一元一次方程的定義及解法

1、.一元一次方程的定義及解法方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫做一元一次方程，通常形式是ax+b=0a，b為常數(shù)，且a0。方程簡(jiǎn)介一元一次方程linearequationinone通過化簡(jiǎn)，只含有一個(gè)未知數(shù),且含有未知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)是一的等式，叫一元一次方程。通常形式是ax+b=0a，b為常數(shù)，且a0。一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式。一元指方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0。我們將ax+b=0其中x是未知數(shù)，a、b是數(shù)，并且a0叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)

2、必須是1。即一元一次方程必須同時(shí)滿足4個(gè)條件：1它是等式；2分母中不含有未知數(shù)；3未知數(shù)最高次項(xiàng)為1；4含未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)不為0。方程一詞來源于我國(guó)古算術(shù)書?九章算術(shù)?。在這本著作中，已經(jīng)會(huì)列一元一次方程。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾把未知數(shù)和常數(shù)通過代數(shù)運(yùn)算所組成的方程稱為代數(shù)方程。在19世紀(jì)以前，方程一直是代數(shù)的核心內(nèi)容。詳細(xì)內(nèi)容合并同類項(xiàng)1.根據(jù)：乘法分配律2.把未知數(shù)一樣且其次數(shù)也一樣的相合并成一項(xiàng)；常數(shù)計(jì)算后合并成一項(xiàng)3.合并時(shí)次數(shù)不變，只是系數(shù)相加減。移項(xiàng)1.含有未知數(shù)的項(xiàng)變號(hào)后都移到方程左邊，把不含未知數(shù)的項(xiàng)移到右邊。2.根據(jù)：等式的性質(zhì)3.把方程一邊某項(xiàng)移到另一邊時(shí)，一定要變號(hào)。性質(zhì)性質(zhì)等

3、式的性質(zhì)一：等式兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，等式仍然成立。等式的性質(zhì)二:等式兩邊同時(shí)擴(kuò)大或縮小一樣的倍數(shù)0除外，等式仍然成立。等式的性質(zhì)三：等式兩邊同時(shí)乘方或開方，等式仍然成立。解方程都是根據(jù)等式的這三個(gè)性質(zhì)等式的性質(zhì)一:等式兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)或減同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立解法步驟使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一般解法：1.去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)不含分母的項(xiàng)也要乘；2.去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)；記住如括號(hào)外有減號(hào)的話一定要變號(hào)3.移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊；移項(xiàng)要變號(hào)4.合并同類項(xiàng)：把方程化成

4、ax=ba0的形式；5.系數(shù)為成1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a.同解方程假如兩個(gè)方程的解一樣，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程。方程的同解原理：方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方程是同解方程。方程的兩邊同乘或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。做一元一次方程應(yīng)用題的重要方法：認(rèn)真審題審題分析和未知量找一個(gè)適宜的等量關(guān)系設(shè)一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)列出合理的方程列式解出方程解題檢驗(yàn)寫出答案作答ax=b解：當(dāng)a0，b=0時(shí)，ax=0x=0當(dāng)a0時(shí)，x=b/a。當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解注意：這種情況不屬于一元一次方程，而屬于恒等方程當(dāng)a=0，b

5、0時(shí)，方程無(wú)解例：3x+1/2-2=3x-2/10-2x+3/5去分母方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)得，53x+1-102=3x-2-22x+3去括號(hào)得，15x+5-20=3x-2-4x-6移項(xiàng)得，15x-3x+4x=-2-6-5+20合并同類項(xiàng)得，16x=7系數(shù)化為1得，x=7/16。字母公式a=ba+c=b+ca-c=b-ca=bac=bca=bcc0=ac=bc求根公式由于一元一次方程是根本方程，故教科書上的解法只有上述的方法。但對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式下的一元一次方程aX+b=0可得出求根公式X=-b/a學(xué)習(xí)理論在小學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)較淺的一元一次方程，到了初中開場(chǎng)深化的理解一元一次方程的解法和利用一元一次

6、方程解較難的應(yīng)用題。一元一次方程牽涉到許多的實(shí)際問題，例如工程問題、種植面積問題、比賽比分問題、路程問題，相遇問題、逆流順流問題、相向問題分段收費(fèi)問題、盈虧、利潤(rùn)問題。列方程時(shí)，要先設(shè)字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問題中的相等關(guān)系，寫出含有未知數(shù)的等式方程equation。1.4x=242.1700+150x=24503.0.52x-1-0.52x=80分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的一種方法。教學(xué)設(shè)計(jì)例如教學(xué)目的1使學(xué)生初步掌握一元一次方程解簡(jiǎn)單應(yīng)用題的方法和步驟，并會(huì)列出一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題；2培養(yǎng)學(xué)生觀察才能，進(jìn)步他們分析問題和解決問題的才能；

