1A-1A =A-1+B-1E+AB-1A T=A-1+B-1T=A-1+BT-1=A-1T+BT-1=A-1+B-1=(E+AB)-1A所以(E+AB)-1A是對(duì)稱陣。穩(wěn)固練習(xí):教材37頁第7題8、1設(shè)A,B都可逆,求0AB0的逆; 2利用分塊矩陣,求下面矩陣的逆。,其中ai0 (i=1,2,n)題型分析:此類題型考核的知識(shí)點(diǎn)是分塊矩陣和逆陣的相關(guān)性質(zhì)。第一小題只
12、要找到一個(gè)2*2階的分塊矩陣和0AB0相乘后得單位陣即可,可用初等變換法求逆,也可用定義求。第二小題很明顯是第一小題的延伸題,根據(jù)第一小題的結(jié)論可以直接推出第二題的答案。解:1方法一:用定義假設(shè)有一2*2階的分塊矩陣MNLK,令MNLK0AB0=EOOE,那么展開有NBMAKBLA=EOOE % A,B為子矩陣,所以表示成EOOE,而不是1001。所以有NB=E,MA=O,KB=O,LA=E 又因?yàn)锳,B皆可逆,那么A,B均不為零矩陣所以N=B-1,L=A-1;令M=O,K=O,那么 %這里不太嚴(yán)密的一點(diǎn)是AB=O,并不能說明A=O或B=O,所以我們令M=O,K=O0AB0-1=0B-1A-10 方法二:初等變換法OABO EOOEr1r2BOOA OEEO % 利用初等行變換 EOOE OB-1A-1O % 此處左乘了BOOA-1=B-1OOA-1對(duì)角矩陣的逆, 即B-1OOA-1BOOA OEEO=EOOE OB-1A-1O所以0AB0-1
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- YC/T 370-2023烤煙中非煙物質(zhì)控制技術(shù)規(guī)程
- TD/T 1040-2013土地整治項(xiàng)目制圖規(guī)范
- LY/T 3366-2024花卉術(shù)語
- 小學(xué)《窗邊的小豆豆》 名著導(dǎo)讀課件
- 標(biāo)準(zhǔn)化落地分享王愛華營銷全委分委主任84課件
- 考研復(fù)習(xí)-風(fēng)景園林基礎(chǔ)考研試題【模擬題】附答案詳解
- 風(fēng)景園林基礎(chǔ)考研資料試題及答案詳解(歷年真題)
- 《風(fēng)景園林招投標(biāo)與概預(yù)算》試題A附參考答案詳解(綜合題)
- 2025年黑龍江省五常市輔警招聘考試試題題庫含答案詳解(預(yù)熱題)
- 通信原理簡明教程(第2版)課件 第2章 預(yù)備知識(shí)
- MOOC 中國電影經(jīng)典影片鑒賞-北京師范大學(xué) 中國大學(xué)慕課答案
- 可行性研究報(bào)告編制項(xiàng)目進(jìn)度保證措施
- 績效與薪酬管理:薪酬設(shè)計(jì)
- (2024年)銀行不良清收技巧培訓(xùn)課件(學(xué)員版)
- 廣東省東莞市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試化學(xué)試題(解析版)
- 110kV變電站及110kV輸電線路運(yùn)維投標(biāo)技術(shù)方案(第二部分)
- 生物的基因組演化與種群遺傳結(jié)構(gòu)
- 第七章 水利工程管理法規(guī)講解
- 養(yǎng)老護(hù)理員(三級(jí))重點(diǎn)復(fù)習(xí)考試題庫(500題)
- 常州市溧陽市2022-2023學(xué)年七年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷(含答案解析)
- 十月稻田員工手冊
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論