7、3使學(xué)生初步養(yǎng)成正確考慮問題的良好習(xí)慣重點(diǎn)和難點(diǎn)一元一次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題的方法和步驟這個(gè)工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)搜集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì),熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價(jià)值、理想、學(xué)習(xí)、成長(zhǎng)、責(zé)任、友誼、愛心、探究、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多那么材料。假如學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動(dòng)的材料,寫起文章來還用亂翻參考書嗎?教學(xué)過程設(shè)計(jì)與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時(shí)期。金代元好問?示侄孫伯安?詩(shī)云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師

8、。于是看，宋元時(shí)期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢姡袄蠋熞徽f是比較晚的事了。如今體會(huì)，“老師的含義比之“老師一說，具有資歷和學(xué)識(shí)程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時(shí)期。金代元好問?示侄孫伯安?詩(shī)云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師。于是看，宋元時(shí)期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢姡袄蠋熞徽f是比較晚的事了。如今體會(huì)，“老師的含義比之“老師

9、一說，具有資歷和學(xué)識(shí)程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。一、從學(xué)生原有的認(rèn)知構(gòu)造提出問題：在小學(xué)算術(shù)中，我們學(xué)習(xí)了用算術(shù)方法解決實(shí)際問題的有關(guān)知識(shí)，那么，一個(gè)實(shí)際問題能否應(yīng)用一元一次方程來解決呢？假設(shè)能解決，怎樣解？用一元一次方程解應(yīng)用題與用算術(shù)方法解應(yīng)用題相比較，它有什么優(yōu)越性呢？為了答復(fù)上述這幾個(gè)問題，我們來看下面這個(gè)例題例1某數(shù)的3倍減2等于某數(shù)與4的和，求某數(shù)首先，用算術(shù)方法解，由學(xué)生答復(fù)，老師板書解法1：4+23-1=3答：某數(shù)為3其次，用代數(shù)方法來解，老師引導(dǎo)，學(xué)生口述完成解法2：設(shè)某數(shù)為x，那么有3x-2=x+4解之，得x=3答：

10、某數(shù)為3縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術(shù)方法不易考慮，而應(yīng)用設(shè)未知數(shù)，列出方程并通過解方程求得應(yīng)用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學(xué)習(xí)運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的目的之一我們知道方程是一個(gè)含有未知數(shù)的等式，而等式表示了一個(gè)相等關(guān)系因此對(duì)于任何一個(gè)應(yīng)用題中提供的條件，應(yīng)首先從中找出一個(gè)相等關(guān)系，然后再將這個(gè)相等關(guān)系表示成方程本節(jié)課，我們就通過實(shí)例來說明怎樣尋找一個(gè)相等的關(guān)系和把這個(gè)相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程的方法和步驟二、師生共同分析、研究一元一次方程解簡(jiǎn)單應(yīng)用題的方法和步驟例2某面粉倉(cāng)庫(kù)存放的面粉運(yùn)出15%后，還剩余42500千克，這個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來有多少面粉？師生共同分析：1此題中給出的量和未

11、知量各是什么？2量與未知量之間存在著怎樣的相等關(guān)系？原來重量-運(yùn)出重量=剩余重量3假設(shè)設(shè)原來面粉有x千克，那么運(yùn)出面粉可表示為多少千克？利用上述相等關(guān)系，如何布列方程？上述分析過程可列表如下：解：設(shè)原來有x千克面粉，那么運(yùn)出了15%x千克，由題意，得x-15%x=42500，所以x=50000答：原來有50000千克面粉此時(shí)，讓學(xué)生討論：此題的相等關(guān)系除了上述表達(dá)形式以外，是否還有其他表達(dá)形式？假設(shè)有，是什么？還有，原來重量=運(yùn)出重量+剩余重量；原來重量-剩余重量=運(yùn)出重量老師應(yīng)指出：1這兩種相等關(guān)系的表達(dá)形式與原來重量-運(yùn)出重量=剩余重量，雖形式上不同，但本質(zhì)是一樣的，可以任意選擇其中的一個(gè)相等關(guān)系來列方程2例2的解方程過程較為簡(jiǎn)捷，同學(xué)應(yīng)注意模擬根據(jù)例2的分析與解答過程，首先請(qǐng)同學(xué)們考慮列一元一次方程解應(yīng)用題的方法和步驟；然后，采取提問的方式，進(jìn)展反響。最后，根據(jù)學(xué)生總結(jié)的情況，老師總結(jié)如下：1仔細(xì)審題，透徹理解題意即弄清量、未知量及其互相關(guān)系，并用字母如x表示題中的一個(gè)合理未知數(shù)2根